Analyse Numérique Problèmes Pratiques Dérivation Intégration



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tarix17.01.2019
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#99468


Analyse Numérique Problèmes Pratiques

  • Dérivation Intégration


Introduction

  • f connue

    • sur un certain nb de points
    • ou analytiquement
  • besoin de connaître f'

  • besoin de calculer l'intégrale

    • sans calculer la primitive
    • (quadrature)


Dérivation numérique 1/5

  • Méthode "naïve" :

  • en théorie, la formule est vraie pour h  0

  • en pratique, attention au choix de h !

      • h trop grand : calcul trop approximatif
      • h trop petit : problèmes d'arrondis


Dérivation numérique 2/5

  • Méthode des différences centrales :

    • Taylor :
    • On connaît f sur un ensemble de points {xi,yi}
      • h = xi+1 - xi
      • f(x+h)
      • f(x-h)


Dérivation numérique 3/5

  • Méthode des différences centrales (suite) :

    • f(x+h) - f(x-h)
    • en négligeant les termes en h3 :
    • meilleure approximation que la méthode "naïve" (h3/h2)


Dérivation numérique 4/5

  • Méthode des différences centrales (suite) :

    • calcul des dérivées d'ordre supérieur :
      • f"(xi) ?


Dérivation numérique 5/5

  • Méthode des différences centrales (fin) :

    • calcul des dérivées d'ordre supérieur :
    • en négligeant les termes en h4 :
    • et pour les autres dérivées ?


Intégration numérique 1/

  • Plusieurs méthodes :

    • a et b finis
      • On connaît f sur un ensemble de points {xi,yi}
      • polynôme d'interpolation sur n+1 points Newton-Cotes
      • On connaît f sur autant de points que l'on veut
      • polynôme d'interpolation + choix de n+1 points Gauss-Legendre
    • a ou b infini
      • Gauss-Laguerre, ...


Intégration numérique 2/

  • Méthodes polynomiales

    • On connaît la fonction sur n+1 points
    • 2 solutions :
      • calculer le polynôme d'interpolation de degré n : Pn(x) calculer l'intégrale du polynôme de degré n
      • problème = les polynômes de degré élevé oscillent énormément
      • regrouper les n+1 points en sous-intervalles de p+1 points (avec p+1 faible) calculer les polynômes d'interpolation de degré p sommer les intégrales de chaque sous-intervalle


Intégration numérique 3/

  • Méthode des trapèzes : p+1=2 points

    • polynôme d'interpolation=droite
    • A =
    • soit h = xi+1 - xi


Intégration numérique 4/

  • Méthode de Simpson: p+1=3 points

    • polynôme d'interpolation de degré 2
    • i va de 0 à n-2 avec un pas de 2


Intégration numérique 5/

  • Méthode générale Newton-Cotes: p+1 points

    • polynôme d'interpolation de degré p: Pp(x)
    • comment trouver les i ?


Intégration numérique 6/

  • Méthode générale Newton-Cotes: p+1 points

    • calcul des i = décomposition de l'intégrale dans la base {1, t, … tp}


Intégration numérique 7/

  • Exercice :

    • Utiliser la méthode de Newton-Cotes pour :
      • retrouver la méthode des trapèzes
      • retrouver la méthode de Simpson
      • trouver la méthode de Simpson "3/8" (p+1=4)


Intégration numérique 8/

  • Quelle erreur comment-on avec Newton-Cotes ?

    • Pour chaque sous-intervalle (et donc chaque A) :
      • erreur d'interpolation : [ (x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xp) ]
      • erreur de quadrature :


Intégration numérique 9/

  • Erreur de quadrature pour :

    • les trapèzes
    • Simpson


Intégration numérique 10/

  • Méthodes polynomiales récursives :

    • ex pour la méthode des trapèzes
      • découpage récursif de la surface en trapèzes


Intégration numérique 11/

  • Bornes infinies ?

    • Méthode de Gauss-Laguerre


Intégration numérique 12/

  • Intégrales multiples ?

    • Ex avec la méthode de Simpson
      • en dimension 2 : zij = f(xi, yj)


Sujet de TD



Conclusion



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