Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossalari. Reja

2. Sonlar ketma-ketligining limiti.
Aytaylik, a  R son hamda ixtiyoriy musbat  son berilgan bo‘lsin.
6-ta’rif. Ushbu
U _ ( a )  {x  R: a    x  a   }  ( a   , a   )
to‘plam a nuqtaning  - atrofi deyiladi.
Faraz qilaylik { x_n} ketma-ketlik va a  R soni berilgan bo‘lsin.
7-ta’rif. [2,p.68, def. 3.5] Agar ixtiyoriy   0 son olinganda ham shunday n0 natural soni mavjud bo‘lsaki, n  n0 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha natural sonlar uchun

xn  a 		(3)
tengsizlik bajarilsa, (ya’ni
  0, n0  N , n  n0 : | xn  a | 
bo‘lsa), a son { xn} ketma-ketlikning limiti deyiladi va

a  lim xn yoki n  da x_n  a
n kabi belgilanadi.
Ravshanki, yuqoridagi (3) tengsizlik uchun
| xn  a |   a    xn  a  
ya’ni, x_n U _ ( a ), ( n  n0 ) bo‘ladi. Shuni e’tiborga olib, ketma-ketlikning limitini quyidagicha ta’riflasa bo‘ladi.
8-ta’rif. [1, p.128, def.6.1.5] Agar a nuqtaning ixtiyoriy U _ ( a) atrofi olinganda ham { x_n} ketma-ketlikning biror hadidan keyingi barcha hadlari shu atrofga tegishli bo‘lsa, a son { x_n} ketma-ketlikning limiti deyiladi.
Yuqorida keltirilgan ta’riflardan ko‘rinadiki  ixtiyoriy musbat son bo‘lib, natural n0 bo‘lib, natural n0 soni esa ga va qaralayotgan ketma-ketlikka bog‘liq ravishda topiladi.
2-misol. Ushbu
x_n  c (c  R, n 1, 2,3,...) ketma-ketlikning limiti c ga teng bo‘ladi.
◄Haqiqatan ham, bu holda    0 ga ko‘ra n0 1 deyilsa, unda n  n0 uchun x c  0  bo‘ladi. Demak, ^limx_n  ^lim_nc c
_n
3-misol. Ushbu
1
x_n  , (n 1, 2,3,....) n
ketma-ketlikning limiti 0 ga teng bo‘lishi isbotlansin:
1
lim  0 . nn
Ravshanki,

1 1  0 n n

1 1
bo‘lib,    0 tengsizlik barchan  bo‘lganda o‘rinli. Bu holda n 

n0  _{ } _¹ 1
deyilsa, ([ a ]  a sonidan katta bo‘lmagan uning butun qismi), unda n  n0 uchun
1

 0  n

bo‘ladi. Ta’rifga binoan
1

lim  0. ► nn

4-misol. Aytaylik, a  R, a 1 bo‘lsin. U holda 1
limn an  0
bo‘lishi isbotlansin. a  1   deylik. Unda   a  1  0 va Bernulli tengsizligiga ko‘ra
(1   ) ⁿ  1  n  n bo‘lib, n  N da
1 1
 _n
a n
bo’ladi. Demak,
1 1

 ⁰    0 a_{n a}n

tengsizlik barcha
1
n 

bo‘lganda o‘rinli. Agar
n0 __ 1 _1
deyilsa, ravshanki, n  n₀ uchun

1_n  0  a

bo'ladi. Demak,
1
limn an  0
n
5-misol. Ushbu x_n  n 1,2,3,... ketma-ketlikning limiti 1 ga teng n 1
bo‘lishi isbotlansin.
◄ Ixtiyoriy   0 son olamiz. So‘ng ushbu
x_n  1 
tengsizlikni qaraymiz. Ravshanki,
n 1

x_n  1  1 n1 n1
Unda yuqoridagi tengsizlik
1
 n 1
ko‘rinishga keladi. Keyingi tengsizlikdan
1
n  1

bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, limit ta’rifidagi n0  N sifatida n₀ ^__ 1 1^_1olinsa
(  0 ga ko‘ra n0  N topilib), n  n0 uchun x_n  1   bo‘ladi. Bu esa n
lim 1 nn 1
bo‘lishini bildiradi.►
6-misol. Faraz qilaylik, a  R, a 1 va  R bo‘lsin. U holda n
lim an  0 _n
bo‘lishi isbotlansin.
1

Shunday natural k sonini olamizki k  1 bo’lsin. Endi a k 1 bo’lishini

11
e’tiborga olib, a k  1 , ya’ni  a k  1 0 deymiz. Unda Bernulli tengsizligiga ko‘ra
n

a k  1 _ⁿ   1 n n
bo‘lib,  n  N da
nk1 1

 an nk

bo‘ladi. Bu holda
n0  1k 1  0
deyilsa,  n  n₀ uchun

n n nk1 n  0 n  n  a a n
bo‘ladi. Demak,
n
lim an  0 _n

7-misol. Ushbu
lgn
lim  0
n n
tenglik isbotlansin.
Ravshanki,    0 va  n  N uchun
lgn ^n n 1

0    lgn n  10  _n  n 10^

bo‘ladi. Agar 10^ 1 bo‘lishini e’tiborga olsak, 6-misolga ko‘ra n
n da n  0
10^
ekanini topamiz. Unda ta’rifga ko‘ra 1 soni uchun
n
   n N n n₀ , ₀ ^: _n 1
10^
lgn lgn
bo‘ladi. SHunday qilib,  n  n₀ uchun  bo’ladi. Demak, lim  0 .
n n n
8-misol. Ushbu
x_n   1ⁿ n1,2,3...
ketma -ketlikning limiti mavjud emasligi isbotlansin.
Teskarisini faraz qilaylik. Bu ketma-ketlik a limitga ega bo‘lsin.
Unda ta’rifga binoan,
  0, n  N , n  n : | ( 1) ⁿ  a | 
bo‘ladi.
Ravshanki, n juft bo‘lganda 1 a , n toq bo’lganda   1 a , ya’ni 1 a  bo’ladi. Bu tengsizliklardan foydalanib topamiz:
| (1  a )  (1  a ) ||1  a |  |1  a | 2 .
Bu tengsizlik  1 bo‘lgandagina o‘rinli. Bunday vaziyat   0 sonining ixtiyoriy bo‘lishiga zid. Demak, ketma-ketlik limitga ega emas. ►
Teorema. [1, p.128, prop. 6.1.7] Agar x_n ketma-ketlik limitga ega bo‘lsa, u yagona bo‘ladi.
Teskarisini faraz qilaylik.x_nketma-ketlik ikkita a va b a  blimitlarga ega bo‘lsin:
lim x  a, lim x  b ( a  b)
n  n n n
Limitning ta’rifiga ko‘ra
  0, n0  N , n  n0 : | x_n  a | ,   0, n₀ ' N , n  n₀ : | x_n  b |  bo‘ladi.
Agar n₀ va n₀^' sonlarining kattasini n desak unda  n n da
x a_n  , x b_n  
bo’lib
x a_n    x b_n 2
bo'ladi.

Ravshanki, a  b  a  x_n  x_n  b  x_n  a  x_n  b .
Demak,    0 da a  b  2bo‘lib, undan a  b bo‘lishi kelib chiqadi. ►

Mashqlar

1. Ketma-ketlik limiti ta’rifidan foydalanib ushbu

   
   

x_n    n 2 n 1
ketma-ketlikning limiti topilsin.

2. Agar lim x  a, lim y  a bo‘lsa, u holda ushbu x1 , y₁ ,x₂ , y₂ ,..., x_n , y_n ,... ketma-ketlikning limiti ham a ga teng bo‘lishi isbotlansin.

   
   

3. Agar lim xn  a bo‘lsa, u holda

   
   

n lim x x₁  ₂ ... x_{n } a
n n
bo‘lishi isbotlansin.
xn  sonlar ketma-ketligi berilgan bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar xn ketma-ketlik chekli limitga ega bo‘lsa, u yaqinlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.
1. Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning chegaralanganligi. Tengsizliklarda limitga o‘tish.
1-teorema. [1, p.131, Corollary 6.1.17] xn  ketma-ketlik yaqinlashuvchi
bo‘lsa, u chegaralangan bo‘ladi.
Aytaylik, lim x_n  a, ( a  R)
n
bo‘lsin. Limit ta’rifiga ko‘ra
  0,n0N,nn0; |xna|
bo‘ladi. Demak, n  n0 uchun a    xn  a   bo‘ladi. Agar

max  a   , a   , x1 , x2 , ..., xn₀  M

deyilsa, u holda, n  N uchun x M
tengsizlik bajariladi. Bu esa xn ketma-ketlikning chegaralanganligini bildiradi.

2-teorema. Agar x_n ketma-ketlik yaqinlashuvchi va
limnx a_n 
b o’lib a p a q    bo’lsa, u holda shunday n N₀ topiladiki,  n n₀ bo’lganda x_n  p x _n q
bo'ladi.

◄ Aytaylik,
lim xn  a, a  p	( p  R)
n

bo‘lsin.  0 sonining ixtiyoriyligidan foydalanib,   a  p deb qaraymiz. Ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan,    0 uchun, jumladan, 0    a  p uchun, shunday n0  N topiladiki, n  n0 bo‘lganda

| xn  a |     xn  a  
bo‘ladi. Ravshanki,
0    a  p  p  a  ,
_   xn  a    a    xn .
Bu tengsizliklardan n  n0 bo‘lganda xn  p
bo‘lishi kelib chiqadi. ►
( a  q hol uchun ham teorema yuqoridagidek isbot etiladi).
3-teorema. Agar xn  va yn  ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib,

1. lim xnc  a, lim yn  b;

   
   

n  n

2. n  N учун xn  yn (xn  yn ) bo‘lsa, u holda a  b (а  b) bo‘ladi.

   
   

◄ Shartga ko‘ra lim x_n a , lim y  b . n n n

Ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan:
  0 , n0'  N , n  n0' : xn  a   ,

  0 , n0^''  N , n  n0^'' y_n  b  bo‘ladi.

Agar n_ max{n^' , n ^''} deyilsa, unda n  n uchun bir yo‘la
0 0 0

x_n  a   , y_n  b 
tengsizliklar bajariladi. Ravshanki,

|xn  a   а    xn  a   ,


|yn  b   b    yn  b   .
Bu tengsizliklardan hamda teoremaning 2-shartidan foydalanib topamiz: а    xn y n  b   .
Keyingi tengsizliklardan
а    b   , a  b  2 va   0 bo‘lgani uchun a  b  0 , ya’ni a  b bo‘lishi kelib chiqadi. Xuddi shunga o‘xshash, lim x_n  a, lim y_n  b hamda n  N uchun
n n
x n  yn bo‘lishidan a  b tengsizlik kelib chiqishi ko‘rsatiladi. ►
4-teorema. Agar xn  va zn  ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib,
1) lim x_n  a, lim zn  а
n n
 n  N uchun xn  yn  zn bo‘lsa, u holda yn  ketma-ketlik yaqinlashuvchi va lim yn  а
n bo‘ladi. ◄ Shartga ko‘ra lim xn  a , lim zn  а.
n n Limit ta’rifiga binoan:

  0 , n0^'  N , n  n0^' : x_n  a   ,

  0 , n0^''  N , n  n0^'' z_n  a  bo‘ladi. Agar n0  max{n0^' , n0^'' } deyilsa, unda n  n0 uchun
а    хn , z_n  a  
tengsizliklar bajariladi. Teoremaning 1-shartidan foyda-lanib topamiz: а    хn  уn  zn  a   .
Keyingi tengsizliklardan
а    yn  a   , ya’ni |y_n  a|  
bo‘lishi kelib chiqadi. Demak,
lim yn  а.
n
Shuni isbotlash talab qilingan edi. ►
1-misol. Ushbu

lim ⁿ n n

Bernulli tengsizligidan foydalanib topamiz:

n 1 _nⁿ  1 n _n n _n (2)
(1) va (2) munosabatlardan
1

a_n 
n
va

2

1 n n 1 1n

tengsizliklar kelib chiqadi. Agar
2

lim 1^_  ¹n^_ 1 _n

ekanini e’tiborga olsak, unda 4-teoremaga ko‘ra
lim ⁿ n1
n
bo‘lishini topamiz. ►
2-misol.
Ushbu

1 1 1 lim 1n    ... n 2 3 n

limit topilsin.
Ravshanki,

1. 1 1 1 1 1 1 1

   
   

1  ...    ...  n 1

2. 3 n n n n n n

   
   

   1. 1 1
      

1  ...    1 1 1 ... 1 n 1 n

2. 3 n

   
   

Demak,

1. 1 1 ⁿ n .
   

1     n 1 ...

2. 3 n

   
   

4-teoremadan foydalanib topamiz:

1 1 1

lim 1n     ... 1

n 2 3 n