Baki döVLƏt universiteti TƏTBİQİ Rİyaziyyat və Kİbernetika fakultəSİ

Tənliyin köklərinin təklənməsi.

Verilmiş

ƒ(x)=0 (1)

tənliyinin həqiqi köklərini müxtəlif vasitələrlə təkləmək olar. y=ƒ(x) funksiyasının qrafikini qurmaq mümkün olduqda bu qrafikin absis oxunu kəsdiyi nöqtələri təqribi təyin etmək olur. Bu halda həmin nöqtələrin hər birini öz daxilinə alan, yəni onları təkləyən parçaları təyin etmək çətin olmaz.

Bəzən (1) tənliyini sadə çevrilmələrlə

₁(x)= ₂(x) (2)

tənliyi şəkilinə gətirirlər. Bu halda (1) tənliyinin kökləri, y= ₁(x) və y= ₂(x) funksiyaları qrafiklərinin kəsişmə nöqtəsinin absisləri olar.

Aydındır ki, (1) tənliyinin (2) şəklinə gətirilməsi o zaman əlverişlidir ki, y= ₁(x) və y= ₂(x) funksiyalarının qrafikinin qurulması y=ƒ(x) funksiyasının qrafikinin qurulmasından asan olsun. ₁(x) və ₂(x) funksiyalarını bəzən elə seçirlər ki, onların qrafikləri əvvəldən məlum olan əyrilər olsun. Bu halda y= ƒ(x) funksiyasının absis oxunu kəsdiyi nöqtələr y= ₁(x) və y= ₂(x) funksiyaları qrafiklərinin kəsişmə nöqtələrinin absisləri ilə üst-üstə düşür (Şəkil 1) .


y

x

x₃

x₂

x₁

Şəkil 1.
Əgər [a,b] parçasında kəsilməyən ƒ(x) funksiyası bu parçanın uc nöqtələrində müxtəlif işarəli qiymətlər (ƒ(a)ƒ(b)<0) alırsa, onda həmin parçanın heç olmasa bir daxili nöqtəsində sıfıra çevrilər. ƒ(x_o)=0, yəni (1) tənliyinin [a,b] parçasında heç olmazsa bir x_o kökü vardır. Bu halda x_o kökünü [a,b] parçasının təklədiyini hökm etmək olmaz. Çünki [a,b] parçasında (1) tənliyinin x_o-dan başqa da kökü ola bilər. x_o-ın [a,b] parçasında yeganə olması üçün y=ƒ(x) funksiyası əlavə şərtləri ödəməlidir.

Əgər [a,b] parçasında kəsilməyən y=ƒ(x) funksiyası həmin parçada monotondursa və ƒ(x_o)=0 (a_o) ödənilirsə, onda [a,b] parçası x_o kökünü təkləyən parçadır. Deməli (1) tənliyinin x_o kökünü təkləyən [a,b] parçası ƒ(x) funksiyasının monotonluq parçası olmalıdır. y=ƒ(x) funksiyasının hər bir monotonluq parçasında (x) törəməsi öz işarəsini saxlayır :

(x)>0 olduğu parçada ƒ(x) artan (şəkil 2,a)), (x)<0 olan parçada isə azalan olar (şəkil2,b)).

Beləliklə, (1) tənliyinin həqiqi köklərini təkləmək üçün ƒ(x) funksiyasının bütün monotonluq parçalarını tapmaq lazımdır. Bu parçaların hər birində ƒ(x)-in ən çoxu bir sıfırı ola bilər.

Tənliyin köklərinin təklənməsini daha dəqiq izah etmək üçün aşağıdakı misala baxaq :