§ masala yechishni birgalikda oʻrganamiz

Tengsizlik tuzib yechiladigan masalalar. Ba’zi masalalar yechishda ratsional tengsizlik (tengsizliklar sistemasi) tuzish bilan mulohaza yuritiladi.
4-masala. A va B punklari orasidagi masofa 100 km ga teng. A punktdan B ga bir vaqtda ikki avtomobil jo‘naydi. Birinchi avtomobil ikkinchisida soatiga 20 km/soat ortiq tezlikka ega. Lekin, u yo‘lda 100 min to‘xtab qoladi. Birnchi avtomobil ikkinchisidan B ga vaqtliroq yetib borishi uchun uning tezligi qanday bo‘la oladi?
Yechish: Birinchi avtomobilning tezligi 𝑣 𝑘𝑚/𝑠𝑜𝑎𝑡 bo‘lsa, ikkinchisiniki (𝑣 − 20)𝑘𝑚/𝑠𝑜𝑎𝑡, demak, 𝑣 > 20 𝑘𝑚/𝑠𝑜𝑎𝑡. Birinchi
1 00 100 100 avtomobil 100 km yo‘lni ( + ) soatda, ikkinchisi soatda
𝑣 60 𝑣−20
o‘tadi. Masala shartidan
.
Lekin, 𝑣 > 0, 𝑣 − 20 > 0 ni e’tiborga olsak, bu tengsizlik 𝑣² − 20𝑣 −
1200 ≤ 0 ga teng kuchli. Bundan kelib chiqadi. desak, birinchi avtomobil 20 < 𝑣 ≤ 50 tezlikda bo‘lsa, B ga oldin yetib keladi.
5-masala. Sayohatchi kuniga bosib o‘tishi mumkin bo‘lgan mo‘ljaldagi yo‘lidan 25 km ortiq yura olsa, u 10 kunda 1000 km dank am yuradi, 15 km dan kam yursa, 15 kunda 1000 km dan ko‘p yuradi.
Uni mo‘ljallab qo‘ygan kunlk tezligi qanday oraliqda o‘zgaradi? Yechish: Sayohatchining kunlik tezligini 𝑣 𝑘𝑚/𝑠𝑜𝑎𝑡 desak:

Sistemani yechib, topiladi.
𝑠𝑜𝑎𝑡 3 𝑠𝑜𝑎𝑡
6-masala. C punktdan A punkt va B punktga ikki kater borib qaytdi. |𝐴𝐶| va |𝐵𝐶| masofalar teng bo‘lib, AC oraliqdagi suv oqimi BC nikidan katta bo‘lsa, turg‘un suvdagi tezliklari bir xil bo‘lgan bu katerlarning qaysi biri C ga oldin keladi?
Yechish: 𝑉₁ va 𝑉₂ lar mos ravishda A ga va B ga borishdagi suv oqimi tezligi bo‘lsin (𝑉₁ > 𝑉₂). 𝑉 – katerlarning turg‘un suvdagi tezligi, u holda
𝑡1 = 𝑉|𝐴𝐶+𝑉|1 + 𝑉|𝐴𝐶−𝑉|1 = 𝑉2−𝑆𝑉𝑉12 ; 𝑡2 = 𝑉|𝐵𝐶+𝑉|2 + 𝑉|𝐵𝐶−𝑉|2 = 𝑉22−𝑆𝑉𝑉22 vaqtda katerlar
C ga qaytib kelishgan. 𝑉₁ > 𝑉₂ ⇒ 𝑉₁² > 𝑉₂² ⇒ 𝑉² − 𝑉₁² < 𝑉₁² − 𝑉₂² bo‘lgani uchun
2𝑆𝑉 2𝑆𝑉
_𝑉 2_−𝑉12 > _𝑉2_−𝑉22 ⇒ 𝑡1 > 𝑡₂ dir. Suv oqimi tezligi sekin bo‘lgan suvdagi kater vaqtli qaytib keladi.
7-masala. Sotuvchidagi tarozi yelkalari har xil bo‘lib, u 1 kg tovarni bir tomonida tortib berdi, yana 1 kg ni ikkinchi tomonida tortib berdi va shu bilan qilayotgan xatosini yo‘qotdim deb hisobladi. Shu to‘g‘rimi?
Yechish: Agar 𝑥 va 𝑦 lar tortib beriladigan tovar, 𝑎 va 𝑏 lar esa tarozi yelkalari bo‘lsa, u holda birinchi ikkinchi tortganda mos ravishda 𝑥𝑎 = 𝑏 va 𝑦𝑏 = 𝑎 tengliklar o‘rinlidir. Bu yerdan 𝑦 = ¹ kelib chiqadi.
𝑥
Shunday qilib, 𝑥 + ¹ kg tovar berilgan. 𝑎 ≠ 𝑏 bo‘lgani uchun 𝑥 ≠ 1,
𝑥
demak, 𝑥 + ¹ > 2. Demak, xatolik yo‘qotilmagan.
𝑥
I z o h. Tarozi yelkalari emas, pallalari turlicha bo‘lganida edi, bu xatolik yo‘qotilgan bo‘lar edi.