Asi 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Calcul des valeurs propres

ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur

• Calcul des valeurs propres

Illustration : un système mécanique à deux degrés de liberté

Fréquences de résonance

Résonances (T. Von Karman, the wind and beyond,1963)

• 1831, près de Manchester, des miltaires passent un pont au pas

• les avions qui vibrent et s’écrasent

• immeubles et tremblements de terre

• Ariane : moteur et structure

• pont de Tacoma

• 1,6 km, pointe de la technologie
• 7 novembre 1940 : vents de 67 km/h, il se désagrège

Amplitude de la réponse d ’un système oscillant

Définition illustration

Cercles de Gerschogrin

Démonstration

Supposons que l’on connaisse une valeur propre

intuition

intuition

Puissance itérée

Comment calculer la plus petite valeur propre ?

Comment calculer la plus petite valeur propre ?

Comment calculer la plus petite valeur propre ?

Calcul de toutes les valeurs propres : la méthode de déflation

Propriétés des valeurs propres

Matrices équivalentes

Principe de la méthode QR

La méthode QR

QR et valeurs propres

Méthode de Householder

Matrices semblables (qui ont les mêmes valeurs propres)

SVD : décomposition en valeurs singulières

Conclusion

• on connaît le vecteur propre : calculer la valeur propre

• on connaît la valeur propre : calculer le vecteur propre

• calculer un vecteur et la valeur propre associé

• la plus grande : puissance itérée
• la plus petite : puissance inverse
• la plus proche de k : puissance modifiée

• calculer toutes les valeurs propres d’un coup

• A est symétrique : méthode de Jacobi
• cas général : méthode QR