Zahiriddin muhammad bobur nomidagi

O`rama integral egri chiziqlar oilasi maxsus yechim sifatida.

Taxmin qilamizki, (1) tenglama integral egri chiziqlarning bir juftli- metrik oilasiga ruxsat beradi.

ɸ(𝑥, 𝑦, 𝐶) (80)

bu erda 𝐶 parametr. Taxmin qilamizki u o`ramachiziq, ya’ni xar bir nuqtasida (80) oilaga mansub xech bo‘lmaganda bir dona egri chiziqqa teguvchi va xech bir qismida ushbu oilaning egri chizig‘i bilan mos kelmaydigan, egri chiziqqa ega deb taxmin qilamiz.

Ravshanki, (2) tenglamaningo`ramachizig`i integral egrichiziqlaroilasibu tenglamaning echimi bo‘lib, shu bilan birgalikda maxsus yechimdir.

Darxaqiqat o`rama chizig`i har bir nuqtasida (80) oilaga mansub qandaydir integral egri chiziq bilan umumiy urinmaga ega, demakki o`rama chizig`ining har bir nuqtasida yo‘nalishi nuqtaning bu maydondagi yo‘nalishi bilan mosdir. Bu o`ramachizig`i integral egri chiziqekanligini bildiradi. Keyin, o`rama chizig`ining har bir nuqtasida Koshi masalasining echimining yagonaligi buzuladi: bu nuqta orqali kamida ikkita integral egri chiziq o‘tadi (ya’ni o`rama chizig`ning o‘ziva o`rama chizig`i shu nuqtada teguvchi egri chiziq oilasi) maydon yo‘nalishi bir xil bo‘lgan xolda.

15. 
    misol. (73)tenglama,
    

^𝑑𝑦 = 2_√𝑦
𝑑𝑥

(74) integral egri chiziqlarning birparametrlik oilasiga ruxsat beradi. (74), 1- rasmdan ravshanki bu oila (73) tenglamaning maxsus yechimi bo‘lgan o`rama chizig`iga 𝑦 = 0 (𝑜𝑥 o`qi) ekanligi ko‘rinib turibdi.

Quyida biz bir parametrli egri chiziqlar oilasi o`rama chizig`i to‘g‘risida teorema mos bo‘lishi kerak sharoit va etarli sharoit xaqida teoremani ko‘rsatib o‘tamiz. Buning uchun bizga egri chiziqlar oilasiga ham, o`rama chizig`iga xam bir qancha cheklashlar kiritish lozim bo‘ladi.
Tasavvur qilamiz (80) bir parametrli oila ɸ(𝑥, 𝑦, 𝐶) funksiyasi berilgan va 𝐺 maydonida ^[𝐶₁, 𝐶₂^]intervali bo‘yicha 𝐶 ning barcha qiymatlarida𝑥, 𝑦, 𝐶bo‘yicha uzulmas xususiy xosilalarga ega va ^[𝐶₁, 𝐶₂^]dagi xar bir 𝐶da (80) tenglama qandaydir egri chiziqni belgilaydi. Shu xolatda biz (80) tenglama 𝐺maydonida ^[𝐶₁, 𝐶₂^]dagi 𝐶 parametrga bog‘liq egri chiziqlar regulyar oilasiga egamiz deymiz.
Agar egri chiziq quyidagi tenglama bo‘yicha berilgan bo‘lsa



( )
^{𝑥 = 𝑥(𝑡)}} ⁽𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽⁾
𝑦 = 𝑦 𝑡
tekis parametrizatsiya bo‘ylab berilgan deymiz va bunda 𝑥(𝑡) va 𝑦(𝑡) funksiyalari uzuluksiz xosilalarga ega va bu xosilalar 𝑡 ning ^[α, β^] dagi xech qaysi qiymatida bir vaqtda no`lga aylanmaydilar.
Taxmin qilaylik, (80) oiladagi o`rama chizig`i tekis parametrizatsiyalik egri chiziq.

2.