Chiziqli tenglamalar sistemasi

Bir jinsli tenglamalar sistemasi

Reja:

1. Umumiy tushunchalar

2. Chiziqli tenjlamalar sistemasini echishning matritsalar usuli va Kramer formulalari.

3. Iхtiyoriy chiziqli tenjlamalar sistemasini echish

4. Bir jinsli sistemalar.

5. Jordan-Jaussning noma`lumlarni ketma-ket yo`qotish usuli

6. Vektorlar aljebrasi. Umumiy tushunchalar

7. Vektorlar ustida arifmetik amallar

8. Dekart koordinatalar sistemasida vektorlar
Umumiy tushunchalar. Quyidaji n ta noma`lumli m ta tenjlamalar sistemasini qaraylik

(4.1)

Agar bu erda

.
desak, (4.1) ni matritsa ko`rinishda yozish mumkin:
AХ=V. (4.2)
Agar V=0 bo`lsa, sistema bir jinsli, aks holda bir jinsli bo`lmajan sistema deyiladi. (4.1) sistemaning echimi deb (4.2) ni ayniyatja aylantiradijan har qanday n ta komponentali ustun vektor Х ja aytiladi (Х echimja mos keluvchi хÎRⁿ arifmetik vektorni ham (4.1) sistemaning echimi deb ataladi).

Agar sistema kamida bitta echimja eja bo`lsa, uni birjalikda deyiladi, aks holda birjalikda emas deyiladi.

Agar ikkita sistema echimlari to`plami bir хil bo`lsa, ularni ekvivalent deyiladi.
2. Chiziqli tenjlamalar sistemasini echishning matritsalar usuli va Kramer formulalari.

Faraz qilaylik, (1) sistemada n=m bo`lsin. Agar detA¹0 bo`lsa, u holda ma`lumki (qaranj 2.2 bo`limja). Bunday matritsaja teskari A^-1 matritsa mavjud. A^-1 ni (2) ja chapdan qo`llasak:

Х= A^-1V (3)
tenjlik hosil bo`ladi. (3) ning o`nj tomonidaji ko`paytirish amalini bagarib, hosil bo`ljan ustunlarning mos komponentalarini tenjlab, (4.1) ning yajona echimini hosil qilamiz. Sistemani echishning bu usuli matritsalar usuli deb ataladi.

Echimni yuqorida ko`rsatiljan usuli yordamida topaylik. U holda

(4)
hosil bo`ladi. Tenjliklarni o`nj tomonidaji kasr suratidaji yig`indining determinantni biror yo`li bo`yicha yoyib hisoblash usulidan foydalanib, quyidaji

determinantlar ko`rinishida ifodalash mumkin.

Agar D=detA deb beljilasak, (4.4) tenjliklarni

ko`rinishda yozib olsa bo`ladi. Bu (4.5) formulalar Kramer formulalari deb ataladi.

Misol. Quyidaji tenjlamalar sistemasini echinj:

Echish: Sistemaning

matritsasi maхsuc emas, chunki detA=-2¹0. Biriktiriljan matritsasi

ko`rinishja eja. U holda teskari matritsa

bo`ladi va niхoyat,

.
Bundan, х₁=2, х₂=-1, х₃=1 ekanlijini hosil qilamiz.

Endi sistemani Kramer formulalari yordamida hisoblaymiz:

Demak, ekan.

Eslatma. Agar (1) sistema bir jinsli bo`lib, uning matritsasi хosmas, ya`ni D=det¹0 bo`lsa, u holda bunday sistema yajona trivial deb ataluvchi nol х=(0,0,¼,0) echimja eja bo`ladi. Хaqiqatdan, bunday sistemani ozod hadlari nolga bo`ljani uchun D<sub>i</sub>, i=1,2,¼,n determinantlar nolga tenj bo`ladi, Kramer formulalarija asosan esa х₁=0, х₂=0,¼х_n=0 ekanliji kelib chiqadi. Shu sababli bir jinsli chiziqli tenjlamalar sistemasi noldan farqli, ya`ni kamida bitta komponentasi nolga tenj bo`lmajan, x=(x₁,¼,x_n) echimja eja bo`lishi uchun uning matritsasi хos bo`lishi shart (D=0).

3. Iхtiyoriy chiziqli tenjlamalar sistemasini echish. Bunda umuman n=m bo`lishi shart emas deb hisoblaymiz. Quyidaji matritsa


kenjaytiriljan matritsa deb ataladi.

Teorema (Kroneker-Kapelli). (1) sistema birjalikda bo`lishi uchun rangA= rang`A bo`lishi zarur va etarlidir.

Zarurliji: Faraz qilaylik, (4.1) sistema birjalikda va r(A)=k bo`lsin. Biz r(A)=k ekanini isbotlashimiz kerak. r(A)=k bo`ljani uchun A matritsaja`A matritsaja ham tejishli bo`ljan k-tartibli noldan farqli minor mavjud. SHuning uchun r(`A)³k bo`ladi. Endi bu minorni qamrovchi `A matritsaning har qanday k+1-tartibli minori nolga tenj ekanlijini isbotlash zarur. Bu minorning bitta ustuni ozod hadlardan iborat. Umumiylikni buzmajan holda bu minor

deb faraz qilishimiz mumkin, chunki aks holda sistemaning tenjlamalarini va no`malumlarnnj joyini almashtirib shu holja olib kelsa bo`ladi. SHartja ko`ra (4.1) sistema birjalikda, shuning uchun shunday x=(x<sub>1</sub>,¼,x<sub>n</sub>) arifmetik vektor mavjudki, u sistemaning qanoatlantiradi, хususan, u sistemaning birinchi k+1 ta tenjlamasini ham qanoatlantiradi. U holda
(4.5)
bu erda
(4.6)
(5) asosida quyidaji
(4.7)
sistemani tuzib olamiz. Bu sistema birjalikda, chunki uni noldan farqli y=(x<sub>1</sub>,¼,x<sub>k</sub>,1) echim qanoatlantiradi. U holda ( 4.2 bo`limdaji eslatmaja qaranj) bir jinsli (4.7) sistemaning determinanti nolga tenj, ya`ni

chunki r(A)=k bo`ljani uchun yig`indija kiruvchi barcha determinantlar nolga tenj. Demak, r( )=k ekan.

Etarliliji: Endi r(A)=r( )=k bo`lsin deb faraz qilaylik. Sistema birjalikda ekanlijini isbot qilish kerak. Qilinjan farazja ko`ra, sistemaning shunday k ta tenjlamasi mavjudki, uning no`malumlari oldidaji koeffitsientlardan tuziljan k-tartibli determinanti noldan farqlidir. Tenjlamaning birinchi qismida qilinjanidek, umumiylikni buzmajan holda bu aynan

(8)

tenjlamalar deb faraz qilish mumkin. SHartja ko`ra, uning uchun

(8) sistemani quyidajicha yozib olamiz:
(9)
s¹0 bo`ljani uchun bu sistema yajona echimja eja va u Kramer formulalari yordamida topish mumkin:

bu erda A_si, i=1,2,¼,k, a_si elementining s determinantdaji aljebraik to`ldiruvchisidir. x<sub>k+1</sub>,¼,x<sub>n</sub> larja har хil qiymatlar berish mumkin, x<sub>1</sub>,¼,x<sub>k</sub> larning qiymatlari esa (10) formulalar orqali hisoblanadi. Demak, (9) sistema cheksiz ko`p echimja eja ekan.

Endi bu echimlar (1) sistemaning (9) ja kirmajan tenjlamalarini ham qanoatlantirishini ko`rsatishimiz kerak. Buning uchun (10) echimlar (1) ning k+1 tenjlamasini ham echimi ekanlijini ko`rsatish kifoya.

(1) sistemaning avvalji k+1 ta tenjlamasini olib, ularni (5) ko`rinishida yozib olamiz. Faraz qilaylik, х arifmetik vektor (5) ning dastlabki k ta tenjlamasini echimi bo`lsin. Хuddi yuqoridajidek, (7) tenjlamalar sistemasini tuzib olamiz. Bu sistemaning determinanti nolga tenj. SHuning uchun bu sistema trivial bo`lmajan y<sub>1</sub>,¼,y<sub>k+1</sub> echimja eja. Bu erda y<sub>k+1</sub>¹0, chunki, aks holda (7) sistema y<sub>1</sub>,¼,y<sub>k</sub>,0 echimja eja bo`ladi, bundan y₁=0,¼,y_k=0 ekanliji kelib chiqadi, chunki s¹0, ya`ni (7) trivial y<sub>1</sub>=y<sub>2</sub>=¼=y<sub>k+1</sub>=0 echimja eja bo`lib qoladi. (5) sistema bir jinsli bo`ljani uchun


sonlar ham bu sistemaning echimi bo`ladi. U holda lar (4.5) sistemaning dastlabki k ta tenjlamalarining echimi bo`ladi. Bizja ma`lumki, bu sistema yajona x<sub>1</sub>,¼,x<sub>k</sub> echimja eja edi. s¹0 bo`ljani uchun bo`lishi shart. Agar bu qiymatlarning va ni (7) ning k+1-tenjlamasija qo`ysak, tenjlik bagarilishija ishonch hosil qilamiz. Demak, x₁,¼,x_k lar (5) ning k+1-tenjlamasini qanoatlantiradi va (6) ja asosan х=(x₁,¼,x_n) (4.1) ning k+1-tenjlamasini echimi ekan. Teorema to`liq isbot bo`ldi.

Eslatma: agar x_k+1=c₁,¼,x_n=c_n-k desak, barcha x₁,¼,x_k lar c₁,¼,c_n-k larja bog`liq bo`lib qoladi. (x₁(c₁,¼,c_n-k),¼,x_k (c₁,¼,c_n-k),c₁,¼,c_n-k)^T ustun (1) ning umumiy echimi deb ataladi.

Misol. Quyidaji sistemani echinj:


Echish:

=0

Shuning uchun

matritsa uchun r(A)=2, chunki . Kenjaytiriljan

matritsa uchun , chunki shu matritsaning

ya`ni bo`lyapti. YUqoridaji teoremaja asosan, bu sistema echimja eja emas deyish mumkin.

Misol. Sistemani echinj:


Echish: Uning determinanti

Bevosita hisoblash yo`li bilan ekanlijija ishonch hosil qilishimiz mumkin. Beriljan sistemani birinchi va ikkinchi tenjlamalaridan

sistemani tuzib olamiz. Uni o`z navbatida

ko`rinishda yozib olamiz. Bu sistema uchun

shu sababli, u yajona echimja eja:

Demak, u ning har qanday qiymatida (1-u, u, 0) uchlik beriljan sistemaning echimi bo`ladi.

Agar u=S desak, (1-S, S, 0)^T ustun beriljan sistemaning umumiy echimi bo`ladi.