Zahiriddin muhammad bobur nomidagi

5-teorema. (2) tenglamaning D maydonida aniqlangan har qanday ƒ⁽𝑥, 𝑦⁾ va ƒ₁⁽𝑥, 𝑦⁾integrali qandaydir D maydoni ichidagi 𝐷₀ maydonida o'zaro bog'liq, ya'ni ayniyat bo'yicha (𝐷₀da) quyidagi tenglik bajariladi
ƒ = 𝑇⁽ƒ₁⁾ (122 )
Darhaqiqat ƒ⁽𝑥, 𝑦⁾ va ƒ₁⁽𝑥, 𝑦⁾(2) tenglamaninf D maydonidagi integrallari bo'lgani uchun ta'rif bo'yicha (D da) ayniyat mavjud
^𝑑ƒ + ^𝑑ƒ ƒ⁽𝑥, 𝑦⁾𝑑𝑥 = 0,

_{ 𝑑𝑥 𝑑𝑦
} (123)

^𝑑ƒ1 + ^𝑑ƒ1 ƒ⁽𝑥, 𝑦⁾𝑑𝑥 = 0,
𝑑𝑥 𝑑𝑦
lekin u holda (D da) quyidagi ayniyat ham bor bo'ladi
𝑑ƒ ₊ 𝑑ƒ

_| 𝑑𝑥 𝑑𝑦
| Ξ 0 (124)

𝑑ƒ_{1 +} 𝑑ƒ₁
𝑑𝑥 𝑑𝑦

Shunday qilib ƒ va ƒ₁ funktsiyalari yakobiani ayniy (D da) nolga teng.

Shundan, ^𝑑ƒ1
𝑑𝑦
D maydonining har qanday (𝑥_0,𝑦₀) nuqtasida noldan farq

qilinishini hisobga olib, yuqoridagi keltirilgan lemmaga muvofiq, ƒ funksiyasi D maydonidagi qandaydir (𝑥_0,𝑦₀)nuqtasidagi ƒ₁ funksiyasidan kelib chiqadi, ya'ni (𝐷₀ da) (122) tenglik ayniy bajariladi deb xulosa qilamiz. Teorema isbotlandi.
Yana aytib o'tamizki (122) tenglikda 𝑇funksiyasi ƒ₁ funksiyasi
tomonidan (x,y) nuqtasi D maydoni bo'ylab o'tganda ƒ₁ tomonidan qabul
qilinadigan barcha qiymatlarda uzliksiz hosilaga ega. Undan tashqari ^𝑑𝑊
𝑑ƒ₁

noldan farq qiladi, chunki agar ^𝑑𝑊
= 0, unda ^𝑑ƒ = ^{𝑑𝑊
𝑑ƒ1} = 0, ya'ni

𝑑ƒ₁
𝑑𝑦 𝑑ƒ₁
𝑑𝑦

^𝑑ƒ = 0 bu esa mumkin emas, chunki ƒ (2) tenglamaning integralidir.
𝑑𝑦
Shunga o'xshash mulohazalar bilan bir maydonda aniqlangan ikkita integral orasidagi bog'liqlik (4) va (6) ko'rinishdagi tenglamalar uchun ham mavjudligiga ishonch hosil qilish mumkin.