Zahiriddin muhammad bobur nomidagi

4-teorema. Agar ƒ₁⁽𝑥, 𝑦⁾ (2) tenglamaming D maydonidagi x va y bo'ylab doimiy xususiy hosilalarga ega bo'lgan integrali bo'lsa, 𝑇⁽𝑧⁾ esa z maydonining qandaydir qismida aniqlangan, ƒ₁⁽𝑥, 𝑦⁾funktsiyasi qabul qiluvchi barcha qiymatlarni qamrab oluvchi (u holda (x,y) funktsiyasi butun D maydonidan o'tadi) va ushbu maydonda noldan farq qiluvchi uzliksiz hosilaga ega har qanday funktsiya bo'lsa, quyidagi funktsiya ham
ƒ = 𝑇^[ƒ₁⁽𝑥, 𝑦^)] (105)
D maydonidagi (2) tenglamaning integrali bo'ladi.
Darhaqiqat, ƒ funksiyasi x va y bo'ylab doimiy xususiy hosilalarga ega:

𝑑ƒ ₌ 𝑑𝑊
𝑑ƒ_{1 .} 𝑑ƒ ₌ 𝑑𝑊
^𝑑ƒ1, (106)

𝑑𝑥 𝑑ƒ₁
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑ƒ₁
𝑑𝑦

shu bilan birga D maydonida ^𝑑ƒ G 0. Undan so'ng ega bo'lamiz:
𝑑𝑦

𝑑ƒ = ^𝑑𝑊
𝑑ƒ₁
𝑑ƒ₁ (107)

(2) tenglamaga mos ravishda 𝑑ƒ₁ Ξ 0, mos ravishda𝑑ƒ Ξ 0. Demak,
ƒ D maydonida (2) tenglamaning integralidir.

1. 
   xossa. Agar 𝑇′⁽𝑧⁾ teoremada ko'rsarib o'tilgan maydonning z ning hamma qismida emas, faqat bir qismida noldan farq qilsa, (105) funktsiya (2) tenglamaning D maydondagi mos qismida integrali bo'ladi.
   
2. 
   xossa. Isbot qilingan teoremadan kelib chiqadiki, agar
   

ƒ₁⁽𝑥, 𝑦⁾ = 𝐶₁ (108)
(2) yenglamaning umumiy integrali bo'lsa,
𝑇^[ƒ₁⁽𝑥, 𝑦^)] = 𝐶 ^[𝐶 = 𝑇⁽𝐶₁^)], 109) nisbati ham, 𝑇⁽𝑧⁾ - noldan farqli uzilmas doimiyga ega har qanday funksiya,
(2) tenglamaning umumiy integralidir.
Bu da'vo 𝑇 funksiyasini kerakligini tanlash hisobiga ushbu tenglamaning umumiy integralining eng qulay ko'rinishda olishga imkon beradi.

24. 
    
    misol. Tenglamani olamiz
    

^𝑑𝑦 = − ^√1−𝑦2. (110)

𝑑𝑥
^√1−𝑥²

ega:
Ushbu tenglama, anglash qiyin emaski, quyidagi umumiy integralga

ƒ₁ = 𝑎𝑟𝑐𝑠i𝑛𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑠i𝑛𝑦 = 𝐶₁ (111)

Uning chap tarafi transtsendent funksiya.

Umumiy integralni algebraik shaklda yasaymiz. Buning uchun yuqorida ko'rsatilgan 𝑇⁽𝑧⁾ funksiyasi sifatida sinusni olamiz. U holda quyidagi ko'rinishdagi umumiy integral olamiz
ƒ = 𝑠i𝑛⁽𝑎𝑟𝑐𝑠i𝑛𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑠i𝑛𝑦⁾ = 𝐶 (112)

yoki

x^√1— y² + y^√1— x² = C, (113)

ya'ni biz algebraik ko'rinishdagi umumiy integral hosil qildik. Umumiy integralning ushbu ko'rinishi avvalgisidan ko'p holatlarda qulayroq. Jumladan, radikallardan qutilib biz bu yerdan umumiy integralni ratsional ko'rinishda olishimiz mumkin.
(2) tenglamaning integrali haqidagi yuqoridagi berilgan tushuncha (4) differentsial ko'rinishdagi tenglamaga ham
M⁽x, y⁾𝑑𝑥 + 𝑁⁽x, y⁾𝑑𝑦 = 0,
(6) simmetrik ko'rinishdagi tenglamaga ham

oson ko'chirilasi.
𝑑𝑥 X⁽𝑥, 𝑦⁾
₌ 𝑑𝑦 _,
𝑌⁽𝑥, 𝑦⁾

Uzilmas xususiy hosilalarga ega integralda to'xtalamiz. (4) tenglama (5) tenglamalar jamlanmasiga teng bo'lgani uchun
𝑑𝑦 ₌ 𝑀⁽𝑥,𝑦⁾_, 𝑑𝑦 _{= −} 𝑀⁽𝑥,𝑦⁾_,

𝑑𝑥
𝑁⁽𝑥,𝑦⁾
𝑑𝑥
𝑁⁽𝑥,𝑦⁾

biz ƒ⁽𝑥, 𝑦⁾ funksiyasini (4) tenglamaning D maydonidagi, D maydoni ushbu tenglama uchun Koshi masalasining mavjudligi va yechimining yagonaligi

maydoni, agar ^𝑑ƒ va ^𝑑ƒ
D maydonida mavjud va uzliksiz , D maydonining

𝑑𝑥 𝑑𝑦
hech qaysi nuqtasida nolga aylanmaydigan va agar ƒ⁽𝑥, 𝑦⁾funktsiyasining to'liq differentsiali aynan (Dda) (4) tenglamaga mos ravishda nolga teng bo'lsa, integrali deb ataymiz.
Differentsial tenglama (6) simmetrik ko'rinishda berilgan hollarda, integral tushunchasi shunga o'xshash kiritiladi, shu bilan birga taxmin qilinadiki, ko'rilyatgan maydonda X va Y funktsiyalari bir vaqtda nolga aylanmaydi.