Zahiriddin muhammad bobur nomidagi

Parametr ko`rinishdagi umumiy yechim. Aksariyat hollarda (2) tenglamani integrallashtirib umumiy yechimning (bir parametrlik integral egri chiziqlar oilasi) mavhum holda (у ga nisbatan hal qilinmagan ko'rinishda hosil qilamiz:

yoki
(x, y,C)  0
(x, y)  C
(65)
(65')

(2) tenglamaning bu ko'rinishdagi yechimi odatda ushbu tenglamaning umumiy integrali deb ataladi.

(65) yoki (65') nisbatini, agar bu nisbat (53) umumiy yechimni belgilasa, mavhum shakldagi umumiy yechim yoki D maydonidagi (2) tenglamaning umumiy integrali deb ataymiz. ,
y  (x,C)

D maydonidagi (2) tenglama.

Bu ta'rifdan (54) (2) tenglamining D maydonidagi umumiy integral ekanligi kelib chiqadi.

10. 
    misol. (34) tenglamani ko'rib chiqaylik
    

dy _{ } x
(34)

dx y

Biz (4) dan bilamizki bu tenglamaning integral egri chiziqlari

x²  y²  C
(C  R² )
(66)

aylanalar va (х,у) tekisligining har bir nuqtasida, koordinata boshidan tashqari, bitta va faqat bitta (34) tenglamaning integral egri chizig'i o'tadi. (66) nisbati (34) tenglamaning umumiy integralidir. U har bir yarim tekislikda ham umimiy integral

bo'ladi. Darhaqiat, (66) nisbati umumiy yechimlarning har bir maydon uchun belgilab beradi, ya'ni aynan
y  (x,C)
ko'rinishdagi

y 

• 
  yuqori yerim tekislikdagi (у>0) umumiy yechim
  

• 
  y 
  

• 
  quyi yarim tekislikdagi (у<0) umumiy yechim.
  

Ba'zida (2) differentsial tenglamani integrallashtirib bir dona ixtiyoriy doimiy C ga bog'liq, parametrik ko’rinishdagi imtegral egri chiziqlar oilasini hosil qilishadi.


^{x  (t,C)} y  (t,C ^

(67)

Integral egri chiziqlarning bunday oilasini (2) tenglamaning parametrik ko’rinishdagi umumiy yechimi deb ataymiz.

Agar (67) tenglamadan t parametri olib tashlansa, umumiy yechimni mavhum va hatto yaqqol ko'rinishda olishadi.