Altın oran nedir? Altın oranın tarihi gelişimi



Yüklə 81.1 Kb.
tarix29.10.2017
ölçüsü81.1 Kb.

ALTIN ORAN

İÇERİK


Altın oran nedir?

Altın oranın tarihi gelişimi

Altın oranın matematiksel yönü

Altın oranın elde edilişi

Altın oranın özelliği

Altın dikdörtgen ve sarmallardaki tasarım

Altın dikdörtgen ve çokgenler

Çember ve altın oran ilişkisi

Altın pergel

Altın oran ve çokyüzlüler

Altın oran ve fibonacci dizisi

Altın oranın görüldüğü yerler

Altın oran ve sanat

ALTIN ORAN NEDİR?

Altın oran, doğada sayısız canlının ve cansızın şeklinde ve yapısında bulunan özel bir orandır. (http://www.biyolojiegitim.yyu.edu.tr/ders/biomat/altinoran.pdf)

Doğada bir bütünün parçaları arasında gözlemlenen, yüzyıllarca sanat ve mimaride uygulanmış, uyum açısından en yetkin boyutları verdiği sanılan geometrik ve sayısal bir oran bağıntısıdır. (http://www.biyolojiegitim.yyu.edu.tr/ders/biomat/altinoran.pdf)

Altın oranı bir dikdörtgenin boyunun enine olan "en estetik" oranı olarak tanımlayanlar da vardır.(http://www.biyolojiegitim.yyu.edu.tr/ders/biomat/altinoran.pdf)

Uzunluğu  L  olan bir [AB] doğru parçasını ele alalım ve bunu uzunlukları  a  ve  b  olan iki parçaya ayıralım. Eğer   a / b = L / a   yani,   a / b =   (a + b) / a  eşitliği gerçekleniyorsa,  bu bölmeye [AB] doğru parçasının altın bölümü adı verilir. a / b  oranına da altın oran denir. (Prof.Dr. Cihan Orhan-matematik Ve Müzik)

Altın oran bir doğru parçasını ya da bir müzik bestesini iki parçaya bölen bir matematiksel formüldür. (09.11.2011 / Fikri Akdeniz - Müzikte Altın Oran ve Fibonacci dizisi)

Platon'a göre kozmik fiziğin anahtarı bu orandır.

Mehmet Suat Bergil ‘e göre de göz nizamının oranıdır.

Altın oran, doğada bir bütünün parçaları arasında gözlemlenen, uyum ve estetik açıdan en uygun boyutları verdiği sanılan geometrik ve sayısal bir oran ilişkisidir. (Erciyes Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 25- Türk Bayrağı Ve Altın Oran İlişkisi Veli Akarsu)

ALTIN ORANIN TARİHİ GELİŞİMİ

Altın orana ilişkin matematik bilgisinin ilk kez M.Ö. 3. yüzyılda Öklid'in 'Öğeler' adlı yapıtında 'aşıt ve ortalama oran' adıyla kayda geçirildiğini ve eldeki verilerin bu bilginin geçmişinin aslında Eski Mısır'da M.Ö. 3000 yılına kadar dayanır. Doç. Dr. İçen "Altın oranın gizeminin ne olduğunun cevabı, Fibonacci lakaplı İtalyan matematikçinin bulduğu bir dizi sayıda gizlidir. Fibonacci sayıları olarak da adlandırılan bu sayıların özelliği, dizideki sayılardan her birinin kendisinden önce gelen iki sayının toplamından oluşmasıdır" dedi. Altın sayıların yüzyıllar boyu popülaritesinin azalmadan devam etmesinin sebebi bu sayıların canlı cansız varlıklarda görülmesi, 1.618 oranının çok önemli bir sayı olması, altın oran olarak bu sayının sanatta, yapılarda kullanır olması ve matematikte sayılar kuramında önemli bir yerinin olmasından kaynaklandığını söylemiştir.

(İnönü Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Doç. Dr. İlhan İçen)

ALTIN ORANIN MATEMATİKSEL YÖNÜ

Altın Oran, pi (π) gibi irrasyonel bir sayıdır .

(Mehmet Suat Bergil- Doğada Bilimde Sanatta Altın Oran)

x^2-x-1=0 denkleminin pozitif kökü ve ardışık iki fibonacci sayısının oranı olan 1,61803399… sayısıdır.

(Balıkesir Üniversitesi, Şamil Akçağıl, Yüksek Lisans Tezi- Fibonacci Sayıları Ve Altın Oran)

ALTIN ORANIN ELDE EDİLİŞİ


  • Altın oran en basit şekli ile şöyle bulunur:

Bir doğru parçası çizilir, bu doğru parçasını altın orana uygun olarak bölen nokta öyle seçilir ki, küçük parçanın büyüğüne oranını, büyük parçanın bütüne oranına eşit olur. Buna göre, bu nokta büyük parça x, küçük parça 1 ile gösterilirse ,

1/x=x/(x+1)

eşitliğini sağlamalıdır.


x

1

x+1

Bu ifade düzenlendiğinde x^2-x-1=0 ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklemin köklerinden negatif olanı (1-√5)/2 sayısı ,pozitif olanı ise (1+√5)/2 sayısıdır. Pozitif olan kök altın orandır ve ardışık iki fibonacci sayısının birbirine oranı olan 1.61803399… sayısıdır. (Balıkesir Üniversitesi, Şamil Akçağıl, Yüksek Lisans Tezi- Fibonacci Sayıları Ve Altın Oran)



  • 1+1/(1+1/(1+1/…)) sonsuz sürekli kesrinin sonucu phi sayısını verir.

1+1/x=x diyerek çözülür. Denklemin kökleri (1-√5)/2 ve (1+√5)/2 dir.

(Mehmet Suat Bergil- Doğada Bilimde Sanatta Altın Oran)






A Short History of the Fibonacci & Golden Numbers with Their Applications

  • √(1+√(1+√(1 )) ) …

işlemini devam ettirdiğimizde de phi sayısını elde ederiz.





ALTIN ORANIN ÖZELLİĞİ



  • Altın oranın karesi kendisinin 1 fazladır.



  • Altın oranın çarpmaya göre tersi kendisinin 1 eksiğidir.

(Mehmet Suat Bergil- Doğada Bilimde Sanatta Altın Oran)

ALTIN DİKDÖRTGEN VE SARMALLARDAKİ TASARIM

Uzun kenarın kısa kenara olan oranı altın oran kadar olan bir dikdörtgen çizersek altın dikdörtgen elde ederiz. (Bir Sayı Tut- Tübitak Yayınları- Malcolm E. Lines),

Bir altın dikdörtgen ucunda bir kare işaretlenir, daha sonra kalan dikdörtgenin ucunda yine bir kare çizilir ve bu işlem kare çizilmeyene kadar devam eder, daha sonra çizilen karelerin köşeleri bir çeyrek çember ile birleştirilirse, sedefli deniz helezonuna çok benzeyen bir sarmal ortaya çıkar. (www.evrenvebilim.com)

http://d.haber3.com/altin-oran-nedir-29355-15g.jpg

ALTIN DİKDÖRTGEN VE ÇOKGENLER

Altın dikdörtgen içine çizilen elipste altın elipsi verir.

Bir düzgün ongende ongenin bir kenarının uzunluğu ile bu ongeni çevreleyen dairenin yarıçapının oranı Phi’yi verir.(Akdeniz Üniversitesi- Sosyal Bilimler Enstitüsü- Nihal Tekkanat –Altın Oranın Kaynakları Ve Sanata Yansıması(danışman: Prof.Dr. Yüksel Bingöl))



Bir beşgende beşgenin herhangi bir köşegeniyle, kenarı arasındaki oran Phi’dir.

Beşgenin köşegenlerini karşılıklı olarak birleştirecek olursak bir yıldız beşgeni meydana gelir. Buna pentagram denir.

Bir beşgenin köşegenlerini birleştirdiğimizde, iki değişik altın üçgen elde edilir. Bu üçgenlerin tabanları ile kenarları arasında altın oran vardır.

(Akdeniz Üniversitesi- Sosyal Bilimler Enstitüsü- Nihal Tekkanat –Altın Oranın Kaynakları Ve Sanata Yansıması(danışman: Prof.Dr. Yüksel Bingöl))

Eski sanat eserlerinde kullanılan altın kap olarak bilinen form, pentagramın bir bölümünden elde edilir.



Pentagonal yıldız kavramı pentagramın içinde yer alan birbirine eşit beş altın üçgenden ortaya çıkmıştır. Pentagram zengin bir altın oran kaynağıdır. (Akdeniz Üniversitesi- Sosyal Bilimler Enstitüsü- Nihal Tekkanat –Altın Oranın Kaynakları Ve Sanata Yansıması(danışman: Prof.Dr. Yüksel Bingöl) )

ÇEMBER VE ALTIN ORAN İLİŞKİSİ

Bir çemberin yarıçapını kenar uzunluğu alarak FCOG karesi çizip FC kenarını ortalayan bir TA Doğrusu çizdiğimizde, karenin kenarını yani çemberin yarıçapını bir kabul edersek; AC köşegenini bir ikizkenar üçgenin kenarları kabul edersek; COB üçgeninin OB kenarı 0,618034 olur.

(Akdeniz Üniversitesi- Sosyal Bilimler Enstitüsü- Nihal Tekkanat –Altın Oranın Kaynakları Ve Sanata Yansıması(danışman: Prof.Dr. Yüksel Bingöl))

ALTIN PERGEL

Sanatçılar altın oranı genelde tablolarının boyutlarını veya tabloyu orantılı bölümlere ayırmak için uğraşırlardı. Bunu kolay hale getirmek için özellikle matematikle arası iyi olmayan sanatçıların kullanabileceği altın oran sayılarından ilham alarak, altın pergeli yaptılar.

(Akdeniz Üniversitesi- Sosyal Bilimler Enstitüsü- Nihal Tekkanat –Altın Oranın Kaynakları Ve Sanata Yansıması(danışman: Prof.Dr. Yüksel Bingöl))

ALTIN ORAN VE ÇOKYÜZLÜLER

İki boyutlu şekillerin birleşmesi ile üç boyutlu geometrik şekiller elde edilir. Tetrahedron düzgün dörtyüzlüden, dodekahedron on iki adet beşgenin, ikosahedron yirmi adet üçgenin birleşmesiyle oluşmaktadır.

Uzayda dodekahedron veya ikosahedron için: İkosahedronun 12 köşesi ile 6 kenarı bir heksahedronun yüzeyinde yer alır. Bu heksahedronun 8 köşesi de, kenar uzunluğu söz konusu ikosahedronunkine eşit olan bir dodekahedronun 8 köşesi ile aynı noktada yerleşiktir. Bu dodekahedronun öteki 12 köşesi ile 6 kenarı ise, kendisini çevreleyen ikinci bir heksahedronun yüzeyinde yer alır. Bu iki heksahedron arasında altın oran vardır. Dolayısıyla dodekahedron ve ikosahedronun kenarları arasında da altın oran oluşur.

(Akdeniz Üniversitesi- Sosyal Bilimler Enstitüsü- Nihal Tekkanat –Altın Oranın Kaynakları Ve Sanat Yansıması (danışman: Prof.Dr. Yüksel Bingöl))





ALTIN ORAN VE FİBONACCİ DİZİSİ

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765…

Fibonacci sayıları kendisinden önce gelen komşusuna bölünürse bu oran altın orana yaklaşır.

(Balıkesir Üniversitesi, Şamil Akçağıl, Yüksek Lisans Tezi- Fibonacci Sayıları Ve Altın Oran)

ALTIN ORANIN GÖRÜLDÜĞÜ YERLER

İNSAN VÜCUDUNDA ALTIN ORAN

Fibonacci  serisine  benzer  şekilde, insan vücudunun farklı  kısımları arasında altın oran değerine yakın değerler bulunmaktadır.

(Çanakkale  Onsekiz  Mart  Üniversitesi  OFMA  Eğitimi  Bölümü,  Matematik  Eğitimi  A.B.D. Yrd.  Doç.  Dr.  Güney  Hacıömeroğlu )

Altın Orana verilebilecek ilk örnek; göbek ile ayak arasındaki mesafe 1 birim olarak kabul edildiğinde insan boyunun 1,618'e denk gelmesidir. Bunun dışında vücudumuzda yer alan diğer bazı “Altın Oran”lar şöyledir:



  • Parmak ucu-dirsek arası / El bileği-dirsek arası

  • Omuz hizasından baş ucuna olan mesafe / Kafa boyu

  • Göbek-baş ucu arası mesafe / Omuz hizasından baş ucuna olan mesafe

  • Göbek-diz arası / Diz-ayak ucu arası.

  • Parmaklarımız üç boğumludur. Parmağın tam boyunun ilk iki boğuma oranı altın oranı verir (baş parmak dışındaki parmaklar için). Ayrıca orta parmağın serçe parmağına oranında da altın oran olduğunu fark edebilirsiniz.

(Mehmet Suat Bergil, Doğada/Bilimde/Sanatta, Altın Oran, Arkeoloji ve Sanat Yayınları, 2.Basım, 1993, s. 87)

İNSAN KOLUNDA ALTIN ORAN

Elimizin dirseğimizle bileğimiz arasında kalan bölgeye oranı 1,618 dir.

İNSAN YÜZÜNDE ALTIN ORAN

İnsan yüzünde de birçok altın oran vardır. Ancak bunu elinize hemen bir cetvel alıp insanların yüzünde ölçemeyiz. Çünkü bu oranlandırma bilim adamları ve sanatkarların beraberce kabul ettikleri "ideal bir insan yüzü" için geçerlidir. Örneğin üst çenedeki ön iki dişin enlerinin toplamının boylarına oranı altın oranı verir. (www.evrenvebilim.com)


  • İnsan yüzünde yer alan diğer bazı altın oranlar şöyledir:

  • Yüzün boyu / Yüzün genişliği

  • Dudak- kaşların birleşim yeri arası / Burun boyu

  • Ağız boyu / Burun genişliği

  • Burun genişliği / Burun delikleri arası

  • Göz bebekleri arası / Kaşlar arası (http://www.atilim.edu.tr/ -(www.evrenvebilim.com))

AKCİĞERDE ALTIN ORAN

Amerikalı fizikçi B. J. West ile doktor A. L. Goldberger, 1985-1987 yılları arasında yürüttükleri araştırmalarında, akciğerlerin yapısındaki altın oranının varlığını ortaya koydular. Akciğeri oluşturan bronş ağacının bir özelliği, asimetrik olmasıdır. Örneğin, soluk borusu, biri uzun (sol) ve diğeri de kısa (sağ) olmak üzere iki ana bronşa ayrılır. Ve bu asimetrik bölünme, bronşların ardışık dallanmalarında da sürüp gider. İşte bu bölünmelerin hepsinde kısa bronşun uzun bronşa olan oranının yaklaşık olarak 1/ 1,618 değerini verdiği saptanmıştır.

(A. L. Goldberger, et al., “Bronchial Asymmetry and Fibonacci Scaling.” Experientia, 41 : 1537, 1985./E. R. Weibel, Morphometry of the Human Lung, Academic Press, 1963.)

İŞİTME VE DENGE ORGANINDA ALTIN ORAN

İnsanın iç kulağında yer alan Cochlea (Salyangoz) ses titreşimlerini aktarma işlevini görür. İçi sıvı dolu olan bu kemiksi yapı, içinde altın oran barındıran α=73°43´ sabit açılı logaritmik sarmal formundadır.

SARMAL FORMDA GELİŞEN BOYNUZLAR VE DİŞLER

Filler ile soyu tükenen mamutların dişleri, aslanların tırnakları ve papağanların gagalarında logaritmik sarmal kökenli yay parçalarına göre biçimlenmiş örneklere rastlanır. Eperia örümceği de ağını daima logaritmik sarmal şeklinde örer. Mikroorganizmalardan planktonlar arasında, globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae ve trochida gibi minicik canlıların hepsinin sarmala göre inşa edilmiş bedenleri vardır. (www.evrenvebilim.com)

DENİZ KABUKLULARINDAKİ TASARIM

Yumuşakçaların pek çoğunun sahip olduğu kabuk logaritmik spiral şeklinde büyür.

Biyolog Sir D’Arcy Thompson uzmanı olduğu bu tür büyümeyi “Gnom tarzı büyüme” olarak adlandırılmıştı. Thompson'ın bu konudaki ifadeleri şöyledir:

“Bir deniz kabuğunun büyüme sürecinde, aynı ve değişmez orantılara bağlı olarak genişlemesi ve uzamasından daha sade bir sistem düşünemeyiz. Kabuk giderek büyür, fakat şeklini değiştirmez.”

Birkaç santimetre çapındaki bir nautilusta, gnom tarzı büyümenin en güzel örneklerinden birini görmek mümkündür. C. Morrison insan zekası ile bile planlaması hayli güç olan bu büyüme sürecini şöyle anlatır:

“Nautilus’un kabuğunun içinde, sedef duvarlar ile örülmüş bir sürü odacığın oluşturduğu içsel bir sarmal uzanır. Hayvan büyüdükçe, sarmal kabuğunun ağız kısmında, bir öncekinden daha büyük bir odacık inşa eder ve arkasındaki kapıyı bir sedef tabakası ile örterek daha geniş olan bu yeni bölüme ilerler.” (D’Arcy Wentworth Thompson, On Growth and Form, C.U.P., Cambridge, 1961./C. Morrison, Along The Track,Withcombe and Tombs, Melbourne,)

DNADA ALTIN ORAN

Canlıların tüm fiziksel özelliklerinin depolandığı molekül de altın orana dayandırılmış bir formda yaratılmıştır. DNA düşey doğrultuda iç içe açılmış iki sarmaldan oluşur. Bu sarmallarda her birinin bütün yuvarlağı içindeki uzunluk 34 angström genişliği 21 angström’dür. (1 angström; santimetrenin yüz milyonda biridir) 21 ve 34 art arda gelen iki Fibonacci sayısıdır.

(www.evrenvebilim.com)

KAR KRİSTALLERİNDE ALTIN ORAN

Altın oran kristal yapılarda da kendini gösterir. Bunların çoğu gözümüzle göremeyeceğimiz kadar küçük yapıların içindedir. Ancak kar kristali üzerindeki altın oranı gözleyebiliriz. Kar kristalini oluşturan kısalı uzunlu dallanmalarda, çeşitli uzantıların oranı hep altın oranı verir.



(Emre Becer, “Biçimsel Uyumun Matematiksel Kuralı Olarak, Altın Oran”, Bilim ve Teknik Dergisi, Ocak 1991, s.16.)

MİKRO DÜNYADA ALTIN ORAN



Virüslerin altın oranları bünyesinde barındıran formlarda olduğunu tespit eden ilk kişi 1950’li yıllarda Londra’daki Birkbeck Koleji’nden A. Klug ile D. Caspar’dır. Üzerinde ilk tespit yapılan virüs ise Polyo virüsüdür. Rhino 14 virüsü de Polyo virüsü ile aynı formu gösterir. (J. H. Mogle, et al., “The Stucture and Function of Viruses”, Edward Arnold, London, 1978.)

UZAYDA ALTIN ORAN

Evrende, yapısında altın oran barındıran birçok spiral galaksi bulunur.

16. Yüzyılda altın oran için “hazine” ifadesini kullanan Kepler, beş düzgün cisim arasındaki geometrik dönüşümlere çok önem vermiş ve gezegenlerin yörüngeleri ile bu cisimleri çevreleyen küreler arasında bir bağlantı kurmaya çalışmıştır. Kepler, düzgün çok yüzlüleri iç içe geçmiş şekilde gösteren ve bu düzen ile Güneş Sistemi arasındaki bağlantıyı araştıran şemalar geliştirmiştir. (J. A. West & J. G. Toonder, The Case for Astrology, Penguin Books, 1970)

FİZİKTE ALTIN ORAN

“Birbiriyle temas halinde olan iki cam tabakasının üzerine bir ışık tutulduğunda, ışığın bir kısmı öte yana geçer, bir kısmı soğurulur, geriye kalanı da yansır. Meydana gelen, bir, ‘çoklu yansıma’ olayıdır. Işının tekrar ortaya çıkmadan önce camın içinde izlediği yolların sayısı, ışının maruz kaldığı yansımaların sayısına bağlıdır. Sonuçta, tekrar ortaya çıkan ışın sayılarını belirlediğimizde bunların Fibonacci sayılarına uygun olduğunu anlarız(V.E. Hoggatt, Jr. Ve Bicknell-Johnson, Fibonacci Quartley, 17:118, 1979.)

http://www.populerbilgi.com/genel/res_kkk/altinoran20.jpg

MÜZİKTE ALTIN ORAN

Çok sayıda kişi sezgisel olarak matematik ve müzik arasında bir ilişki olduğunu söyler. Müzik teorisyenleri, müziği anlamak için çoğu kez matematik kullanırlar (David Wright, Mathematics and Music, 2009, Ams). Matematiğin tanınmış oranı olan ve doğada bir güzellik ölçütü olarak belirtilen  Φ= 1, 618... sayısı ile ifade edilen “Altın Oran” müzikte de yaygın etkiye sahiptir. Örneğin, müzik aletlerinin yapımını etkilemiştir. Müzik aletleri çoğu kez Φ sayısı temel alarak yapılır. Keman tasarımında olduğu gibi yüksek kalitede ses telinin tasarımında da “Fibonacci Sayıları” ve Φ  kullanılmıştır. Aşağıda orkestra müzik aletlerinin en güzellerinden biri olan keman üzerindeki altın oranlar görülmektedir.

(09.11.2011 / Fikri Akdeniz - Müzikte Altın Oran ve Fibonacci Dizisi)



  • AB / BC = Φ  ve AC / CD = Φ  olmasının dışında AD / AC = AC / AB = CD / BC = Φ  dır.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,,, sayılarının oluşturduğu diziye “Fibonacci Dizisi” denir. “Fibonacci Dizisi” yaşam, güzellik ve sanatsal kavramların oluşturulmasında ortaya çıkmaktadır. Ardışık iki sayının toplamı üçüncü sayıyı vermektedir. “Fibonacci Dizisi”ndeki ardışık iki sayının oranını alırsak, aşağıdaki kesirleri ve karşılık gelen ondalıklı sayıları buluruz. (09.11.2011 / Fikri Akdeniz - Müzikte Altın Oran ve Fibonacci Dizisi)



 Oranlara karşılık gelen sayıların değerleri arttıkça oran değerlerinin hangi sayıya yaklaştığını görmek çok kolaydır. Oranların özel bir sayıya doğru gittiği görülür ki bu değere “Altın Oran” denir. Yaklaşık olarak bu sayının değeri  = 1,618034 dir. Müzik de aşağıda görüldüğü gibi “Fibonacci Dizisi”ne dayanmaktadır. (09.11.2011 / Fikri Akdeniz - Müzikte Altın Oran ve Fibonacci Dizisi)

Her notanın kendi oktavının aralığında 13 nota vardır. Bir skala 8 notadan oluşur, bunlarda 5. ve 3. notalar bir arada çalınan tüm notaların temelini oluşturur  ve bunlar, temel nota olan  skalanın 1. notasından 2 aralık uzaktadır.



Piyanonun tuşları da (C den C ye) “Fibonacci Sayıları”na uymaktadır. Skala içinde sekizi beyaz, beşi siyah olan 13 tuş bulunmaktadır. Bunlar da 3 ve 2’li guruplara ayrılmıştır. Görüldüğü gibi skala üzerinde 1., 2., 3., 5., 8. ve 13. notalar ilk altı “Fibonacci Sayısı” olan 1, 2, 3, 5, 8 ,13’dür. (09.11.2011 / Fikri Akdeniz - Müzikte Altın Oran ve Fibonacci Dizisi)

MOZART VE ALTIN ORAN

Fiziksel bir kanıt olmasa da Mozart’ın yaptığı müzikte Fibonacci dizisini kullandığını görmek zor değildir. Mozart yazdığı piyano sonatını altın oranı yansıtacak biçimde dikkat çeken bir sayı ile iki parçaya ayırmıştır.19’uncu yüzyıl Çek bestecilerinden Antonin Dvorak; “Mozart bir güneştir.” demiştir. Pek çok kişi Mozart’ın müziğinin ışıl ışıl parladığı konusunda fikir birliğindedir.  Muhtemelen onun müzik dehası günlük olaylardan ilham alıyordu. Öte yandan, matematiksel denklemlerle müzikteki beste ölçümlerine sahipti. Matematikçi John F. Putz, Mozart’ın müziğindeki yapıya dikkat çekmiştir. Putz 1995’te Mathematics Magazine 68(4), 275-282 dergisinde yayınlanan araştırma makalesinde Mozart’ın piyano sonatlarında altın oran bölünmesi olup olmadığına yanıt aramıştır.(Adana Altınşehir Kent Kültürü Ve Sanat Dergisi)

Mozart’ın döneminde piyano sanatları geleneksel olarak iki parçaya ayrılırdı. 1 Anlatım (Müzik temasının işlendiği daha kısa olan parça); 2 Geliştirme ve tekrarlama  (recapitulation). Mozart’ın C Major Sonat No1’i 100 ölçümden oluşuyor ve 38 ve 62 ölçümlük iki parçaya ayrılıyor. 62/38=1,613 değeri yaklaşık olarak Altın Oran değerine oldukça yakındır. Putz, Mozart’ın piyano sonatlarındaki bölümlerde yaptığı analiz sonucunda altın oran olduğu sonucuna varmıştır. Yirminci yüzyılın en önemli müzisyenlerinden Macar besteci Bela Bartok (1881-1945) ve Fransız mimar LeCorbusier (1887-1965) çalışmalarında bilinçli olarak altın oranı yerleştirmişlerdir. Dünyaca ünlü Alman klasik müzik bestecisi Bach’ın (1685-1750) da eserlerinde altın oran kullandığı iddiaları bulunmaktadır. Fransız besteci ve piyanist   Erik Satie
(1866-1925) “Sonneries de la Rose Croix” da dahil olmak üzere parçalarının çoğunda altın oranı kullanmıştır. (Adana Altınşehir Kent Kültürü Ve Sanat Dergisi)


ALTIN ORAN SEZGİ MİDİR, BİLİNÇ Mİ?

Illinois Üniversitesi müzik Profesörü Sever Tipei (1943 - ) bir öğrencinin müzikte altın oranla ilgili sorduğu soruya verdiği yanıt aşağıdaki gibidir:

 Altın oran aslında pek çok kompozisyonda bulunabilir, çünkü zamanın bölünmesiyle ilgili bir “doğal” yoldur. Mozart, Beethoven, Chopin vs. tarafından yapılan pek çok çalışmada bulunabilir. Soru şudur: “Sezgisel olarak mı yoksa bilinçli bir şekilde mi kullanılıyor?” Öte yandan, Fransız besteci Debussy (1862-1918) ve Macar besteci Bartok (1881-1945) gibi müzisyenler bilinçli girişimler yaparak bu oranı ve Fibonacci dizisini kullandılar. Bartok, yarım tonların Fibonacci sayılarıyla ifade edilebilen büyüklükteki aralıklarda melodiler yazdı. Ayrıca altın orana karşılık gelen oranlardaki parçalarla formal kesitleri böldü. Çok ayrıntısına girmeden, Debussy de bazı müziklerinde bunu yaptı. Çağdaş müzisyenler ve besteciler de Altın Oran ve Fibonacci sayılarından yararlanmaktadırlar.(Adana Altınşehir Kent Kültürü Ve Sanat Dergisi)

TÜRK BAYRAĞI VE ALTIN ORAN

Bayrak, sancak, flama vb. simgelerin ölçüsü, biçimi, cinsi ve kullanımı ile ilgili kuralları koyan bilim dalı, bayrak bilimi olarak isimlendirilir. Türk Bayrağının hilal ve beş köşeli yıldızının, doğadaki çok sayıda canlı ve cansızın şekil ve yapısında bulunan altın oran kuralına uygunluğunu test etmek için Türk Bayrağı standart ölçülerine göre eni 70.00 m ve boyu 105.00 m olan dikdörtgen biçimli Zonguldak Şehir Stadyumu zeminine jeodezik yöntem ile aplike edilmiştir. Bu aplikasyon sonucunda Türk Bayrağının hilal ve beş köşeli yıldız için 1.337448093, 1.618320611 ve 1.618075802 altın oranları elde edilmiştir. (Erciyes Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 25- Türk bayrağı ve altın oran ilişkisi veli akarsu)

Yüce Türk Milletini temsil eden Türk Bayrağının beyaz Hilal ve Yıldızı ayrıca doğada gözlenebilmektedir. Hilal ve Yıldız gök olayları sonucunda oluşabilmektedir. Bunun kanıtı, Atatürk’ün Kurtuluş Savaşı’nı başlatmak üzere Samsun’a çıkmasının 88. yıl dönümü olan 19 Mayıs 2007 tarihinde Ay ve Venüs batı ufkunda birbirlerine yaklaşarak Türk bayrağının hilal ve yıldızını oluşturmalarıdır. Yukarıda anılan tarihte Hilal ve Yıldız oluşumu bilfiil Zonguldak’ta gözlenmiştir. Bu gök olayı 500 yılda bir kez görülebilecek bir rastlantıyla oluşmaktadır.

Bayrağımızın bir gök olayı sonucu Hilal Yıldız oluşmasına ilişkin bir kanıt ise 1 Aralık 2008 tarihinde Bodrum/Muğla’da Yücel Yücelen tarafından çekilen aşağıdaki fotoğrafta görülmektedir. Bu fotoğrafta görülen hilalin odağındaki parlak gezegenin Venüs ve diğerinin de Jüpiter olduğu, bayrağımızdaki Yıldız yerinde gezegenler yer aldığı, Hilal-Gezegen mesafeleri de bazen yakın/uzak olduğu gibi, bunlara bağlı olarak gökyüzündeki doğal bayrağımız yıl(lar) mertebesinde sıklıkla meydana geldiği, İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümü öğretim üyesi Prof. Dr. Hasan Esenoğlu tarafından ifade edilmiştir. (Erciyes Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 25- Türk bayrağı ve altın oran ilişkisi veli akarsu)

ALTIN ORAN VE SANAT

MISIR SANATINDA ALTIN ORAN

Bir piramitin altın piramit olabilmesi için tabanı Altın Dikdörtgen, yüksekliğinin Phi sayısı ile orantılı ve açısı olmalıdır. Gize, Kefren ve Keops piramitlerinde yapılan ölçümlerde özellikle Keops pramidinin taban/yüz açısının yada gibi Phi ilişkisini veren açısına çok yakın bir değerde olduğu görülmüştür.

http://www.kameraarkasi.org/kompozisyon/resim/altinoran/buyukpiramit_04.jpg

Büyük Piramit’in şeklini göstermektedir. Bilinçli olarak ya da değil, bu piramit 38^o10’lık bir üçgeni sağlayacak şekilde inşa edilmiştir. Yüzeyinin eğimi, çok kesin bir şekilde yerle "51" ^o50’lık açı yapmaktadır, BC uzunluğunun 0,618034’ü olduğunu, AB uzunluğunun 0,78615 olduğunu ve AC uzunluğunun 1 yani yarıçap olduğunu görebiliriz. Büyük Piramit’in gerçek ölçüleri şöyledir. AB=146.6088m BC=115.1839m AC=186.3852m).

Piramitlerin birbirine olan dizilimleriyle bulundukları bölgeye göre yerleşimi bize altın spirali vermektedir. Piramitler hem kendi içlerinde hem de birbirleri arasında Altın Oran içermektedir.

20. Yüzyıl’ın başlarında Mısır sahrasında arkeologlar tarafından yapılan kazıda Mısır Mimarisine ait “Khesi-Ra” kalıntısı bulunmuştur. “Khesi-Ra” eski bir yazıttır (Milanovic, milanovic.org/math/ english/ golden / golden3html).

Khesi-Ra’nın ne olduğu, ne için kullanıldığı uzun süre anlaşılmamıştır. Mısır bilimcileri bu paneli taklit bir kapı olarak kabullendiler. 60’lı yılların başında ise panelde yer alan oran 1/√5 farkına varıldı. Khesi-Ra önemli sembolik figürler içermektedir. Mısır bilimcileri oran metotlarını etraflı olarak tartışıp analiz ettiklerinde, Khesi-Ra panelinin armoni kurallarına uygun olduğu konusunda somut fikre varmışlardır, ve burada eşi benzeri görülmemiş bir oran işçiliği yer almaktadır.

İtalya’daki Turin Müzesinde bulunan “ Ramses Papirüsü”nde 4.Ramses’in mezarının ölçekli bir planı çizilmiştir. Bu planda iç içe yerleştirilmiş üç dikdörtgen yer almaktadır. Mezar ikiye bölündüğünde en içteki dikdörtgen iki kareden oluşmakta ortadaki dikdörtgen ise tam bir Altın Dikdörtgendir. Dıştaki ise ölçüleri ortadakine eşit olan ancak onunla 90^o yapacak şekilde 2 Phi dikdörtgeninden oluşmaktadır. (Bergil,1993,s.118).

YUNAN SANATINDA ALTIN ORAN

Parthenon şehrin en önemli yapısı olarak şehrin bütün önemli noktalarından gözükmekteydi. Parthenon tanrı Athena adına inşa edilmiştir. Athena, Poseydona karşı zafer kazandığından şehrin koruyucu tanrısıydı ve adına Parthenon Tapınağı yapılmıştı. Athena, ayrıca Yunanlılar tarafından insanlığa zeytini bahşeden tanrı olarak kabul edilmekteydi. . Bu tapınağın tasarımını ve heykeltıraşlık işlerini Yunan sanatının ünlü heykeltıraşı aynı zamanda eserlerinde altın oranı kullanan Phidias gerçekleştirmiştir.

Athena’nın yaş gününün kutlandığı festival sırasında doğudan doğan güneş doğu kapısından girer tören sırasında altın kaplı heykeli aydınlatır. Parthenon, sütunlar ve kazıklar (Post and Lintel) üzerine inşa edilmiştir. Dörtgen bir yapıdır. Tamamına yakını mermerden yapılmış bir eserdir. Sadece çatısı, kapıları ve doğramaları ahşaptan yapılmıştır. Yapı, birbirinin içinde iki dikdörtgenden oluşmaktadır. Dış dikdörtgen seri halindeki kolonlar tarafından desteklenmektedir

Parthenon’a parça bazında bakıldığında ise hiç bir parçanın birbirinin aynısı olmadığı anlaşılmıştır. Örneğin kolonlar bile birbirinin aynı değildir. Fakat parçalar birleştirilip binanın tamamı oluşturulduğunda binanın tam bir uyum örneği oluşturduğu ortaya çıkar. Binanın ön cephesi incelendiğinde Altın Oran’a tam olarak uyduğu bulunmuştur. İlginç olan, birbiriyle aynı olmayan, oranları, boyutları farklı olan bu parçalar birleştirildiğinde bina Altın Oran’a uymaktadır. Bina Altın Dikdörtgen Kuramına (Golden Rectangle) tam olarak uymaktadır.

Resim sanatı hakkında en iyi bilgiler vazo resimlerinden elde edilir. Sanatın gelişimi en açık ve doğru olarak çanak ve çömleklerden izlenebilir. Antik Yunan çağda yapılan 120 vazo üzerindeki araştırmanın sonucunda vazoların %95’nde Phi oranı bulunmuştur(Bergil,1993, s.123 ). Bu vazolarda uygulanan Altın Oran araştırıldığında oran sisteminin vazoların en ve boylarında kulp ve buna benzer aksanlarda da Altın Oran görüldü. Böylelikle Yunan vazolarında hem bütünde hem de parçalarında oran sistemine rastlamaktayız. Yunan vazolarının paha biçilmez olması, Altın Oran’ın yarattığı estetik form ve mili değerleri yansıtmasından ileri gelmektedir.

Yunan heykeltıraşlık sanatında da Altın Oran uygulandı. Ünlü Afrodit heykelinde baş ucundan göbeğe oran 0,382 birim; göbekten, ayak ucuna olan oran ise 0,61803 bu sonuçla heykelde Altın Oran’ın uygulandığını açıkça göstermektedir.

Özetlemek gerekirse Yunan Mimarisi ve sanatı genel olarak simetrik olmayan şekilleri birleştirerek sonuçta Altın Oran’a uyan sanat eserleri, yarattı. Bunların en iyi örneği ise Parthenon’dur.

ROMA SANATINDA ALTIN ORAN

19. Yüzyılda Roma döneminde Altın Oran sistemine ışık tutabilecek Romalı bir mimara ait, bir lahit bulundu. Bu lahit mimara meslek hayatında yardımcı olan bazı şekilleri içermekteydi. Bir kare ve bu karenin yanında birbirini kesin bir Phi oranı ardışıklığı içinde dört parçaya bölünmüş bir cetvel bulunmaktaydı. (Bergil,1984,s.128).

Romalı mimarların Altın Oran’ı kullanmış olabileceğine dair bulunan bu ilginç ip ucunun dışında Pacioli De Divina, Proportione adlı eserinde Roma yakınlarında yapılan bir mabedin Altın Oranla ilişkisinden bahsetti.

Gotik dönem sanatçıları “Triagulation’’ ve “Ad quadratum’’ adı verilen bir yöntem kullandılar . Roma kiliselerinin cephe ve plan tasarımlarında bu yöntemin uygulandığı görülür . Planlarda kare bir modülün katları kullanılıp, cephelerde yapı genişliğini taban alan bir karenin içine çizilen üçgenler yerleştirilerek tasarım yapılmaktaydı. Almanya’daki Roman dönemi yapılarından Speyer Katedrali Altın Dikdörtgeni esas alan bir sisteme analiz edilmeye çalışıldığında sonuç olumludur. Speyer katedralinin cephe enine kesitinde, orta mekanın her iki yanında yer alan simetri yapılarda iki Altın Dikdörtgeni görülmektedir.

Paristeki Notre-Dome Katedrali’nin batı cephesi görkemli bir denge içinde bütünleşmiş simetrinin bir örneğidir. Bu dengenin oluşmasında ise bu cephede Altın Oran’ın ağırlıklı olarak kullanılmasından ileri geldiği düşünülmektedir.

RÖNESANS DÖNEMİNDE ALTIN ORAN

Dünyaca ünlü Mona Lisa tablosu Altın Dikdörtgenlerden oluşmaktadır. Mona Lisa’nın yüzü çevrelendiğinde, omuzlarından el bileğine kadar çizilen bölümü dikdörtgen ile çevrelendiğinde Altın Dikdörtgenler ile karşılaşılır.

“Son Akşam Yemeği’’ tablosunda havarilerin masa üzerindeki dağılımını ve odayı geometri kurallarına uyarak Altın Oran’a göre yerleştirdi. Eseri incelediğimizde havarilerin masada dağılımında büyük bir armoniyle karşılaşırız. Masanın ortasında yer alan İsa’ya göre bir dağılım söz konusudur. On iki havarinin ve İsa’nın arkasında yer alan oda penceresine ve masaya göre Altın Oran’ı uygulamıştır

Rambrant’ın eseri “Anatomi Dersi”ni incelediğimizde, “Oblik iki paralel çizginin tuvalin kenarlarında birleşerek tuvalin yüzünde meydana getirdikleri üçgen bölümlerle kompozisyonu oluşturmuştur. Buna göre üst bölümde kalan üçgen bölümde öğrencilerin yüzleri alt bölümde kalan kısma ise kadavrayı yerleştirerek kontrastlıkla Altın Oran’ı yakalamaktadır”(Çağlarca,1997,s.86)

Raphael’in İsa’nın çarmığa gerilişi eseri de altın oranı içerir.

Michelangelo’nun kutsal aile tablosunda da altın oran vardır.

Altın Oran mimaride binaların cephelerinde, planda ve perspektiflerinde mekanı kontrol altına almaya başladı. Rönesans Mimarisinin önemli bir örneği olan Roma’daki Cancelleria Sarayı’nın üst cephe bölümünün analizinde Altın Dikdörtgenlerden kaynaklanan bir orantı uygulaması açıkça görülmektedir. Cancelleria sarayının cephesindeki oran 3,4,5 üçgeni ile Altın Oran büyük bir uyum içinde kullanılmıştır

Rönesans’ta doruğa ulaşan Altın Oran, 17. Yüzyılın sonlarında geometrik planlama bilgisi giderek unutulmaya yüz tutmuştur. Bu dönemde Batı mimarlığında mekanik ve durağan bir tasarım ve süsleme anlayışı hakim oldu. Ancak Oxford’daki Sheldonion Tiyatrosu, Paristeki Crillan Oteli, bu dönemde inşa edilen Altın Oran’ın uygulandığı önemli yapılardandır (Bergil, 1993,s.138).

MODERN DÖNEMDE ALTIN ORAN

Modern dönemde bazı biçimci sanat akımları özellikle de Kübizm, geometrik biçimleri, yasaları ve bu biçimlerin birbiriyle olan ilişkilerini belirlemeye çalışanlar için uygun bir ortam hazırladı. Altın Oran’a duyulan ilgi yeni bir boyut kazandı. Sanatın bireysel yapıdan kurtulup tamamen toplum için uygulanması görüşü oluştu. De Stjil akımı olarak adlandırılan yeni akım da yuvarlak, dikdörtgen ve kare gibi biçimler tercih edilirken, renklerde de sarı, mavi, kırmızı gibi ana renkler tercih edilmekteydi. Bu sanatçıların eserlerinde; evrensellik , sade ve yalınlıkla ifade ve saf renkler ön plana çıkmıştır. Fonksiyonellik, ergonomi, pratiklik ve güzellik iç içedir. Bu akımın ünlü sanatçılarından Gerrit Riatvelt’in iç mimariye yönelik çalışmalarında özellikle de sandalye tasarımlarında kırmızı, sarı ve mavi renkler ön plana çıkmaktadır.

Mondrian’ın, kırmızı, mavi ve sarı renkleri kullanarak ön plana çıkarttığı çalışmalarında birçok Altın dikdörtgen görülmektedir.

Yalınlığı çok seven, bunu mimari ve mobilya tasarımlarına yansıtan Eero Saarinen, Pedestal Grup bünyesinde 1957’de tasarladığı “Pedestal Sandalye’’nin tasarımında Altın Oran’dan yararlanmıştır. Sandalyenin önden görünümünü incelediğimizde sandalye iki ayrı karenin içine oturmuştur. Oturma kısmı ile ayağın birleştiği bölüm ile ayağın tabana oturduğu kısımdaki form altın elipsi tamamlayan bir formdur.

California Üniversitesi Mühendislik binasının planlanmasında Fibonacci sayı dizisinden yararlanılmıştır. Binanın tasarımcısı Jeffrey Gordon Smith binanın planlanmasının, Altın Oran, Fibonacci sayı dizisi ve spiral formunu mühendislik bilgileri ile kaynaşmasıyla ortaya çıktığını belirtmiştir.

Finlandiya Turku istasyon binasının kule şeklinde olan bacasına metal sayılarla yukarıdan aşağıya büyüyen fibonacci sayıları inşa edilmiştir.

Günümüz teknolojisinde artık Altın Oran’ın endüstriyel tasarımda kullanıldığını görüyoruz. Volkswagen Bettle model arabanın tamamı yarım altın elips şeklindedir. İkinci yarım elips ise pencere kısmında bulunmaktadır. Bir kare içine alıp önden baktığımızda arabanın simetrik bir form içinde olduğunu Volkswagen logosunun da karenin merkezinde bulunduğu görülmektedir. Pencerede oluşan yarım elipsi tamamladığımız zaman ön ve arka tekerleklerin tanjantıyla karşılaşırız. Kapı kolu elips kilit bölümü daire, ön ve arka farlar ise arabanın genelini bütünleyecek elips formunda dizayn edilmiştir.

Teknoloji harikası, günümüz gençliğinin vazgeçilmezleri arasına giren tasarımıyla, ergonomiyi, kullanılabilirliği ve güzelliği bir arada sunan iPod’un tasarımını incelediğimizde Altın Oran ile karşılaşırız. IPod’un boyutuna A, ekran bölümüne B, kumanda kısmını C, alarak oranladığımızda A/C=C/B=1,618 oranını elde ederiz

TÜRK SANATINDA ALTIN ORAN

Türk mimarisinin büyük ustası Mimar Sinan Süleymaniye ve Selimiye camilerinin minarelerinde altın oranı kullanmıştır.

Mimar Sinan Edirne’deki Selimiye Camii’nin üç merdivenli minarelerinde helis eğrisinin en güzel uygulamalarından birini göstermiştir. Minareler hem üçer şerefeli, hem de olabildiğince incedir. Bu merdivenler sarmal biçimde yukarıya çıkmaktadır. Birinci merdivenden çıkan birinci ve üçüncü şerefeye, ikinci merdivenden çıkan yalnız ikinci ve üçüncü şerefeye, üçüncü merdivenden çıkan sadece üçüncü şerefeye ulaşmaktadır, farklı merdivenleri kullanan üç kişi birbirini görmeden şerefelere ulaşmaktadır

Selçukluların Konya'da inşa ettikleri İnce Minareli Medresenin taç kapısı üzerinde, İstanbul'daki Davut Paşa Camisinde de, Sivas’ta Divriği Külliyesinde de altın oran bulunur.( Mehmet Suat Bergil- Doğada Sanatta Bilimde Altın Oran)

  • KAYNAKLAR

  • http://www.biyolojiegitim.yyu.edu.tr/ders/biomat/altinoran.pdf

  • Prof.Dr. Cihan Orhan-matematik Ve Müzik

  • 09.11.2011 / Fikri Akdeniz - Müzikte Altın Oran ve Fibonacci dizisi

  • Erciyes Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 25- Türk bayrağı ve altın oran ilişkisi veli akarsu

  • İnönü Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Doç. Dr. İlhan İçen

  • Balıkesir Üniversitesi, Şamil Akçağıl, Yüksek Lisans Tezi- Fibonacci Sayıları Ve Altın Oran

  • Mehmet Suat Bergil- Doğada Bilimde Sanatta Altın Oran

  • A Short History of the Fibonacci & Golden Numbers with Their Applications

  • www.evrenvebilim.com

  • Akdeniz Üniversitesi- Sosyal Bilimler Enstitüsü- Nihal Tekkanat –Altın Oranın Kaynakları Ve Sanata Yansıması(danışman: Prof.Dr. Yüksel Bingöl)

  • Çanakkale  Onsekiz  Mart  Üniversitesi  OFMA  Eğitimi  Bölümü,  Matematik  Eğitimi  A.B.D. Yrd.  Doç.  Dr.  Güney  Hacıömeroğlu

  • http://www.atilim.edu.tr/

  • D’Arcy Wentworth Thompson, On Growth and Form, C.U.P., Cambridge, 1961

  • Adana Altınşehir Kent Kültürü Ve Sanat Dergisi

  • A. L. Goldberger, et al., “Bronchial Asymmetry and Fibonacci Scaling.” Experientia, 41 : 1537, 1985./E. R. Weibel, Morphometry of the Human Lung, Academic Press, 1963.

  • C. Morrison, Along The Track,Withcombe and Tombs, Melbourne,)

  • Emre Becer, “Biçimsel Uyumun Matematiksel Kuralı Olarak, Altın Oran”, Bilim ve Teknik Dergisi, Ocak 1991, s.16.

  • J. H. Mogle, et al., “The Stucture and Function of Viruses”, Edward Arnold, London, 1978

  • J. A. West & J. G. Toonder, The Case for Astrology, Penguin Books, 1970)

  • V.E. Hoggatt, Jr. Ve Bicknell-Johnson, Fibonacci Quartley, 17:118, 1979

  • 09.11.2011 / Fikri Akdeniz - Müzikte Altın Oran ve Fibonacci Dizisi

  • Bir Sayı Tut- Tübitak Yayınları- Malcolm E. Lines

Каталог: uploads
uploads -> Azərbaycan Respublikası Kənd Təsərrüfatı Nazirliyi Azərbaycan Dövlət Aqrar Universiteti adau-nun 80 illik yubileyinə həsr edilir adau-nun elmi ƏSƏRLƏRİ g əNCƏ 2009, №3
uploads -> Mühaziry riyazi mYntiqin elementlYri
uploads -> AZƏrbaycan respublikasi təHSİl naziRLİYİ azərbaycan döVLƏT İQTİsad universiteti magistratura məRKƏZİ
uploads -> AZƏrbaycan əraziSİNDƏ İBTİDAİ İcma quruluşU
uploads -> АзярбайжАН РЕСПУБЛИКАСЫ ТЯЩСИЛ НАЗИРЛИЙИ азярбайжан дювлят игтисад университети
uploads -> Mövzu Fənnin məqsədi və vəzifələri
uploads -> Marketinq fənni üzrə İŞÇİ TƏDRİs proqrami
uploads -> Asm-nin iqtisadiyyatı və idarə edilməsi
uploads -> Təqdimatların hazırlanması (Powerpoint, Word, Excel)


Dostları ilə paylaş:


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©muhaz.org 2019
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə