Analyse Numérique Problèmes Pratiques Résolution d'équations différentielles



Yüklə 445 b.
tarix03.01.2019
ölçüsü445 b.
#89272


Analyse Numérique Problèmes Pratiques

  • Résolution d'équations différentielles


Introduction



Principes généraux

  • équation différentielle :

    • avec t  I = [t0,T]
  • idée générale :

    • discrétiser t tn = t0 + nh avec h = (T-t0)/n = pas de la méthode
    • trouver une suite itérative zn qui approche yn = y(tn)


Schémas à un pas 1/

  • Forme générique :

    • (tn,zn) calculé à partir de zn
    • exemples : on peut partir de la propriété :
      • calcul de l'intégrale I par :
        • rectangle gauche I = hf(tn) schéma d'Euler simple
        • rectangle droit I = hf(tn+1) schéma d'Euler rétrograde (zn+1 n'est plus donné directement, il faut résoudre le système)


Schémas à un pas 2/

      • calcul de l'intégrale I par :
        • trapèzes schéma d'Euler centré I = h[f(tn)+ hf(tn+1)]/2
      • comment éviter les méthodes implicites en gardant les avantages du schéma d'Euler centré ?
      • on remplace le zn+1 "génant" du Euler centré par son estimation simple : schéma prédicteur/correcteur d'Euler-Cauchy


Schémas à un pas 3/

  • les schémas de Runge-Kutta

    • forme générique avec (t,z) défini par :
      • un ordre q
      • les équations suivantes :
    • problème = trouver les meilleurs i ij i


Schémas à un pas 4/

  • Runge-Kutta d'ordre 2

    • 1=0 2=1 1= 11 =1/2 : schéma du point milieu
    • 1=2=1/2 1= 11 =1 : schéma d'Euler-Cauchy


Schémas à un pas 4/

  • Runge-Kutta d'ordre 4

  • il faut alors estimer f sur plusieurs valeurs intermédiaires (souvent coûteux)



Schémas multi-pas 1/

  • les schémas d'Adams-Bashforth

    • (tn,zn) calculé à partir de zn zn-1 ...
    • On repart de la propriété :
      • calcul de l'intégrale I en remplaçant f par une interpolation polynomiale d'ordre q (avec les points tn à tn-q)


Schémas multi-pas 2/

  • Adams-Bashforth à 2 pas

    • pour n  1
    • problème : il faut calculer z1 autrement … (avec une méthode à 1 pas comme Runge-Kutta)


Schémas multi-pas 3/

  • Adams-Bashforth à 3 pas

    • pour n  2
  • Adams-Bashforth à 4 pas

    • pour n  3


Schémas multi-pas 4/

  • les schémas d'Adams-Moulton

      • calcul de l'intégrale I en remplaçant f par une interpolation polynomiale d'ordre q+1 (avec les points tn+1 à tn-q)
      • méthode implicite : zn+1 va dépendre de f(tn+1,zn+1) (à cause du k=-1)


Schémas multi-pas 5/

  • Adams-Moulton à 1 pas

    • pour n  0 (Euler centré)
  • Adams-Moulton à 2 pas

    • pour n  1


Schémas multi-pas 6/

    • Comment éviter le côté implicite de Adams-Moulton ?
    • on remplace le zn+1 "génant" par son estimation par Adams-Bashford :
    • Exemple : schéma prédicteur/correcteur d'ordre 4


Sujet de TD



Conclusion



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