1-мавзу. Arifmetikaga oid qiziqarli masalalar tizimi. Matnli masalalarni yechishning arifmetik usuli

M = {a₁,a₂,...,a_n} boʻlsin.
S₁ = a₁, S₂ = a₁ + a₂, ... , S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n yigʻindilarni qaraymiz.
Agar S_k (k = 1,...,n) yigʻindilardan birortasi ham n ga boʻlinmasa, bu yigʻindilarni n ga boʻlganda 1,2,...,n – 1 qoldiqlar hosil boʻladi. Yigʻindilar soni n ga, qoldiqlar soni esa n - 1 ga teng. Dirixle prinsipiga asosan qandaydir ikkita yigʻindi n ga boʻlinganda bir xil qoldiqqa ega. Ularni S_k va S_m (1 ≤ k < m ≤ n) deylik. S_m - S_k ayirma n ga boʻlinadi. Demak, izlanayotgan qism toʻplam {a_k+1, ... ,a_m} boʻladi.
9*-masala. 2n dan kichik boʻlgan n+1 ta turli natural sonlar ichida shunday 3 ta sonni tanlash mumkinki, ulardan biri qolgan ikkitasining yigʻindisi boʻlsin. Shuni isbotlang.
Yechilishi.
Bu sonlar a₁ < a₂ < ... < a_n+1 boʻlsin. a₂ - a₁, a₃ - a₁, ..., a_n+1 - a₁ ayirmalarni qaraymiz.
Bu sonlar turli, musbat va 2n dan kichik. Dirixle prinsipiga koʻra, ulardan ikkitasi ustma-ust tushadi. Bundan tashqari, shu sonlardan biri
{a₂ - a₁, ... ,a_n+1 - a₁}.
toʻplamga tegishli. Mazkur ikkita sonni a_k va a_m - a₁ deylik. Bundan a_k = a_m - a₁, va a_m = a_k + a₁.
10*-masala. a₁,a₂, ... ,a_n sonlar 1,2,3,...,n sonlarning oʻrin almashtirishlar yordamida hosil boʻlsin. Agar n toq boʻlsa
(a₁ - 1)(a₂ - 2)...(a_n - n)
son juft ekanligini isbotlang.
Yechilishi. n = 2k + 1 boʻlsin. a₁,a₂, ... ,a_n sonlar ichida k + 1 tasi toq boʻladi.
(a₁ - 1)(a₂ - 2)...(a_n - n)
Koʻpaytmada kamayuvchilar va ayiriluvchilar orasida
(k + 1) + (k + 1) = 2(k + 1) = n + 1 ta toq son mavjud.
Koʻpaytmada n ta koʻpaytiruvchi boʻlgani uchun, Dirixle prinsipiga koʻra shu ayirmalardan kamida bittasi toq sonlardan iborat, ya’ni ayiruvchi va kamayuvchi toq boʻladi. Demak, mos koʻpaytuvchi juft, bundan esa butun koʻpaytma ham juft boʻladi.

11*-masala. Agar butun sonlar oʻzaro tub boʻlsa, u holda shunday natural mavjudki, son ga boʻlinadi.

Yechilishi.
ketma-ketlikni qaraymiz.
Dirixle prinsipiga koʻra ga boʻlganda qoldigʻi bir xil boʻlgan ikkita va sonlar mavjud. Ularning ayirmasi ga boʻlinadi (aniqlik uchun deb olamiz). oʻzaro tub boʻlgani son uchun ga boʻlinadi.