İxtisas: Rİm kurs: III fənn

İxtisas: RİM

Kurs: III

Fənn: KDFN(Kompleks dəyişənli funksiyalar nəzəriyyəsi)

Mövzu: Harmonik funksiyalar

Ədəbiyyat siyahısı: 1. М.А.ЛАВРЕНТБЕВ и Б.В.ШАБАТ – Методы теории функций комплексного переменного. М.,Наука, 1965.

2. И.И.ПРИВАЛОВ – Введение в теорию функций комплексного переменного. М.,Наука, 1984.

Müəllim: A.Əfəndiyeva E-mail adresi:

Plan: 1.Orta qiymət teorimi.

2.Ən böyük və ən kiçik qiymətləri.

Göndəriləcək adres: [e-mail]

Harmonik funksiyalar
1.Fərz edək ki,

funksiya oblastında analitik funksiyadır. Buna görə də σ oblastının hər bir nöqtəsində (z) funksiyasının sonlu törəməsi var və bu törəmə

(z)= + i = - i

düsturu ilə hesablanır. oblastında analitik funksiyasının törəməsi də həmin oblastda analitik funksiya olduğundan, törəməsinin hər bir z nöqtəsində sonlu törəməsi var və bu törəmənin yenə də (l) düsturu ilə hesablamaq olar.

(z)= + ı = - - i
Analitik funksiya kəsilməyən olduğundan (z) və (z) funksiyaları oblastında kəsilməyən olar. Onda (l) və (2) düsturlarına əsasən deyə bilərik ki, və funksiyalarının oblastında istənilən tərtibdən kəsilməyən xüsusi törəmələrinin varlığını göstərmək olar.

(z) funksiyası ob lastında analitik olduğundan onun həqiqi və xəyali hissəsi oblastının hər bir nöqtəsində Kosi-Riman şərtlərini ödəyir.
= - , = -

Buradan çıxır ki, və funksiyalarının hər biri ikitərtibli xüsusi törəməli

+ = 0
tənliyini ödəyir.

(3)tənliyi Laplas tənliyidir.

Laplas tənliyinin həlli olan hər bir (həqiqi) funksiya harmonik funksiya adlanır.

Beləliklə, isbat etmiş oluruq ki, istənilən analitik funksiyanın həqiqi və xəyali hissəsi harmonik funksiyadır. Belə iki harmonik funksiya Koşi Riman şərtlərini ödəyir.

Ümumiyyətlə, Koşi Rimanın
= , = -
şərtləri ilə bağlı olan harmonik U(x,y) və V(x,y) funksiyalarına qoşma harmonik funksiyalar deyilir. Deməli, istənilən analitik funksiyanın həqiqi və xəyali hissəsi qoşma harmonik funksiyalardır.

2.Belə bir sual qarşıya çıxır: birrabitəli oblastında harmonik olan istənilən U(x,y) funksiyası ilə qoşma olan harmonik funksiya varmı? Bəli vardır.

Belə harmonik V(x,y) funksiyasını onun xüsusi törəmələrinin ödəməli olduğu
= - , =
münasibətlərinə əsasən qurmaq olar. Bu məqsədlə

^(x,y)

V₀(x,y) = d dy (4)

əyrixətli inteqralına baxaq. Burada (x₀,y₀) qeyd olunmuş və (x,y) ixtiyari nöqtədir. Harmonik U(x,y) funksiyası (3) tənliyinin həlli olduğundan oblastının hər bir nöqtəsində

( ) = (- )
şərti ödənilir. Buna görə də əyrixətli (4) inteqralı inteqrallama yolundan asılı deyildir.

V_o (x,y) funksiyası oblastının hər bir nöqtəsində

= - , =
şərtlərini ödəyir. Döğrudan da, əyrixətli inteqralın xassəsinə görə
+

olar. Deməli, V₀(x,y) funksiyası U(x,y) ilə qoşma olan harmonik funksiyadır. Onda U(x,y) funksiyası ilə qoşma olan axtarılan harmonik funksiyalar

^(x,y)

V(x,y)= dx+ dy+C

şəklində olar. (C istənilən həqiqi sabit ədəddir)

Beləliklə , aşağıdakı teoremi isbat etmiş oluruq:

Teorem 1. Birrabitəli oblastında harmonik olan hər bir U(x,y) funksiyasına həmin oblastda analitik hər hansı bir f(x) funksiyasının həqiqi və xəyali hissəsi kimi baxmaq olar.

Bu teoremə əsasən analitik funksiyaların məlum xassələrindən harmonik funksiyaların uyğun xassələrini almaq olar.

3.Harmonik funksiyaların aşağıdakı kimi bir sıra maraqlı xassələri vardır.

I. oblastında harmonik olan hər bir funksiyanın istənilən tərtibli xüsusi törəməsi var və bu xüsusi törəmələr özləri də harmonik funksiyalardır.

Bu xassənin doğruluğu yuxarıda isbat etdiyimiz birinci teoremdən və analitik funksiyalar haqqındakı birinci teoremdən aydındır.

II Mərkəzi z nöqtəsində olan R radiuslu qapalı dairədə harmonik U(z)=U(x,y) funksiyası üçün

^2R

U(z)=

_o

münasibəti doğrudur.

Bu xassəyə harmonik funksiyalar üçün orta qiymət teoremi deyilir.

(5) düsturunu isbat etmək üçün analitik f(z) (U(z)=Re f(z)) funksiyasını qurmaq və onun üçün orta qiymət teorimində göstərilən

f(z)=

Düsturunu yazmaq lazımdır. Bu bərabərliyin həqiqi hissəsini ayırsaq, (5) düsturunu alarıq.

III. oblastında harmonik və eyniliklə sabitə bərabər olmayan U(z)=U(x,y) funksiyası həmin oblastın daxilində ən böyük və ən kiçik qiymətini ala bilməz.

Bu təklifi ən böyük qiymət haqqında isbat etmək kifayətdir.

Fərz edək ki, U(z) funksiyası oblastının hər hansı daxili z₀ nöqtəsində ən böyük qiymətini alır. oblastında analitik olan və U(z)=Re f(z) münasibətini ödəyən f(z) funksiyası quraq. Onda W=e^f(z) funksiyası oblastında analitik olar və onun modulu W=e^f(z) həmin oblastın daxili z₀ nöqtəsində ən böyük qiymət alar. Bu isə analitik funksiyalar haqqındakı modulun maksimumu prinsipinə ziddir. Deməli, fərziyyəmiz doğru deyildir. Bununla da III xassə isbat olunur.

IV. Bütün müstəvidə harmonik və məhdud olan U(z) funksiyası eyniliklə sabitə bərabərdir.