1-мавзу. Arifmetikaga oid qiziqarli masalalar tizimi. Matnli masalalarni yechishning arifmetik usuli

Dirixle prinsipi va natural sonlar boʻlinishi .
Ma’lumki, berilgan natural son natural songa boʻlinganda qoldiq 0,1,2,..., -1 sonlardan biri boʻlishi mumkin.
Boʻlinishga oid masalalarning Dirixle prinsipiga asoslangan yechimlarida qoʻpincha “qafaslar” sifatida ana shu qoldiqlar qaraladi.
1-masala. 6 ta natural son berilgan boʻlsin. Shular ichida shunday ikkita son mavjudki, ularning ayirmasi 5 ga boʻlinishini isbotlang.
Yechilishi.
Ihtiyoriy natural son 5 ga boʻlinganda qoldiq 0,1,2,3,4 sonlardan biri boʻlishi mumkin.
Sonlarni 0,1,2,3,4 sonlar yordamida nomerlangan “qafaslarga” quyidagicha joylashtiramiz:
0 nomerli “qafasga” 5 ga boʻlganda 0 qoldiqqa ega boʻlgan (ya’ni 5 ga boʻlinadigan) sonlarni;
1 nomerli “qafasga” 5 ga boʻlganda 1 qoldiqqa ega boʻlgan sonlarni;
2 nomerli “qafasga” 5 ga boʻlganda 2 qoldiqqa ega boʻlgan sonlarni;
3 nomerli “qafasga” 5 ga boʻlganda 3 qoldiqqa ega boʻlgan sonlarni;
4 nomerli “qafasga” 6 ga boʻlganda 4 qoldiqqa ega boʻlgan sonlarni joylashtiramiz.
“Qafaslar” (ya’ni qoldiqlar) soni 5 ga, “quyonlar” soni (ya’ni berilgan sonlar) 6 ga teng boʻlgani uchun, Dirixle prinsipiga koʻra qandaydir qafasda 2 ta “quyon” (son) bor. Shu ikkita sonni 5 ga boʻlganda qoldiqlari bir xil, chunki ular bitta “qafasda” joylashgan . Demak, ularning ayirmasi 5 ga boʻlinadi.


2-masala. Oʻnlik yozuvi faqat 1 raqamdan tashkil topgan sonlar orasida 2019 ga boʻlinadigan natural son mavjudligini isbotlang.
Yechilishi.
Birlardan tashkil topgan 2020 ta sonni (1, 11, 111, …, 111 … 11 (2020 ta bir)) sonlarni qaraymiz va ularni 0, 1, 2, …, 2018 sonlar yordamida (bu sonlarni 2019 ga boʻlgandagi qoldiqlar boʻladi) nomerlangan “qafaslarga” quyidagicha joylashtiramiz: har bir son 2019 ga boʻlganda hosil boʻlgan qoldiq bilan nomerlangan “qafasga” tushadi.
Dirixle prinsipiga koʻra qandaydir qafasda 2 ta “quyon” (son) bor.
Ular 2019 ga boʻlinganda bir xil qoldiqqa ega, demak ularning ayirmasi 2019 ga boʻlinadi. Bu sonlar 11 … 11 (m ta bir) va 11 … 11 (n ta bir) boʻlsin, bu erda m > n. Ularning 2019 ga boʻlinadigan ayirmasi 11 … 1100 … 00 koʻrinishga ega (bu erda m – n ta bir raqami va n ta nol raqami). Bu sondagi barcha nollarni oʻchiramiz – ularning 2019 ga boʻlinish-boʻlinmasligiga ta’sir koʻrsatmaydi. Natijada 2019 ga boʻlinadigan va oʻnlik yozuvi faqat 1 raqamdan tashkil topgan sonni hosil qilamiz.
3-masala. n -ixtiyoriy natural son boʻlsin. Oʻnlik yozuvi faqat 0 va 5 raqamlardan tashkil topgan va n ga boʻlinadigan natural son mavjudligini isbotlang.
Yechilishi.
a₁=50, a₂=5050, a₃=505050,…, a_n=50…50 (n ta 0 va n ta 5),
sonlarni qaraymiz va ularni 0,1,...,n-1 sonlar yordamida (bu sonlar n ga boʻlgandagi qoldiqlar boʻladi) nomerlangan “qafaslarga” quyidagicha joylashtiramiz: s nomerli “qafasga” n ga boʻlganda s qoldiqqa ega boʻlgan a_k sonni joylashtiramiz.
Agar 0 nomerli “qafasga” bitta "quyon" (ya’ni sonlardan bittasi) tushsa , masala yechildi. Aks holda, n ta "quyon" n-1 ta "qafasga" joylashgan boʻladi. Dirixle prinsipiga koʻra qandaydir qafasda 2 ta “quyon” (son) bor.
Ular n ga boʻlganda bir xil qoldiqqa ega, demak ularning ayirmasi n ga boʻlinadi. Shu sonlar ayirmasining oʻnlik yozuvi ham faqat 0 va 5 raqamlardan tashkil topgan boʻladi.


4-masala. 52 ta butun son berilgan boʻlsin. Shular ichida kvadratlari ayirmasi 100 ga boʻlinadigan ikkita son mavjud ekanligini isbotlang.
Yechilishi.
va sonlar 100 ga boʻlganda bir xil qoldiqqa ega. Demak, berilgan sonlar kvadratlari 100 ga boʻlinganda 51 ta qoldiq hosil boʻladi. Yuqoridagi masalalardek shu qoldiqlardan 51 ta “qafas”ni hosil qilib, ular ichiga berilgan 52 ta butun son kvadratlarini joylashtiramiz. Dirixle prinsipiga koʻra qandaydir qafasda 2 ta “quyon” (son) bor. Ularning ayirmasi 100 ga boʻlinadi.


5-masala. koʻrinishdagi sonlar ichida oʻnlik yozuvi 001 raqamlar bilan tugaydigan son mavjud ekanligini isbotlang.
Yechilishi.
Dirixle prinsipiga koʻra 1000 ga boʻlganda qoldigʻi bir xil boʻlgan ikkita 3^m va 3ⁿ sonlar mavjud. Ularning 3^m – 3ⁿ = 3ⁿ (3^m-n – 1) ayirmasi 1000 ga boʻlinadi (aniqlik uchun m > n deb olamiz). 3ⁿ koʻpaytuvchi 1000 ga boʻlinish-boʻlinmasligiga ta’sir koʻrsatmaydi. Demak, 3^m-n – 1 son 1000 ga boʻlinadi. Bundan 3^m-n sonning oʻnlik yozuvi 001 ga tugashi kelib chiqadi.
6-masala. 100 ta natural son bir qatorga yozilgan. Yigʻindisi 10 ga boʻlinadigan bir nechta (jumladan bitta) ketma-ket joylashgan sonlar mavjudligini isbotlang.
Yechilishi.
1, 1 + 2, ..., 1 + 2 +...+ 100 sonlarni qaraylik.
1 - hol: shu sonlar orasida 100 ga boʻlinadigan son mavjud boʻlsin. Bu holda masala yechilgan boʻladi.
2 - hol: sonlardan hech biri 100 ga boʻlinmasin. 100 ga boʻlinganda qoldiqlar soni 99 ga teng boʻlgani uchun (1,2,3,...99) Dirixle prinsipiga asosan bir xil qoldiqqa ega 2 ta son mavjud. Shu sonlar ayirmasi izlanayotgan yigʻindini beradi.


7-masala. a, b, c – toq sonlar boʻlsa ab-1, bc-1, ca-1 sonlardan kamida biri 4 ga boʻlinishini isbotlang.
Yechilishi.
Berilgan sonlar toq boʻlgani uchun, ularning 4 ga boʻlganda 1 yoki 3 qoldiq chiqishi mumkin. Sonlar soni 3 ga, qoldiqlar soni esa 2 ga teng. Dirixle prinsipiga koʻra shulardan ikkitasi bir xil qoldiqqa ega. Umumiylikka zarar qilmasdan shu sonlar a, b boʻlib, ular 4 ga boʻlinganda qoldiq 3 boʻlsin (Qolgan hollar xuddi shunday tarzda qaraladi). Demak a=4k+3 va b=4n+3.
Bundan ab-1= (4k+3)(4n+3)-1=16kn+12(k+n) +8 . Hosil boʻlgan sonning 4 ga boʻlinishi ravshan.
8-masala. M toʻplam n ta natural sonlardan iborat boʻlsin. M toʻplamdan shunday M₁ qism toʻplamni ajratish mumkinki, undagi sonlar yigʻindisi n ga boʻlinadi.
Yechilishi.