Exercices sur les intégrales (de Riemann)

Intégrale de Riemann – Calcul d’intégrales et de primitives
Objectifs :

1. 
   Savoir utiliser dans des cas simples la définition de l’intégrale
   
2. 
   Savoir utiliser les propriétés de l’intégrale comme la formule de la moyenne.
   
3. 
   Les élèves doivent gérer seuls le calcul des primitives des fractions rationnelles. Pour les autres cas, un minimum de réflexion est le bienvenu, et si cela ne suffit pas, une indication de changement de variable par l’enseignant peut débloquer la situation…
   
4. 
   Il faut faire un ou deux calculs simples utilisant les exponentielles complexes.
   

THEME 1 : définition de l’intégrale (ne pas dépasser 1h 30 sur ce thème).
Exercice 1

1. Calculer les limites en des suites dont les termes généraux sont :

2. Calculer à l’aide de la définition de l’intégrale.

Exercice 2

C’est aussi un problème de révision sur le programme du 1^er semestre.

Soit , . Soit .

1. 
   Pour quelle raison f est-elle intégrable sur  ?
   
2. 
   Montrer, en utilisant les racines 2n-ièmes de 1, que pour *, on a : .
   
3. 
   Calculer pour , puis pour à l’aide de la définition de l’intégrale.
   

THEME 2 : propriétés de l’intégrale (ne pas dépasser 2 séances de TD sur ce thème)
Exercice 3

Soit f une fonction continue sur . On considère la suite définie par . Montrer que est convergente.

Exercice 4

A l’aide de la formule de la moyenne, déterminer un équivalent en de .

Exercice 5

Soit f la fonction définie par .

1. 
   Montrer que f est définie sur * et de classe C¹ sur *.
   
2. 
   Montrer que f est paire.
   
3. 
   A l’aide de la formule de la moyenne, montrer que .
   
4. 
   On prolonge f en posant . Montrer que f ainsi prolongée est de classe C¹ sur .
   
5. 
   A l’aide d’une intégration par partie, montrer que .
   

Exercice 6

Soit f une fonction continue sur un intervalle .

1. 
   Montrer à l’aide d’un changement de variable que . En déduire la valeur de .
   
2. 
   Montrer que si pour tout , alors . En déduire la valeur de .
   

Exercice 7

Calculer les dérivées des fonctions de variable x définies par : , , , , .

Exercice 8

Soit F la fonction définie pour x>0 par .

1. 
   Montrer que F est décroissante sur . Montrer que .
   
2. 
   Soit h la fonction définie sur  par : si et .
   

1. 
   Montrer que : .
   
2. 
   En déduire qu’il existe C>0 (indépendant de x) tel que :
   

3. 
   On pose . Montrer que, au voisinage de , on a : .
   

THEME 3 : calcul de primitives à choisir pour environ 2h de TD.
Exercice 9

Calculer les intégrales suivantes :  ;  ; .

Exercice 10

Calculer les primitives et intégrales suivantes (pour les primitives il faudra préciser les intervalles où le calcul est valide) :  ; ; ;

 ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; .

THEME 4 : problèmes de synthèse.
Exercice 11 (intégrales de Wallis)

Pour n, on pose .

1. 
   Montrer que la suite est convergente.
   
2. 
   Soit . Montrer que pour tout naturel n : . En remplaçant a par un a_n bien choisi, montrer que .
   
3. 
   Montrer que pour tout n, .
   
4. 
   Déduire de 3 :
   
   1. 
      Pour p,, la valeur de et celle de à l’aide de factorielles.
      
   2. 
      ne dépend pas de n et vaut .
      
5. 
   Montrer que . En déduire que .
   
6. 
   Montrer que
   

Exercice 12

1. 
   Soit  un réel .
   
   1. 
      Montrer, à l’aide du théorème des accroissements finis, que pour tout n, n>1, on a :
      
   2. 
      On pose, pour n*, . Montrer que la suite est convergente.
      
2. 
   Soit f une fonction de classe C¹ sur un intervalle . Montrer, en commençant par une intégration par parties, que . (Remarque : on a aussi ).
   
3. 
   Trouver des réels  et  tels que : *, .
   
4. 
   Pour , on pose . Trouver la valeur qu’il faut donner à f(0) pour que f soit continue en 0. Montrer qu’alors f est de classe C¹ sur .
   
5. 
   Montrer que pour tout réel t non multiple de 2, on a :
   
6. 
   On pose, pour n*, . La suite converge d’après 1. Montrer que sa limite est en utilisant les questions précédentes.