Zahiriddin muhammad bobur nomidagi

Kvadraturalarda integrallashuv haqida.

Izlanyatgan funksiya xossalarini o'rganish va qiymatini hisoblash maqsadida imkon bo'lganda tenglamani kvadraturalarda integrallashga harakat qiladilar.
(2) tenglamaning kvadraturalarda integrallashuvi masalasini yechimi
^𝑑𝑦 = ƒ⁽𝑥, 𝑦⁾,
𝑑𝑥
ƒ⁽𝑥, 𝑦⁾ funksiyasi ko'rinishiga bog'liq. Umumiy hollarda (2) tenglama kvadraturalarda integrallashmaydi. Lekin ƒ⁽𝑥, 𝑦⁾funktsiyasining ba'zi xususiy ko'rinishlarida uni kvadraturalarda integrallashuviga erishsish mumkin. Ushbu bobning bu paragrafi bunday tenglamalarning eng muhim tiplariga bag'ishlangan.
Aytib o'tish kerak (2) tenglamani ko'rib chiqayotganimizda biz y ni izlanyatgan funktsiya deb hisoblaymiz. Lekin ko'p hollarda berilgan (2) tenglama ko'rinishi kvadraturalarda integrallashuvchi tenglama tipiga kirmaydi, shu bilan birga agr izlanyatgan funktsiya y emas x deb hisoblansa u kvadraturalarda integrallashadi, ya'ni uni qaytadan (2') tenglama ko'rinishida yozilsa
𝑑𝑦 ₌ ƒ⁽𝑥, 𝑦⁾_,

𝑑𝑥 1
agar berilgan tenglama (4) ko'rinishda bo'lsa,
M⁽x, y⁾𝑑x + 𝑁⁽x, y⁾𝑑y = 0,

uni doimo ^𝑑𝑦
𝑑𝑥
yoki ^𝑑𝑥
𝑑𝑦
ga nisbatan yechib (2) yoki (2') ko'rinishga keltirish

mumkin. Agar bu holda biron bir tenglama kvadraturada integrallashsa berilgan tenglama ham kvadraturada integrallashadi.
Lekin ko'p hollarda (4) tenglama ko'rinishidagi tenglama shundaoq ham kvadraturada integrallashadi. Hattoki ba'zi hollarda berilgan tenglama (2) ko'rinishga ega bo'ladi, lekin uning o'zi ham uning teskari (2') ko'rinishi ham ma'lum integrallashuvchi tiplaga mansub bo'lmaydi, shu bilan birga unga mos (4) ko'rinishdagi tenglama kvadraturada integrallashadi.
Shuning uchun berilgan differentsial tenglamaning kvadraturada integrallashuvi haqidagi savolga javob berish uchun uni (2), (2') va (4) ko'rinishlarda yozilganda ma'lum integrallashuvchi tiplaga mansubligini tekshirish lozim.
Kvadraturada integrallashuvchi tenglamalrniko'rib chiqqanda biz, ta'rifni soddalastirish maqsadida, tenglamalrning va yechimlarning to'liq analizini faqat en ko'p teoretik qiziqash uyg'otuvchi hollarda berib boramiz, qolgan hollarda esa formal integratsiya bilan kifoyalanamiz.