A mesterképzésre vonatkozó akkreditációs követelmények és a vonatkozó jogszabályok áttekintése folyamatban van
Yüklə 3,22 Mb.
|
|
TABLE [3E]
[4H] TÁBLÁZAT
TABLE [4E]
Az egyes tantárgyak keretében elsajátítandó ismeretanyag rövid, (néhány soros) leírása, valamint minden tantárgyhoz a tantárgyfelelős, az előtanulmányi feltételek, a kredit feltüntetése, és a 3-5 legfontosabbnak ítélt kötelező, illetve ajánlott irodalom (jegyzet, tankönyv) felsorolása. Előtanulmányi követelmények: A differenciált szakmai tananyag előkövetelménye a megfelelő törzstárgyak teljesítése. (A) Alapozó tárgyak Courses of theoretical foundations Jelölés: Az egyes tárgyak leírásában megjelentetett e/g/l/t/k jelölés feloldása e = előadások heti óraszáma, g = gyakorlatok heti óraszáma, l = laboratóriumi foglalkozások heti óraszáma, t = teljesítés módja = v(izsga) vagy f(élévközi jegy), k = kreditszám. Notation: Meaning of notation e/g/l/t/k appearing in the description of each course: e = lecture hours per week g = in-class exercise hours per week l = laboratory work hours per weak t = type of examination = „v” stands for oral or written exam, „f” stands for final mark given on basis of midterm exams and home works k = number of credits Elméleti alapozás: Algebra és számelmélet blokk Theoretical foundations: Block of algebra and number theory Lineáris algebra 4/2/0/v/6 Tárgyfelelős: Horváth Erzsébet További oktatók: Rónyai Lajos, Nagy Attila, Lukács Erzsébet Valós és komplex számok, test és gyűrű fogalma, polinomok, algebra alaptétele, interpoláció, többváltozós polinomok. Mátrixok, determináns, lineáris egyenletrendszerek. Vektorterek, bázis, dimenzió, koordinátázás. Direkt felbontás, faktortér, tenzorszorzat, duális tér. Lineáris operátorok és transzformációk, báziscsere, skaláris és vektoriális szorzat. Sajátérték, sajátvektor. Cayley-Hamilton-tétel. Polinommátrixok kanonikus alakja. Jordan-féle normálalak, mátrixfüggvények. Bilineáris függvények és kvadratikus alakok. Sylvester tétele. Euklideszi terek. Önadjungált, unitér, ortogonális, szimmetrikus, normális transzformációk. Főtengelytétel. Felbontási tételek. Irodalom: D.K. Fagyejev-Szominszkij: Felsőfokú algebrai feladatok, Műszaki Könyvkiadó, 1973. Freud Róbert, Lineáris algebra, ELTE Eötvös Kiadó, 1996. Fried Ervin, Algebra I. Elemi és lineáris algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000. Horváth Erzsébet, Linearis Algebra, Műegyetemi Kiadó, 1995. 45021 sz. jegyzet
Other instructors: Lajos Rónyai, Attila Nagy, Erzsébet Lukács Real and complex numbers, fields and rings, polynomials, the fundamental theorem of algebra, interpolation, multivariablr polynomials. Matrices, determinants, systems of linear equations. Vector spaces, basis, dimension, coordinatization. Direct decomposition, factor space, tensor producs, dual space. Linear operators and transformations, change of basis, scalar and cross product. Eigenvalue, eigenvector. Cayley-Hamilton theorem. Canonical form of polynomial matrices. Jordan normal form, matrix functions. Bilinear functions and quadratic forms. Sylvester’s theorem. Euclidean spaces. Self adjoint, unitary, orthogonal, symmetric, normal transformations. Spectral theorem. Decomposition theorems. References: D.K. Fagyejev-Szominszkij: Felsőfokú algebrai feladatok, Műszaki Könyvkiadó, 1973. Freud Róbert, Lineáris algebra, ELTE Eötvös Kiadó, 1996. Fried Ervin, Algebra I. Elemi és lineáris algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000. Horváth Erzsébet, Linearis Algebra, Műegyetemi Kiadó, 1995. 45021 sz. jegyzet
További oktatók: Wettl Ferenc, Lukács Erzsébet Oszthatóság, euklideszi algoritmus, a számelmélet alaptétele. Kongruenciák, lineáris kongruenciák és lineáris diofantikus egyenletek, Euler-, Fermat- és Wilson-tétel, műveletek maradékosztályokkal. Magasabb fokú kongruenciák, primitív gyök, diszkrét logaritmus, hatványmaradék. Chevalley-tétel és alkalmazásai. Legendre-szimbólum, kvadratikus reciprocitás, Jacobi-szimbólum. Prímszámok eloszlása, Fermat- és Mersenne-prímek. Prímtesztek. Számelméleti függvények: Euler-függvény, Möbius-függvény, Möbius-féle inverziós formula. Diofantikus egyenletek, pitagoraszi számhármasok. Gauss-egészek, számok négyzetösszegként való elő-állításai. A számelmélet alkalmazásai, RSA algoritmus. Irodalom: Freud R., Gyarmati E.: Számelmélet. Tankönyvkiadó, 2000. I. Niven, H. S. Zuckerman: Bevezetés a számelméletbe. Műszaki Könyvkiadó, 1978. I. M. Vinogradov: A számelmélet alapjai. Tankönyvkiadó, 1968. Number theory 2/2/0/v/5 Course coordinator: Lajos Rónyai Other instructors: Ferenc Wettl, Erzsébet Lukács Divisibility, Euclidean algorithm, the fundamental theorem of number theory, congruences, linear congruences and linear diophantine equations, Euler’s, Fermat’s and Wilson’s theorems, operations with residue classes. Congruences of higher degrees, primitive root, discrete logarithm, power residue. Chevalley’s theorem and its applications. Legendre symbol, quadratic reciprocity, Jacobi symbol. Distribution of prime numbers, Fermat and Mersenne primes. Prime tests. Arithmetic functions: Euler function, Möbius function, Möbius inversion theorem. Diophantene equations, pythagorian triples. Gaussian integers, decomposition of numbers into quadratic sums. Applications of number theory, the RSA algortithm. References: Freud R., Gyarmati E.: Számelmélet. Tankönyvkiadó, 2000. I. Niven, H. S. Zuckerman: Bevezetés a számelméletbe. Műszaki Könyvkiadó, 1978. I. M. Vinogradov: A számelmélet alapjai. Tankönyvkiadó, 1968. Algebra 1. 2/2/0/v/4 Tárgyfelelős: Lukács Erzsébet További oktatók: Rónyai Lajos, Horváth Erzsébet, Nagy Attila Csoport bevezetése, példák. Részcsoport, homomorfizmus, izomorfizmus, automorfizmus, faktorcsoport. Ezen fogalmak megfelelői gyűrűkre. Homomorfizmustétel, izomorfizmustételek. Részcsoport mellékosztályai, index, Lagrange tétele. Normálosztó, normállánc, Jordan-Hölder-tétel. Kommutátor-részcsoport, centrum, konjugáltosztályok, osztályegyenlet. p-csoportok, feloldható csoportok, nilpotens csoportok. Permutációcsoportok alapfogalmai, csoporthatás. Az alternáló csoportok egyszerűsége. Direkt szorzat és szemidirekt szorzat. Véges Abel-csoportok alaptétele. Sylow-tételek és alkalmazásai. Kis rendű csoportok leírása. Szabad csoportok, definiáló relációkkal megadott csoportok. Dyck tétele. Test feletti polinomok gyűrűje. F[x] ideáljai, maximális ideáljai, faktorai. Z ideáljai és faktorai. Bevezetés a testelméletbe. Testbővítések, felbontási test. Véges testek. Wedderburn tétele.
B. Szendrei M., Czédli G., Szendrei Á., Absztrakt algebrai feladatok, JATEPress, 1983. Fuchs László, Algebra, Tankönyvkiadó, 1974. Fried Ervin, Algebra II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002 Kiss Emil, Bevezetés az algebrába, Typotex, 2007 B. Szendrei M., Czédli G., Szendrei Á., Absztrakt algebrai feladatok, JATEPress, 1983. Algebra 1 2/2/0/v/4 Course coordinator: Erzsébet Lukács Other instructors: Lajos Rónyai, Erzsébet Horváth, Attila Nagy Introduction of groups, examples. Subgroup, homomorphism, isomorphism, automorphism, factor group. The corresponding concepts for rings. Homomorphism theorem, isomorphism theorems. Cosets of subgroups, index, Lagrange’s theorem. Normal subgroups, normal chains, Jordan−Hölder theorem. Commutator subgroup, center of a group, conjugacy classes, class equation. $p$-groups, solvable groups, nilpotent groups. Permutation groups, group action. Simplicity of the alternating groups. Direct product and semidirect product. The fundamental theorem of Abelian groups. Sylow’s theorems and their applications. Description of groups of small order. Free group, presentations of groups. Dyck’s theorem. The ring of polynomials over a field. The ideals, maximal ideals and factors of F[x]. The ideals and factors of Z. Introduction to the theory of fields. Field extensions, splitting fields. Finite fields. Weddenburn’s theorem. References: B. Szendrei M., Czédli G., Szendrei Á., Absztrakt algebrai feladatok, JATEPress, 1983. Fuchs László, Algebra, Tankönyvkiadó, 1974. Fried Ervin, Algebra II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002 Kiss Emil, Bevezetés az algebrába, Typotex, 2007
További oktatók: Rónyai Lajos, Horváth Erzsébet, Nagy Attila Testbővítések, Galois-bővítés, Galois-csoport. Galois-elmélet főtétele. Polinomegyenlet gyökökkel való megoldhatósága, geometriai szerkeszthetőség. Nemkommutatív gyűrűk, ideálok és egyoldali ideálok, test feletti mátrixgyűrű. Ferdetest. Integritási tartományok, egyértelmű faktorizációs tartományok, Euklideszi- és főideáltartományok. Gauss-lemma. Irreducibilis polinomok egyértelmű faktorizációs tartományok és hányadostestük felett. Körosztási polinom. Noether-gyűrű, Hilbert bázis tétele. Féligegyszerű Artin-gyűrűk, Wedderburn–Artin-tétel. Modulusok, teljes reducibilitás. Csoportalgebra, Maschke-tétel. Szabad, projektív és injektív modulusok. Egzakt sorozatok. Kategóriák. Kovariáns és kontravariáns funktorok. Hom és tenzorszorzás funktorok. Funktorok természetes transzformációja, kategóriák ekvivalenciája. Hálók, modularitás, disztributivitás. Véges dimenziós algebrák R felett, Frobenius tétele. Lie-algebrák.
B. Szendrei M., Czédli G., Szendrei Á.: Absztrakt algebrai feladatok, JATEPress, 1983 Fuchs László: Algebra, Tankönyvkiadó, 1974. Fried Ervin: Algebra II, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002 Kiss Emil, Bevezetés az algebrába, Typotex, 2007
Other instructors: Lajos Rónyai, Erzsébet Horváth, Attila Nagy Field extensions. Galois extension, Galois group. The Fundamental Theorem of Galois Theory. Solvability of polynomial equations in radical expressions. The theory of geometric constructions. Noncommutative rings, ideals, one-sided ideals, matrix algebras, skew fields. Domains, unit factorization domains, Euclidean and principal ideal domains. Gauss lemma. Irreducible polynomials over unique factorization domains and over their fraction fields. Cyclotomic polynomials. Noetherian rings, Hilbert Basis Theorem. Semisimple Artinian rings. The Artin-Wedderburn theorem. Modules, complete reducibility. Group algebras. Maschke's theorem. Projective, injective and free modules. Exact sequences. Categories. Covariant and contravariant functors. The Hom and tensorproduct functors. Natural transformation of functors, equivalemce of cathegories. Lattices, modularity and distributivity. Finite dimensional algebras over the real numbers, Frobenius Theorem. Lie algebras. References: B. Szendrei M., Czédli G., Szendrei Á.: Absztrakt algebrai feladatok, JATEPress, 1983 Fuchs László: Algebra, Tankönyvkiadó, 1974 Fried Ervin: Algebra II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002 Kiss Emil, Bevezetés az algebrába, Typotex, 2007
További oktatók: Matolcsi Máté, G. Horváth Ákosné, Járai Antal Valós számsorozatok konvergenciája, nagyságrendek. Cantor és Dedekind tulajdonság. Bolzano-Weierstrass kiválasztási tétel. Cauchy konvergencia kritérium. Valós számsorok. Geometriai sor. Konvergencia kritériumok. Abszolút és feltételes konvergencia. Elemi függvények folytonossága és differenciálhatósága. Egyváltozós valós, folytonos függvények tulajdonságai. Egyváltozós valós függvények differenciálhatósága, nevezetes határértékek, középérték tételek, függvényvizsgálat, hiperbolikus függvények és inverzeik, lokális tulajdonságok. Határozott és határozatlan integrálok, az integrálszámítás technikája, alkalmazások. Impropius integrálok. Valós és komplex hatványsorok konvergencia tartománya. Valós hatványsorok összegfüggvényének határértéke, integrálja, deriváltja. Elemi függvények Taylor sorai. Alkalmazások.
Leindler László, Analízis, Polygon, 2001. Császár Ákos, Analízis I.
Other instructors: Máté Matolcsi, Ágota G. Horváth, Antal Járai Convergence of sequences of real numbers, growth orders. Cantor and Dedekind property. Bolzano-Weierstrass theorem, Cauchy criterion. Numerical series, geometrical series, convergence tests. Absolute and conditional convergence. Continuity and differentiability of elementary functions. Some properties of continuous functions of one variable. Differentiability, known limits, mean value theorems. Applications: finding local and global extrema, monotonicity test, convexity tests. Hyperbolic functions and their inverses, local properties. Riemann-integral, antiderivative. Techniques of integration, applications. Improper integrals. Real and complex power series, domain of convergence. Limit of the sum of real power series. Term-by-term integration and derivatives. Taylor series of elementary functions. Applications. References: Leindler László, Analízis, Polygon, 2001. Császár Ákos, Analízis I.
További oktatók: Petz Dénes, Matolcsi Máté, G. Horváth Ákosné, Járai Antal Függvénysorozatok pontonkénti és egyenletes konvergenciája. Folytonos függvények tere, uniform norma, teljesség. Egyenletesen konvergens függvénysorozatok határfüggvényének folytonossága, differenciálhatósága, integrálhatósága. Függvénysor pontonkénti és egyenletes konvergenciája, Cauchy kritérium, Weierstrass kritérium. Hatványsor tulajdonságai. Taylor polinom. Lagrange-féle maradéktag. Feltételek egy függvény és Taylor sorának azonosságára. Elemi függvények megegyeznek a Taylor soraikkal. Binomiális sor. Trigonometrikus sor. Szakaszonként folytonos függvények Fourier sora, egyenletes és pontonkénti konvergencia. Metrikus és Euklideszi tér. A tér teljessége, lokális kompaktsága, Borel tétel. Többváltozós függvények határértéke, folytonossága. Parciális deriváltak, totális differenciálhatóság, derivált mátrix. Láncszabály. Iránymenti derivált. Implicit- és inverzfüggvény-tétel. Szélsőérték-számítás. Jordan mérték. Kettős és hármas integrál. Integrálok transzformációja. Vonalintegrál, potenciálelmélet, felületi integrál. Komplex függvények folytonossága, regularitása. Cauchy-Riemann parciális differenciálegyenletek, harmonikus függvények. Elemi függvények regularitása.
Leindler László, Analízis, Polygon, 2001. Császár Ákos, Analízis I. Járai Antal, Modern alkalmazott analízis, Typotex, 2007. Analysis 2 4/2/0/v/6 Course coordinator: Miklós Horváth Other instructors: Dénes Petz, Máté Matolcsi, Ágota G. Horváth, Antal Járai Pointwise and uniform convergence of sequences of functions. The space of continuous functions, uniform norm, completeness. Effects of uniform convergence to continuity, term-by-term differentiability and integrability. Pointwise and uniform convergence of function series. Cauchy criterion, Weierstrass test of uniform convergence. Power series, Taylor polynomials with Lagrangian error term. Condition for a function to be equal to the sum of its Taylor series. Elementary functions can be expanded into Taylor series. Binomial series. Trigonometric series. Fourier series of piecewise continuous functions, tests for pointwise and uniform convergence. Metric space, Euclidean space. Completeness, local compactness, Heine-Borel theorem. Limit and continuity of functions of several variables. Partial derivatives, differentiability, matrix of derivatives. Chain rule, directional derivative, implicite and inverse function theorem. Extremal values. Jordan measure, double and triple (Riemann-)integral. Transformation rules in integrals. Line integral, potential. Integration on surfaces. Continuity and regularity of functions of one complex variable. Cauchy-Riemann equations, harmonic functions. Regularity of elementary functions
Leindler László, Analízis, Polygon, 2001. Császár Ákos, Analízis I. Járai Antal, Modern alkalmazott analízis, Typotex, 2007. Analízis 3 2/2/0/v/5 Tárgyfelelős: Petz Dénes További oktatók: Horváth Miklós, Matolcsi Máté, Járai Antal Komplex függvények integrálja. Cauchy-Goursat alaptétele körintegrálra és annak következményei. Reguláris komplex függvények és deriváltjaik integrálelőállításai. (Cauchy integrálformulák). Laurent sor. Izolált szingularitások osztályozása. Residuum-tétel, komplex integrálok meghatározása. Rouché tétel, argumentum elv. Banach fixpont tétel. Implicit függvénytétel. Mérhető halmazok, mérték. (Külső mérték kiterjesztése teljes mértékké.) Lebesgue mérték a számegyenesen és a síkon. Lebesgue nem mérhető halmaz létezése. Lebesgue–Stieltjes mérték. Mérhető függvények (valós és metrikus térbeli értékű). Luzin, Jegorov, Riesz approximációs és konvergencia tételei. Integrál. Fatou lemma. Beppo–Levi tétel. Lebesgue tétel, az integrál szigma-additivitása, abszolút folytonossága. Integrálok kiszámítása. Fubini tétele. Newton–Leibniz formula. Parciális integrálás. Radon-Nikodym tétel, integrálok transzformációja.
Járai Antal: Mérték és integrál, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002 H.A. Priestly: Introduction to complex analysis, Oxford Univ. Press.
Other instructors: Miklós Horváth, Máté Matolcsi, Antal Járai Functions of one complex variable: The field of complex numbers, power series and analytic functions, Cauchy's theorem and integral formula, Goursat's theorem. Classification of isolated singularities, Laurent expansion, residue theorem and its applications. Rouché theorem, principle of arguments Measure theory and integration: Extending outer measures to complete measures. Lebesgue measure, existence of a non-measurable set. Lebesgue-Stieltjes measure. Measurable functions (real-valued and with values in a metric space). Theorems of Lusin, Egoroff, Riesz on approximation and convergence. Integration, Fatou lemma, Beppo-Levi theorem, Lebesgue theorem. Sigma-additivity and absolute continuity of the integral. Counting integrals. Fubini theorem. Newton-Leibniz theorem. Integration by parts. Radon-Nikodym theorem, tranformation of integrals. References: Járai Antal: Mérték és integrál, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002 H.A. Priestly: Introduction to complex analysis, Oxford Univ. Press.
További oktatók: Horváth Miklós, Matolcsi Máté: Klasszikus algebrai és trigonometrikus ortogonális sorok euklideszi terekben. Ortogonális sorfejtés normált terekben, konvergencia és divergencia különböző normákban. Polinomapproximáció véges és végtelen intervallumon. Szummáció, Lebesgue-függvény, szaturációs tételek. Gyorsan növő polinomok és kapcsolatuk a potenciálelmélettel. Interpolációs eljárások, optimális alappontrendszerek. Spline-ok. Bevezetés a waveletekbe. Irodalom: Sz-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó 1975 G.G. Lorentz, M.V. Golitschek and Y. Makorov: Constructive Approximation, Springer, 1966
Other instructors: Miklós Horváth, Máté Matolcsi Classical trigonometric and algebraic orthogonal systems in Euclidean Spaces. Normed Spaces, orthogonal expansions, convergence and divergence theorems in different norms. Approximation by polynomials in finite and infinite intervals. Summation methods, Lebesgue function, saturation theorems. Fast increasing polynomials and their connection to potential theory. Interpolation processes, optimal systems of nodes. Spline Functions. Introduction to wavelet theory. References: Sz-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó 1975 G.G. Lorentz, M.V. Golitschek and Y. Makorov: Constructive Approximation, Springer, 1966 Differenciálegyenletek 4/2/0/v/6 Tárgyfelelős: Moson Péter További oktatók: Bálint Péter, Tóth János Közönséges differenciálegyenletek: Explicit módon megoldható egyenlettípusok, egzakt és lineáris egyenletek. A kezdetiérték-probléma korrekt kitűzöttsége, egzisztencia, unicitás, folytonos függés a kezdeti értékektől. Közelítő megoldási módszerek. Lineáris egyenletrendszerek, variációs rendszer. A stabilitáselmélet elemei, stabilitás, aszimptotikus stabilitás, Ljapunov-függvények, stabilitás a lineáris közelítés alapján. Síkbeli autonóm egyenletek fázisportréi. Periodikus megoldások. A mechanika Hamilton-egyenletei. Megmaradási tételek. Elemi parciális egyenletek: Elsőrendű egyenletek, kapcsolat közönséges egyenletekkel, karakterisztikák módszere. Véges húr transzverzális rezgései: D'Alambert-formula, Fourier-módszer. Hővezetési egyenlet: Fourier-módszer, diszkretizáció. Maximum-elv. Irodalom: Simon Péter, Tóth János: Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba, Typotex, Budapest, 2005 Differential equations 4/2/0/v/6 Course coordinator: Péter Moson Other instructors: Péter Bálint, János Tóth Ordinary differential equations (ODE), separable, exact and linear equations. Initial value problem, existence and uniqueness. Approximative solution methods. Linear systems of ODEs, variational system. Stability theory. Stability, asymptotic stability, Lyapunov functions. Stability by the linear approximation. Phase portraits of planar autonomous systems. Periodic solutions. Hamiltonian equations in mechanics. Conservation laws. Elementary partial differential equations (PDE). First order equations, relation to ODEs, method of characteristics. Oscillations of the finite chord: D’Alambert formula, Fourier method. Heat transfer equation: Fourier method, discretization. Maximum principle. References: Simon Péter, Tóth János: Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba, Typotex, Budapest, 2005 Parciális differenciálegyenletek 1 2/2/0/v/6 Tárgyfelelős: Garay Barnabás További oktatók: Fritz József Laplace–Poisson egyenlet Dirichlet peremfeltétellel. Klasszikus megoldások: unicitás és folytonos függés, maximum-elv, integrálreprezentációk, példa klasszikus megoldás nemlétezésére. Általánosított/gyenge megoldások: Szoboljev terek, variációs elv, korrekt kitűzöttség, végeselem módszer. Kapcsolat a funkcionálanalízissel: a változók szétválasztása módszer jogosultsága. Közönséges differenciálegyenletek peremérték-problémái, variációszámítás. Elliptikus, parabolikus, hiperbolikus egyenletek: összehasonlítás. Irodalom: Jürgen Jost: Partial Differential Equations, Springer, Berlin, 2002 Yüklə 3,22 Mb. Dostları ilə paylaş:
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||