Matemática Financeira no Ensino Fundamental: qual a sua importância e como a calculadora pode ajudar?
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                     Matemática Financeira no Ensino Fundamental:
qual a sua importância e como a calculadora pode ajudar? Lílian Nasser Cláudio Henrique da C. Pereira Daniela Dias, Geneci A. de Sousa Rui de Souza Xavier
pfundao@im.ufrj.br Introdução Pode-se afirmar que atualmente o tópico de Porcentagem é o que encontra mais aplicações no dia-a-dia do cidadão brasileiro. É praticamente impossível ler um jornal sem que apareça o símbolo de porcentagem em diversas notícias: taxas de juros praticadas, anúncios de produtos vendidos a prazo, ofertas de empréstimos ou até na audiência dos programas de TV. Por isso, desperta o interesse dos alunos nas séries finais do Ensino Fundamental, principalmente nas turmas do Ensino de Jovens e Adultos (EJA). No entanto, as avaliações estaduais e nacionais como o SAEB, Prova Brasil, ENEM indicam que os alunos brasileiros apresentam sérias dificuldades no trato com as porcentagens. Uma análise detalhada das respostas de grande parte dos alunos a itens envolvendo porcentagens indica que as dificuldades estão relacionadas ao próprio conceito de porcentagem ou às operações com frações. O estudo das porcentagens é iniciado ainda na 4ª série do Ensino Fundamental (atual 5º ano), quando os alunos ainda não dominam as operações com frações. Esta pode ser a origem das dificuldades com as porcentagens. Os itens a seguir são exemplos do baixo desempenho de alunos brasileiros em questões envolvendo porcentagens. Exemplo 1: (SAEB-2001) O salário de Moema era R$850,00. Ela foi promovida e ganhou um aumento de 28%. Logo, o novo salário dela é
Percentuais de respostas das alternativas
Houve dispersão entre as opções selecionadas, mas a alternativa que atraiu mais os alunos foi a (D): 27% dos alunos escolheram esta opção, em que o resultado é obtido somando-se o salário com a taxa de aumento. Isso indica que esses alunos não têm idéia do que representa o sinal de %. Exemplo 2: (Secretaria Municipal de Educação do Rio de Janeiro, 2002) João recebe R$ 250,00 de salário mensal. Reconhecendo a qualidade de seu trabalho, seu patrão resolveu dar-lhe uma gratificação igual a 100% do salário. João recebeu de gratificação
Percentuais de respostas das alternativas
Para responder corretamente este item, os alunos deveriam perceber que 100% correspondem ao total e, portanto, correspondem a R$250,00. Observe que a opção (D) atraiu 38% dos alunos, que somaram R$100,00 ao salário, confundindo a taxa percentual com o valor da gratificação. Também os 18% dos alunos que escolheram a alternativa (A) fizeram o mesmo tipo de confusão. Além de alertar para esses tipos de erros, é preciso deixar claro para os alunos que as porcentagens calculadas em relação a um mesmo total devem somar 100%. Outra estratégia importante para o cálculo mental é usar uma fração simplificada para representar uma porcentagem, isto é, perceber que para achar, por exemplo: - 20% basta multiplicar por 1/5 ou dividir por 5; - 25% basta multiplicar por 1/4 ou dividir por 4; - 10% basta multiplicar por 1/10 ou dividir por 10; Alguns professores podem achar que Matemática Financeira é assunto para o Ensino Médio, e simplesmente ignorar esse tópico no Ensino Fundamental. No entanto, o interesse dos alunos e o apelo das aplicações sugerem que o tema deve ser abordado nas séries finais do Ensino Fundamental, por meio de atividades interessantes, do cotidiano desses alunos. É importante destacar que, mais do que nunca, aprender a lidar com o dinheiro é importante para a formação do cidadão. A idéia de lucro e prejuízo e a desvalorização do dinheiro ao longo do tempo fazem parte do nosso cotidiano. É fundamental entender que o dinheiro tem “preço” (quando tomamos dinheiro emprestado ou aplicamos uma quantia no banco, pagamos ou recebemos juros sobre o valor) e que quanto mais tempo ficamos com o dinheiro parado, mais desvalorizado ele fica, e que, portanto, o tempo é fator importante na preservação do valor monetário. Aprender desde cedo a controlar suas finanças é importante. Em alguns países, como nos Estados Unidos, essa idéia já foi colocada em prática e as crianças aprendem na escola a lidar com suas economias. Neste mini-curso abordamos o ensino de porcentagens com um enfoque dinâmico e visual: por meio do eixo das setas, o aluno desenvolve um raciocínio que o leva a perceber como proceder para resolver qualquer problema. Trabalhamos com a taxa percentual na forma decimal, encontrando o fator que deve ser multiplicado ao valor original para encontrar o novo valor. Por exemplo, para encontrar o preço de um objeto após um aumento de 20%, deve-se multiplicar o valor original por 1,2. Se for um desconto de 10%, o fator a ser multiplicado é 0,9. Esse procedimento tem diversas vantagens: - estimula o cálculo mental; - o problema é resolvido com apenas uma operação de multiplicação; - é adequado e estimula o uso da calculadora; - facilita a resolução de problemas que envolvem descontos ou aumentos sucessivos; - prepara para o trabalho com a variação do dinheiro no tempo e juros compostos. Os alunos de 7ª e 8ª séries (atuais 8º e 9º anos) tendem a resolver os problemas de porcentagem pela aplicação de uma fórmula ou por regra de três, mas nas experiências que temos desenvolvido com professores e com alunos, ficam claros os benefícios do cálculo das porcentagens usando o fator. O uso da calculadora em Matemática Financeira O uso da calculadora no Ensino Fundamental sempre foi desaconselhado, pois acreditava-se que isto poderia fazer com que o aluno não memorizasse a tabuada, desaprendesse os algoritmos ou mesmo se tornasse preguiçoso. Mesmo a calculadora mais simples, conhecida como de “quatro operações”, deve ter seu uso incentivado pelo professor. Atualmente, cálculos feitos com lápis e papel devem estar associados ao cálculo mental, às estimativas e ao uso de calculadoras. A calculadora é um recurso muito útil para a verificação e correção de resultados. Em diversas oportunidades, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s) recomendam o uso da calculadora, segundo os autores, de acordo com a maioria dos pesquisadores, salientando que: Dentre as várias razões para seu uso (da calculadora), ressalta-se a possibilidade de explorar problemas com números freqüentes nas situações cotidianas e que demandam cálculos mais complexos, como: os fatores utilizados na conversão de moedas, os índices com quatro casas decimais (utilizados na correção da poupança), dos descontos como 0,25% etc. (p. 67) Além da exploração do conceito e aplicações da porcentagem desde o segundo ciclo, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s) recomendam entre os conceitos e procedimentos para o quarto ciclo (7ª e 8ª séries) a resolução de situações-problema que envolvem juros simples e alguns casos de juros compostos, construindo estratégias variadas, principalmente as que fazem uso de calculadora. (p.87) Em Matemática Financeira, o uso da calculadora torna-se imprescindível, pois trabalha-se com números de várias casas decimais e também raízes com índices maiores que 3, o que torna o uso de lápis e papel muito trabalhoso, como no exemplo a seguir. A que taxa devemos aplicar um capital para que em 6 meses ele tenha rendimento de 12,62%? Desenvolvimento algébrico: (1+ i)6 = 1,1262 Devemos calcular a sexta raiz de 1,1262. A calculadora deve ser utilizada sem prejuízo da compreensão do problema.
No ensino de porcentagem é recomendável acostumar o aluno a usar a notação decimal, já que alguns exercícios podem ser resolvidos mais facilmente com essa notação. Por exemplo, para calcular o preço de uma mercadoria que sofreu um aumento de 15%, basta multiplicar o preço original P por 1,15, já que: P + 15% de P = P + Uma bolsa era vendida em duas lojas, sendo que na loja A o preço era R$30,00 mais caro que na loja B. A loja A resolveu fazer um desconto de 15%, e a bolsa passou a custar o mesmo que na loja B. Qual o preço da bolsa na loja B? Este problema é muito simples de ser resolvido usando a notação decimal. É um desafio interessante deixar os alunos tentarem resolvê-lo pelos processos usuais, como a regra de três. Muitos alunos vão formar um sistema com as informações sobre o preço da bolsa nas lojas A e B. Depois apresente a eles uma solução que usa a porcentagem como fator, como a que segue. Resolução: 0,15 A = 30,00 A = 200,00 B = 200,00 – 30,00 = R$ 170,00
1) A comissão de um corretor de imóveis é igual a 5% do valor de cada venda efetuada. a) Um apartamento foi vendido por R$62.400,00. Determine a comissão recebida pelo corretor. b) Um proprietário recebe, pela venda de uma casa, R$ 79.800,00, já descontada a comissão do corretor. Determine o valor da comissão. (UFRJ) 2) Em um ano, o preço de uma mercadoria triplicou. Qual a porcentagem de aumento? 3) O dono de uma empresa resolveu dar um aumento de 5% para todos os funcionários. Qual o fator que deve ser multiplicado pelos salários atuais para obter os novos salários? 4) Depois de um aumento de 15%, um televisor passou a custar R$460,00. Qual era o preço do aparelho antes do aumento?
6) Observe a tabela abaixo: (Referência: Exames Supletivos –SEE/RJ 2004)
Obs.: Os votos brancos e nulos foram descartados por não serem considerados válidos. O percentual de votos do candidato vencedor foi:
Eixo das setas As situações dos problemas de Matemática Financeira podem ser representadas graficamente, usando o “eixo das setas” (Novelino e Novaes; Lima e outros, 2000). É um diagrama composto por um eixo horizontal que funciona como uma escala de tempo, e setas verticais posicionadas sobre datas, indicando os valores em cada data. No caso de porcentagem são apenas 2 setas: o valor inicial e o resultado após a aplicação da porcentagem. Exemplo 4: Numa liquidação, uma torradeira que custava R$45,00 teve um desconto de 12%. Qual o preço da torradeira na liquidação? Para determinar o preço da torradeira na liquidação, precisamos calcular 12% de R$45,00, e diminuir do valor original. Também podemos multiplicar o valor original pelo fator (1 – 0,12) = 0,88, obtendo diretamente o preço na liquidação: 0,88 x 45,00 = R$39,60
pelo diagrama ao lado O exemplo 1 acima também pode ser representado no eixo das setas: 0,85 A = A – 30,00 0,15 A = 30,00 A = 200,00 B = R$170,00
Use o eixo das setas para resolver os seguintes exercícios: 1) Quero vender um rádio que me custou R$120,00, com lucro de 15% sobre o preço de custo. Por quanto devo vendê-lo?
Aumentos ou descontos sucessivos: Se um produto sofrer aumentos sucessivos, como deve ser calculada a taxa total de aumento? De acordo com Lima e outros (2000), As pessoas menos educadas matematicamente têm tendência a achar que juros de 10% ao mês dão em dois meses juros de 20%. Note que juros de 10% ao mês dão em dois meses juros de 21%. (p. 45) Imagine que um produto sofra um aumento de 20% num mês e outro de 10% no mês seguinte. Qual será a taxa de aumento total sobre o preço do produto nesses dois meses? Pode-se supor que o preço do produto seja 100. Com o aumento de 20%, temos: 100 + (20% x 100) = 100 + (0,20 x 100) = 1,20 x 100 = 120.
120 + (0,10 x 120) = (1 + 0,10) x 100 = = 1,10 x 120 = 132 ou 1,10 x (1,20 x 100) = 1,32 x 100 = 132. Portanto, a taxa total de aumento é de 32%.
= x Fator: 1,20 =
1,32 - 1 0,32 x 100 = 32% O mesmo problema poderia ser resolvido sem arbitrar um valor numérico, usando uma letra para representar o preço do produto. Observe que a melhor maneira para resolver problemas desse tipo é usando a notação decimal, e a representação com o eixo das setas. Tente resolver agora os problemas a seguir: 1) Num certo país, a inflação é muito alta, e os preços são reajustados mensalmente. Se num mês a taxa de inflação foi de 8% e no mês seguinte, de 10%, qual o reajuste acumulado ao fim desses 2 meses?
Conjugando o eixo das setas com o uso da porcentagem como fator e o uso da calculadora, é possível estabelecer uma estratégia que facilita a resolução dos problemas, fornecendo aos alunos um método de raciocínio que pode ser aplicado a qualquer problema. Exemplo 5: Um professor comprou um computador por R$ 1.200,00, e uma impressora por R$300,00. Depois de algum tempo, conseguiu vender o computador com 12% de lucro, e a impressora com 5% de prejuízo. No total, ele teve lucro ou prejuízo na venda? De quantos por cento? Resolução Algébrica:
Pv = Pc (1+ i) = 1.200,00 (1 + 0,12) = 1.200,00 x 1,12 = R$ 1.344,00
Pv = Pc (1- i) = 300,00 (1 - 0,05) = 300,00 x 0,95 = R$ 285,00
Preço total de compra: R$ 1.200,00 + R$ 300,00 = R$ 1.500,00 Como o preço de venda foi maior que o de compra, houve um lucro. A taxa de lucro foi de: 1.629,00 = 1.500,00 (1 + i) 
Logo, i = 0,086, o que corresponde a uma taxa de 8,6%. Resolução com o uso da calculadora:i) Fator: (1 + 0,12) = 1,12 cálculo mental 1,12 x 1.200,00 = 1.344,00 ii) Fator : (1 – 0,05) = 0,95 cálculo mental 0,95 x 300,00 = 285,00 iii)1.629,00 : 1.500,00 - 1 = 0,086 x 100 = 8,6% A seguir, resolva os seguintes problemas: 1) O Prefeito de certo município antecipa dois aumentos sucessivos aos funcionários públicos municipais: um de 5,5% e o outro, de 6,7%. Na data base, foi anunciado um reajuste de 25,5% descontadas as antecipações dadas, ou seja, os aumentos dados anteriores à data base. Qual o reajuste percentual de aumento que terão esses funcionários? 2) Um artigo é vendido, em uma promoção, com um desconto de 30%. Encerrada a promoção, o artigo retorna ao preço normal. Em quantos por cento aumenta o preço desse artigo? 3) O trabalhador brasileiro, de acordo com o salário recebido mês a mês, está sujeito a uma “mordida do leão”, conforme tabela a seguir:
Para calcular o imposto: 1º) Tome o salário bruto mensal e subtraia o valor das deduções permitidas: a) R$132,05 por dependentes; b) dedução especial de R$1.313,69 para aposentados, pensionistas e transferidos para a reserva remunerada com 65 anos ou mais; c) contribuição mensal à Previdência Social d) pensão alimentícia paga devido a acordo ou sentença judicial. 2º) Multiplique o resultado por 0,15 (alíquota de 15%) ou 0,275 (alíquota de 27,5%) e deduza a parcela correspondente à faixa. Fonte: Secretaria da Receita Federal De acordo com esses dados, determine: a) O imposto a pagar por um trabalhador com 30 anos, 3 dependentes, renda mensal de R$2.800,00. Considere que ele não pague pensão alimentícia, não é aposentado /pensionista e o desconto previdenciário seja de 11%. b) Analisando a tabela do imposto de renda acima, você pode observar a existência de parcelas a serem deduzidas em cada faixa. Você seria capaz de justificar o valor dessas parcelas? Cálculo de taxas equivalentes: Chamamos de Taxas Equivalentes às taxas que produzem juros iguais em períodos de tempos diferentes, aplicadas sobre o mesmo capital. Chamaremos de Taxa Equivalente Maior ( iM ) quando for dada uma taxa num período menor, para ser calculada para um período de tempo maior que o dado. O intervalo entre as setas representa a unidade de tempo dada pela taxa menor. No exemplo abaixo, cada seta representa a taxa a cada mês. . . . 
Considerando o período total, a taxa seria de 1 + iM , que corresponde ao produto dos fatores (1 + i), por t meses. Então: 
1 + iM = (1 + i )t e segue que: 
Exemplo 6: Calcular a taxa trimestral equivalente a 5% a.m. Queremos avançar 3 unidades de tempo. A solução pode ser resumida à utilização de uma tecla, se o aluno souber calcular mentalmente o fator: (1 + 0,05) = 1,05 (Cálculo mental) 1,05 yx 3 = 1,157625 15,7625% Depois, retire o um antes da vírgula e desloque-a duas casas à direita. Chamaremos de Taxa Equivalente menor (im) quando for dada uma taxa num período maior para ser calculada por um período de tempo menor que o dado. . (1 + i)1/t . (1 + i)1/t . (1 + i)1/t . . . (1+i)n/t im = ( 1 + i ) n/t - 1 Exemplo 7: 
Calcular a taxa mensal equivalente a 26,8242% a.a. 
Observe que neste exemplo queremos voltar 12 unidades de tempo: Então: 
Teclas Visor : M+
1 12 Fator: 1,268242 yx RM = 1,020000014 = - 1 0,020000014 = x 100 2,0000014 2% Exercícios propostos:
Juros Simples Nos juros simples, a cada período de tempo somamos a taxa, que incide sempre sobre o valor inicial. Essa modalidade não é muito praticada no mercado financeiro, devido à desvalorização monetária (inflação). M = C ( 1 + n i) Exemplo 8: Um capital investido a juros simples, à taxa de 5% a.m., durante 6 meses, produz quanto de juros? I = 5% = 0,05 Com calculadora. n = 6 meses ni = 6 x 0,05 = 0,30 6 x 0,05 = 0,30 Fator = 1,30 1 + 0,30 = 1,30 Se aplicarmos R$100,00, resgataremos um montante de: 100 x 1,30 = 130,00. Juros Compostos Modalidade praticada nos mercados onde existe inflação (todos). Nos juros compostos multiplicamos a taxa. M = c ( 1 + i)n Exemplo 9: Um capital investido a juros compostos, à taxa de 5% a.m., durante 6 meses, produz quanto de juros? i = 5% = 0,05 n = 6 meses (1 + i )n = ( 1,05 )6 = 1,34 Com a calculadora 1,05 yx 6 = 1,34 Se aplicarmos R$ 100,00, resgataremos um montante de: 100 x 1,34 = R$ 134,00. EXERCÍCIOS1) Desejo vender um livro que me custou R$ 20,00 com lucro de 15% sobre o preço de custo. Determine:
2) Uma concessionária vende um modelo usado com prejuízo de 18,5 %. Se o carro custou R$ 38.000,00, então:
3) Uma pessoa resolve vender o seu televisor, com prejuízo de 25% sobre o preço de custo. Se o aparelho foi vendido por R$ 400,00, determine:
4) Certa categoria profissional, em sua data base, conquistou um aumento de 12,8%, descontado o aumento antecipado de 5%. Qual o reajuste efetivo será dado nessa data a essa categoria? 5) O Prefeito de certo município antecipa dois aumentos aos funcionários públicos municipais: um de 5,5% e o outro, de 6,7%. Na data base, foi anunciado um reajuste de 25,5% descontadas as antecipações dadas, ou seja, os aumentos dados anteriores a data base. Qual o reajuste percentual de aumento que terão esses funcionários? 6) O preço do café sofrerá um aumento de 1,25%. Se a inflação do período é de 0,85%, qual a porcentagem real de aumento dado sobre esse preço? Comentários finais Introduzir o estudo da Matemática Financeira no Ensino Fundamental é um desafio que, atualmente, todo professor tem que enfrentar. Neste mini-curso adotamos uma abordagem prática e visual, que permite ao aluno raciocinar sobre a situação que se apresenta e encontrar a solução mais vantajosa. A calculadora é uma ferramenta que, se bem explorada, pode ajudar na resolução das tarefas, sem prejuízo para a aprendizagem significativa. Professores de Ensino Fundamental do Rio de Janeiro têm se mostrado muito receptivos a essas idéias, e alguns já estão adotando essa abordagem com bons resultados.
Brasil, Ministério da Educação (1988): Parâmetros Curriculares Nacionais. Lima, EL, Carvalho, PCP, Wagner, E, Morgado, AC (2000): A Matemática do Ensino Médio, vol. 2, Coleção do Professor de Matemática, SBM. Secretaria de Educação do Município do Rio de Janeiro (2002): Resultados da Avaliação dos alunos da 4ª série do E.F. Yüklə 117,12 Kb. Dostları ilə paylaş:
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= P + 0,15 P = 1,15 P.