Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossalari. Reja

2⁰. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar ustida amallar.
Faraz qilaylik, xn  hamda yn  ketma-ketliklar berilgan bo‘lsin:
{xn } : x1 , x2 , x3 , ..., xn ,...
{yn } : y1 , y2 , y3 , ..., yn ,...
Quyidagi
x1  y1 , x2  y2 , x3  y3 , ..., xn  yn ,... x1  y1 , x2  y2 , x3  y3 , ..., xn  yn ,... x1  y1 , x2  y2 , x3  y3 ,...,xn  yn ,...

^{x x x1} , ² , ³ ,..., ^xn ... y_n  0, n1,2,3,... y y y1 2 3 yn
ketma-ketliklar mos ravishda xn  va yn  ketma-ketliklarning yig’indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi hamda nisbati deyiladi va ular
xⁿ 
{xn  yn }, {xn  yn }, {xn  yn }, _ 
^yn   
kabi belgilanadi.
5-teorema. [1, p.131, theorem 6.1.19] Aytaylik xn  va yn  ketma-
ketliklari berilgan bo‘lib, lim xn  a , lim yn  b, (a  R, b  R)

n n  bo‘lsin. U holda n  da c  xn  c  a ; xn  yn  a  b; xn  yn  ab; x_ynn  _ba

1. с  R да lim (c  xn )  c  lim xn ;

   
   

n n

2. lim (xn  yn )  lim xn  lim yn ;

   
   

n n n

3. lim (xn  yn )  lim xn  lim yn ;

   
   

n n n
lim x d) lim x n  n  n , (b  0) ^n yn lim yn n bo‘ladi.
Teoremaning tasdiqlaridan birini, masalan c)-ning isbotini keltiramiz.
◄ Teoremaning shartiga ko‘ra, lim xn  a , lim уn  b.
n n Ravshanki,


xn  yn  ab  xn  yn  a  yn  a  yn  b 
(3)
| x a y_n  | | _n | | a y b| | _n  |
{yn  ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lganligi sababli u 1-teoremaga ko‘ra chegaralangan bo‘ladi:
M  0, nN: | yn |  M
Ketma-ketlik limiti ta’rifidan foydalanib topamiz:
  0 berilgan hamda ^ ga ko‘ra shunday n0^'  N topiladiki, n  n0^'
2M uchun
x an   
2M
bo‘ladi.

Shuningdek, ^ ga ko‘ra shunday n^{' '}  N topiladiki, n  n^{' '} uchun 2 1  a 

y b_n   ^
2 1  a 
bo’ladi.
Agar n
0  max{n0^' , n0^'' } deyilsa, unda n  n0 uchun bir yo‘la


|xn  a   , yn  b   2М 21  a  bo‘ladi.
(3) va (4) munosabatlardan


xn  yn  ab   M  a    

2М 21  a  bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa

lim xn  уn  аb
n
bo‘lishini bildiradi. ►
3⁰. Cheksiz kichik hamda cheksiz katta miqdorlar. Faraz qilaylik, _n  ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.
2-ta’rif. [2. p.130] Agar n  ketma-ketlikning limiti nolga teng, ya’ni lim n  0
n
bo‘lsa, n  - cheksiz kichik miqdor deyiladi.

Masalan, n¹ ва n  q ⁿ , _ q  1 n

ketma -ketliklar cheksiz kichik miqdorlar bo‘ladi.
Aytaylik, xn  ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib, uning limiti a ga teng bo‘lsin:
lim xn  а.
n
U holda n  xn  a cheksiz kichik miqdor bo‘ladi. Keyingi tenglikdan topamiz: xn  a  n . Bundan esa quyidagi muhim xulosa kelib chiqadi:
{xn ketma-ketlikning a (a  R) limitga ega bo‘lishi uchun _n  x_n  aning cheksiz kichik miqdor bo‘lishi zarur va etarli. 
Ketma-ketlikning limiti ta’rifidan foydalanib quyidagi ikkita lemmani isbotlash qiyin emas.
1-lemma. Chekli sondagi cheksiz kichik miqdorlar yigindisi cheksiz kichik miqdor bo‘ladi.
2-lemma. Chegaralangan miqdor bilan cheksiz kichik miqdor ko‘paytmasi cheksiz kichik miqdor bo‘ladi.
3-ta’rif. [2,p.70, def. 3.7] Agar har qanday M soni olinganda ham shunday natural n0 soni topilsaki, barcha n  n0 uchun

|xn  M
tengsizlik bajarilsa, xn  ketma-ketlikning limiti cheksiz deyiladi va
lim xn 
n kabi belgilanadi.
Agar xn  ketma-ketlikning limiti cheksiz bo‘lsa, xn  cheksiz katta miqdor deyiladi.
Masalan,
xn  (1)ⁿ  n ketma -ketlik cheksiz katta miqdor bo‘ladi.
Endi cheksiz kichik va cheksiz katta miqdorlar orasidagi bog’lanishni ifodalovchi tasdiqlarni keltiramiz:
 1
1) Agar xn  cheksiz kichik miqdor  xn  0  bo‘lsa, u holda  cheksiz
 xn katta miqdor bo‘ladi.
 1
Agar x_n cheksiz katta miqdor bo‘lsa, u holda   cheksiz kichik miqdor
 xn
bo‘ladi.

Nazorat savollari

Sonlar ketma-ketligi nima?

Qachon ketma-ketlik yuqoridan (quyidan) chegaralangan (chegaralanmagan)
deyiladi?
Sonlar ketma-ketligi limiti ta’rifini bering. Misollarda tushuntiring.

Glossariy

Sonlar ketma-ketligi - f : n  x_n , ( n 1, 2,3,...) akslantirishning akslaridan iborat
Ushbu x1 , x2 , x3 , ..., xn , ... to‘plam sonlar ketma-ketligi deyiladi.
Yuqoridan chegaralangan ketma-ketlik – agar shunday o‘zgarmas M soni
mavjud bo‘lsaki, ixtiyoriy xn (n 1, 2, 3,...) uchun xn  M tengsizlik bajarilsa (ya’ni bajarilsa (ya’ni  M ,  n  N : xn  M bo‘lsa), {xn } ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan deyiladi.
Quyidan chegaralangan ketma-ketlik – agar shunday o‘zgarmas m soni mavjud bo‘lsaki, ixtiyoriy xn (n 1, 2, 3,...) uchun xn  m tengsizlik
bajarilsa (ya’ni,  m,  n  N : xn  m bo‘lsa), {xn } ketma-ketlik quyidan chegaralangan deyiladi.
Chegaralangan ketma-ketlik – agar {xn } ketma-ketlik ham yuqoridan, ham quyidan chegaralangan bo‘lsa (ya’ni  m, M ,  n  N : m  xn  M bo‘lsa), {xn } ketma-ketlik chegaralangan deyiladi.
Yuqoridan chegaralanmagan ketma-ketlik – agar {xn } ketma-ketlik uchun M  R, n₀  N : x_n  M bo‘lsa, ketma-ketlik yuqoridan
0 chegaralanmagan deyiladi. Nuqtaning  -atrofi – ushbu


U_ (a) {x  R a    x  a   }  (a  , a   ) to‘plam a nuqtaning - atrofi deyiladi.
Ketma-ketlikning limiti – agar ixtiyoriy   0 son olinganda ham shunday n0 natural soni mavjud bo‘lsaki, n  n0 tengsizlikni qanoatlantiruvchi

barcha natural sonlar uchun xn  a   tengsizlik bajarilsa, (ya’ni

  0, n0  N, n  n0 : | xn  a | 
bo‘lsa), a son {xn } ketma-ketlikning limiti deyiladi va a  lim xn yoki n  da xn  a
n kabi belgilanadi.
Adabiyotlar

1. 
   
   Tao T. Analysis 1. Hindustan Book Agency, India, 2014.
   
2. 
   
   Xudayberganov G., Vorisov A. K., Mansurov X. T., Shoimqulov B. A. Matematik analizdan ma’rizalar, I q. T. “Voris-nashriyot”, 2010.
   
3. 
   
   Fixtengols G. M. Kurs differensialnogo i integralnogo ischisleniya, 1 t. M. «FIZMATLIT», 2001.
   

http://fayllar.org