5-mavzu. Mexanik va elektromagnit toʻlqinlar(2 soat) Asosiy formulalar

5-masala. Turgʻun toʻlqinning ikkinchi va oltinchi doʻngliklari orasidagi masofa 20 cm. Turgʻun toʻlqinning uzunligi aniqlansin.
Yechilishi. Masala shartiga asosan,
,
bu yerda r₆ – tebranish manbaidan turgʻun toʻlqinning oltinchi doʻngligigacha boʻlgan masofa; manbadan ikkinchi doʻnglikkacha boʻlgan masofa.
Lekin manbadan mos doʻngliklargacha boʻlgan r masofa bilan toʻlqin uzunligi orasidagi bogʻlanish quyidagicha munosabatda

bu yerda n – doʻnglik tartibi
Shunda


bundan



6-masala. Bir uchi devorga mahkamlangan, boshqa tomoni esa 5 Hz chastota bilan tebranayotgan 3 m uzunlikdagi shnur turgʻun toʻlqinni yuzaga keltiradi. Bu holatda devor va manba orasida oltita tugun hosil boʻladi. Shnurdagi toʻlqin tarqalish tezligi topilsin (3 –rasm).

3 –rasm.
Yechilishi. Toʻlqin tarqalish tezligi .
3 – rasmdan koʻrinadiki,

bundan

Shunda



7-masala. Tovush to‘lqinlari Yer yuzida joylashgan manbadan tarqlmoqda. Agar Yer yuzidagi havo temperaturasi t_o = 16 ^oC, atmosferadagi temperatura gradyenti esa ΔТ/Δh = -7,0·10^-3 Kl/m bo‘lsa, qancha vaqt oralig‘idan keyin ular h = 10,0 km balandlikka erishadi?
Yechilishi. To‘lqinning tarqalish vaqtini topish uchun, uning siljishini h ni bilib, avval havodagi tovush tezligini ifodadan aniqlab, so‘ngra gaz holatining tenglamasini qo‘llaymiz,
(1)
Masalaning shartiga ko‘ra, havo temperatura balandlikka bog‘liq. Ushbu bog‘liqlikni quyidagicha yozish mumkin:
(3)
bu erda T - h balandlikdagi temperatura; - har bir metr balandlik uchun temperatura ko‘tarilishini (bu holda manfiy) ko‘rsatadigan temperatura gradyenti. T qiymatini (2) dan (1) ga almashtirish bilan quyidagini hosil qilamiz
(4)
Shunday qilib, tovush tezligi balandlikka bog‘liq. Kerakli vaqtni topish uchun biz tovush to‘lqinining harakatini o‘zgaruvchan deb hisoblaymiz. Bunday harakatda istalgan vaqtda tezlik ga teng bo‘ladi, bu erda (4) formulani hisobga olgan holda

yozamiz.
Bu vaqtning balandlikka bog‘liqligini ifodalovchi differentsial tenglama. Vaqt 0 dan t ga o‘zgarganda, balandlik 0 dan h gacha o‘zgaradi. Binobarin,

bundan

SI birliklarida ifodalangan kattaliklarning son qiymatlarini formulaga qo‘yib: h=10,0·10³ m, T_o=289 K, a=-7,0 10^-3 Кl/m, μ=0,029 kg/mol, R=8,3 J/(mol·K), γ=1,4. Hisoblashni amalga oshirgandan so‘ng, t = 30 с. ga teng ekanligini topamiz.
8-masala. Плоская электромагнитная волна распространяется в однородной и изотропной среде ε = 2 и 1 = µ. Амплитуда напряженности электрического поля волны E_о=12 В/м. Определите: фазовую скорость волны; амплитуду напряженности магнитного поля волны.
Yassi elektromagnit to‘lqin ε = 2 va µ = 1 bo‘lgan bir xil va izotrop muhitda tarqalmoqda. To‘lqinning elektr maydon kuchlanganlik amplitudasi E_о= 12 V/m. To‘lqinning fazaviy tezligi; to‘lqin magnit maydonining amplitudasini aniqlang.
Yechilishi. Elektromagnit to‘lqinlarning fazaviy tezligi

bu erda с=3·10⁸ m/s - yorug‘likning vakuumda tarqalish tezligi.

Harakatlanuvchi elektromagnit to‘lqinda istalgan nuqtada E va H ning oniy qiymatlari o‘zaro quyidagicha bog‘langan
U holda to‘lqinning elektr va magnit maydonlari kuchlarining amplitudalari uchun

Bu yerdan to‘lqinning magnit maydon kuchining amplitudaviy qiymati

Hisoblashlarni amalga oshiramiz,

9-masala. Benzolga botirilgan ikkita parallel simlar yuqori chastotali elektromagnit tebranishlarning generatori Г ga induktiv ravishda ulangan (4-rasm).

4-rasm

ν=1,00 10² MGs chastotada tizimda turg‘in elektromagnit to‘lqinlar hosil bo‘ladi. Gaz chiqarish naychasini A simlari bo‘ylab harakatlantirganda, elektr maydon kuchlanganligining dastalari holati aniqlanadi. Qo‘shni dastalar orasidagi masofa l = 1,00 m ga teng bo‘lganda. Benzolning dielektrik singdiruvchanligini toping.
Yechilishi. Turg‘un elektromagnit to‘lqinlar ikki simli chiziq bo‘ylab tarqaladigan generator yo‘nalishida tarqalayotgan to‘lqinlarning va chiziqning oxiridan aks etgan to‘lqinlar interferentsiyasi natijasida hosil bo‘ladi. Elektromagnit tebranishlarning berilgan yuqori chastotasida elektromagnit to‘lqinlarning chiziq bo‘ylab tarqalishi bilan bog‘liq asosiy jarayonlar simlarda emas, balki ular atrofidagi muhitda sodir bo‘lishini hisobga olamiz.
Maksvell nazariyasiga ko‘ra, muhitdagi elektromagnit to‘lqinlarning tezligi ularning vakuumdagi tezligi quyidagicha bog‘liq
(1)
Demak, μ ≈ 1 bo‘lganda benzol uchun uning dielektrik singdiruvchanlikni topamiz:

Elektromagnit to‘lqinlarning tezligi munosabati bilan to‘lqin uzunligi λ va chastotasi ν bilan bog‘liq. Turg‘n to‘lqinlarda ikkita qo‘shni do‘ngliklar orasidagi masofa to‘lqin uzunligining yarmiga teng bo‘lgani uchun, ya'ni , u holda quyidagini olamiz:

Kattaliklarning son qiymatlarini qo‘yib: с=3,00 10⁸ м/с, l=1,00 м, ν=1,00·10⁸ Гц va hisob-kitobni amalga oshiramiz ε=2,2.
10-masala. Yassi sinusoidal elektromagnit toʻlqin t=1 min. vaqt orasida, toʻlqinga tarqalish yoʻnalishiga tik boʻlgan S=10 sm² yuza orqali tashib oʻtgan energiya topilsin. Elektr maydonning kuchlanganligi amplitudasi Е_о =1 V/m. Toʻlqin davri esa T.
Yechilishi. Toʻlqin yoʻnalishiga tik yuza birligidan vaqt birligi ichida elektromagnit toʻlqinining tashib oʻtadigan energiyani Poyting vektori yordamida topiladi:
(1)
va vaqt oraligʻida sinus qonuni boʻyicha oʻzgaradigan kattaliklar boʻlgani uchun (1) ni quyidagicha yozish mumkin:
(2)
Energiya oqimi vektorining zichligi

(2) dan S - yuzadan oʻtadigan energiya
(3)
Elektron maydoni va magnit maydoni energiyalarining zichliklari teng.
(4)
=1, =1 deb olib; (4) - dan

H_o, E_o larni amplituda qiymatlari oʻzaro boʻglanganligidan, (3)-ni quyidagicha yozamiz:

Keltirilganlardan t vaqt oraligʻida tashib oʻtilgan energiya

Masala shartida - berilmagani uchun quyidagi shartdan (T<<tdan) topamiz. . sin²t/4 ni = ligidan foydalanib quyidagicha yozamiz:
(5)
T<< t ligidan (5)-dagi (sin²t/4 )-ni hisobga olmasak boʻladi.
U holda