Zahiriddin muhammad bobur nomidagi

Differinsial tenglamaga ko’ra mahsus yechim bo`lishga shubxali egri

chiziqlarni topish.

Tasavvurqilamizki (1) tenglamaning o‘ng tarafi 𝐷 maydonining ma’lum qismida aniqlangan va uzulmasdir hamda ushbu maydonning har bir nuqtasida 𝑦

dan xosilaga egadir. Shunda, agar ^𝑑ƒ
𝑑𝑦
𝐷 maydoni bilan chegaralangan bo‘lsa, Pikar

teoremasiga ko‘ra bu maydonning har bir nuqtasi orqali bir dona va faqat bir dona
(1) tenglamaning integral egri chizig‘i demak (1) tenglama maxsus echimga ega emas. Shuning uchun keltirilgan taxminlarda (1) tenglamaning maxsus echimlarini

faqat ^𝑑ƒ
𝑑𝑦
bo‘ylab cheklanmagan egri chiziqlar orasida izlash lozim. ^𝑑ƒ
𝑑𝑦
bo‘ylab

cheklanmagan egri chiziqlarni maxsus echimga shubxali deb ataymiz. Maxsus yechimga shubxali egri chiziqni topib, birinchidan uni integral egri chiziqligini, ikkinchidan uning har bir nuqtassida yechimning yagonaligi buzilishiga ishonch xosil qilish lozim. Agar bu ikkalasi xam o‘z isbotini topsa, maxsus yechimga shubxali egri chiziq rostdan ham maxsus yechim bo‘ladi.

15. 
    misol. (73)tenglamani ko‘rib chiqamiz,
    

^𝑑𝑦 = 2_√𝑦
𝑑𝑥


Bu erda ^𝑑ƒ = ¹ shuning uchun ^𝑑ƒ = ∞ faqat 𝑦 = 0 bo‘lganda

𝑑𝑦
_√𝑦
𝑑𝑦

Shuning uchun maxsus yechimga shubxali egri chiziq faqat 𝑂𝑥 (𝑦 = 0) o‘qidir. (𝑦 Ξ 0) (73) tenglama yechimi ekanligiga va shuning uchun maxsus yechimligi ekanligini tekshirish oson.

15. 
    misol. Tenglamani ko‘ramiz
    

^𝑑𝑦 = 2 𝑦 + 1 (73')

√
𝑑𝑥

Bu erda 17-misol kabi maxsus yechimga shubxali egri chiziq faqat 𝑂𝑥 (𝑦 = 0) o‘qidir. Lekin u yechim emas. Shuning uchun (73') maxsus yechimga ega emas.