14) Cəbri cəmin,hasilin və nisbətin törəməsi Tutaq ki, u=f(x) və v= ф((x) funksiyalarının x nöqtəsində törəmələri var.
x nöqtəsində sonlu törəməsi olan iki funksiyanın cəbri cəminin də həmin nöqtədə törəməsi var və onların törəmələrinin cəbri cəminə bərabərdir.
Tutaq ki, u(x) və v(x) sonlu törəmələri olan funksiyalardır. Onda,y=u±v funksiyasında x arqumentinə ∆x artımını versək,
∆y=((u+∆u)±(v+∆v)-(u+v))=∆u±∆v
olar. Bu bərabərliyinin hər iki tərəfini ∆x-ə bölsək,
a larıq. Burada ∆x—›0 şərtini nəzərə alaraq limitə keçsək
y=(u±v)=u±v
Qeyd edək ki, bu qayda sonlu sayda törəməsi olan funksiyaların cəbri cəmi üçün də doğrudur.
x nöqtəsində sonlu törəməsi olan u(x) və v(x) funksiyalarının y=uv hasilinin də həmin nöqtədə törəməsi var və
y=(uv)'=u’v+uv’
d üsturu ilə hesablanar.
15)Mürəkkəb və tərs funksiyanın törəməsi Mürəkkəb funksiyanın törəməsi.
Teorem. funksiyası t0 nöqtəsində və funksiyası uyğun nöqtəsində diferensiallanan olduqda mürəkkəb funksiyası t0 nöqtəsində diferensiallanandır və onun törəməsi
düsturu ilə hesablanır.
İsbatı. Sərbəst dəyişənin müəyyən bir x qiymətində u = φ(x) və y = F(u) və onun x + ∆x qiymətində isə
u + ∆u = φ(x + ∆x), y + ∆y = F(u + ∆u)
olar. Beləliklə, ∆x artıma ∆u, ∆F-ə isə ∆y artımı uyğundur; bundan başqa ∆x şərtində, ∆u olduqda isə ∆y .
Şərtə görə, törəməsi vardır:
.
Funksiya limitinin xassəsinə görə, bu münasibətdən
(1)
alınır. Burada şərtinə görə (1) bərabərliyini
(2)
şəklində yazmaq olar. Bu bərabərliyinin hər tərəfini ∆x atrımına bölək:
. (3)
Şərtə əsasən
, . (4)
Üçüncü bərabərliyində şəklində limitə keçərək:
. (5)
funksiyası x=x0 nöqtəsində diferensiallanandırsa və olarsa onda onun tərs funksiyası uyğun y0 nöqtəsində diferensiallanandır və onun törəməsi
(1)
düsturu ilə hesablanır.
İsbatı. Əvvəlcə qeyd edək ki, tərs funksiyanın tərifinə əsasən:
.
Onda tərs funksiya üçün:
bərabərliyini yazmaq olar.
Tərs funksiya kəsilməz olduğundan şərtində olur. Buna görə də:
