Zahiriddin muhammad bobur nomidagi

Koshi masalasining yechimining mavjudligi va yagonaligi uchun yetarli shart.

Savol qo’yamiz: (x₀,y₀) nuqtasi orqali bitta va faqat bitta integral egri chiziq o’tishi uchun (2) tenglamaning o’ng tarafini x₀, y₀ boshlang’ich ma’lumotlarining qanday shartlariga bo’ysindirish yetarli? Hozir biz (2) tenglama uchun mavjudligi va yagonalagi teoremasini (Pikar teoremasi) soddalashtirilgan ko’rinishda isbotsiz keltiramiz.
1-teorema. (2) tenglama berilgan bo’lsin

dy _
dx


f (x, y)
va boshlang’ich shartlar berilsin
x=x₀ da y=y₀
(2)

(38)
Tahmin qilamiz f(х, у) funksiya qandaydir chegaralangan hududda ichidagi (x₀,y₀) nuqta bilan aniqlangan (9-rasm)

R: x  x₀
 a ,
y  y₀  b

(а va b — berilgan musbat sonlar) va quyidagi ikki shartga mos:

1. 
   f(х, у) uzilmas va demak chekli, ya’ni
   

f (x, y)  M (41)

Bu yerda М—doimiy musbat son, (х, у) — R maydoning har qanday nuqtasi;

2. 
   f(х, у) funksiyasi y argumenti bo’ylab cheklangan xususiy hosilaga ega, ya’ni
   

 K (42)

Bu yerda К — doimiy musbat son, (х, у) — R maydoning har qanday nuqtasi.

Ushbu taxminlarda (2) tenglama
у=у(х),

38. 
    boshlang’ich shartlarga mos yagona yechimga ega. Bu yechim x mustaqil o’zgaruvchisining x₀ boshlang’ich qiymatining ba’zi doirasida aniqlangan va doimiy defferensiallanadi, ya’ni u
    

x  x₀  h (43)

intervalida aniq belgilangan (bu yerda h a va
^b sonlarining eng kichigi)
M

h  min^ a, ^{b }

(44)

M
 
 

Bu teoremadan, shuningdek, kelib chiqadiki, (2) tenglamaning o’ng tarafi x va y yoki nisbatan polinom, yoki har qanday boshqa x va y ning barcha qiymatlarida mustaqil o’zgaruvchi y bilan birga x va y ga nisbatan aniqlangan va doimiy funksiya, shunda har qanday (x₀,y₀) nuqtasi orqali bitta va faqat bitta integral egri chiziq o’tadi, chunki markazi (x₀,y₀) da bo’lgan har qanday R ko’pburchagi Pikar teoremasining ikkala sharti ham bajariladi. U holda (х, у) maydoni butunlay bir birini kesishmovchi va urinmaydigan tekis integral egri chiziqlar bilan to’la bo’ladi.

10. misol.

Tenglama berilgan bo’lsin

^dy  x²  y ²