Dərsdə Qeyri-müəyyən inteqral. Həll nümunələri diferensialın necə açılacağını öyrəndik, verdiyim nümunəni xatırlayıram

Qeyri-müəyyən inteqralda dəyişən dəyişmə üsulu

Ümumi halın - qeyri-müəyyən inteqralda dəyişənlərin dəyişdirilməsi metodunun nəzərdən keçirilməsinə müraciət edirik.

Misal 5

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Nümunə olaraq dərsin əvvəlində nəzərdən keçirdiyimiz inteqralı götürdüm. Artıq dediyimiz kimi, inteqralı həll etmək üçün cədvəl formulunu bəyəndik  , və mən hər şeyi ona azaltmaq istərdim.

Əvəzetmə metodunun arxasında duran fikir mürəkkəb ifadəni (və ya bəzi funksiyanı) bir hərflə əvəz edin.

Bu halda soruşur:
İkinci ən məşhur əvəz məktubu məktubdur.
Prinsipcə, başqa hərflərdən istifadə edə bilərsiniz, lakin biz hələ də ənənələrə sadiqik.

Belə ki: 

Amma əvəz edərkən biz ayrıldıq! Yəqin ki, çoxları təxmin edib ki, əgər yeni dəyişənə keçid edilirsə, onda yeni inteqralda hər şey hərflə ifadə edilməlidir və diferensial üçün ümumiyyətlə yer yoxdur.
Bunun zəruri olduğu məntiqi bir nəticə çıxarır yalnız asılı olan bəzi ifadəyə çevrilir.

Aksiya aşağıdakı kimidir. Əvəzedicini seçdikdən sonra, bu misalda, diferensialını tapmalıyıq. Diferensiallarla, məncə, dostluq artıq hamı üçün qurulub.

O vaxtdan bəri

Diferensialla mübarizədən sonra yekun nəticəni mümkün qədər qısa şəkildə yenidən yazmağı məsləhət görürəm:

İndi mütənasiblik qaydalarına əsasən, ehtiyacımız olanı ifadə edirik:

Nəhayət: 

Bu cür:

Və bu ən cədvəlli inteqraldır  (təbii ki, inteqrallar cədvəli dəyişən üçün də etibarlıdır).

Nəticə olaraq, tərs dəyişdirmə həyata keçirmək qalır. Biz bunu xatırlayırıq.

Hazır.

Bu nümunənin son dizaynı belə görünməlidir:

“

Əvəz edək:

“

İşarə heç bir riyazi məna daşımır, bu o deməkdir ki, aralıq izahatlar üçün həlli dayandırmışıq.

Bir notebookda bir nümunə hazırlayarkən, sadə bir qələmlə tərs əvəzləmənin üstündən xətt çəkmək daha yaxşıdır.

Diqqət! Aşağıdakı nümunələrdə diferensialın tapılması ətraflı təsvir edilməyəcək.

İndi ilk həll yolunu xatırlamağın vaxtı gəldi:

Fərq nədir? Prinsipial fərq yoxdur. Əslində eyni şeydir. Ancaq tapşırığın dizaynı nöqteyi-nəzərindən funksiyanı diferensial işarəsi altına gətirmək üsulu daha qısadır..

sual yaranır. Əgər birinci yol daha qısadırsa, niyə dəyişdirmə metodundan istifadə edin? Məsələ ondadır ki, bir sıra inteqrallar üçün funksiyanı diferensial işarəsi altında “uyğunlaşdırmaq” o qədər də asan deyil.

Misal 6

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Gəlin əvəz edək: (burada başqa bir əvəz düşünmək çətindir)

Gördüyünüz kimi, dəyişdirmə nəticəsində orijinal inteqral çox sadələşdirilmişdir - adi güc funksiyasına endirilir. Bu əvəzetmənin məqsədidir - inteqralı sadələşdirmək.

Tənbəl qabaqcıl insanlar funksiyanı diferensial işarənin altına gətirməklə bu inteqralı asanlıqla həll edə bilərlər:

Başqa bir şey budur ki, belə bir həll bütün tələbələr üçün aydın deyil. Bundan əlavə, artıq bu nümunədə funksiyanın diferensial işarəsi altında gətirilməsi metodundan istifadə edilir qərarda çaşqınlıq riskini əhəmiyyətli dərəcədə artırır.

Misal 7

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın. Çek aparın.

Misal 8

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Yerdəyişmə:

Nə olacağını görmək qalır

Yaxşı, ifadə etdik, bəs sayda “X” qalsa nə edək?!
Zaman zaman inteqralların həlli zamanı aşağıdakı hiylə baş verir: biz eyni əvəzdən ifadə edəcəyik!




Misal 9

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Dərsin sonunda cavab verin.

Misal 10

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Şübhəsiz ki, bəziləri mənim istinad cədvəlimdə dəyişən əvəzetmə qaydasının olmadığını fərq etdi. Bu, qəsdən edilib. Yuxarıdakı nümunələrdə açıq şəkildə görünmədiyi üçün qayda izahat və anlayışı qarışdıracaq.

Dəyişən əvəzetmə metodundan istifadənin əsas müddəaları haqqında danışmağın vaxtı gəldi: İnteqralda bəzi funksiya və onun törəməsi olmalıdır:(funksiyalar məhsulda olmaya bilər)

Bu baxımdan inteqralları taparkən çox vaxt törəmələr cədvəlinə baxmaq lazımdır.

Bu misalda payın dərəcəsinin məxrəcin dərəcəsindən bir az olduğunu görürük. Törəmələr cədvəlində dərəcəni bir dəfə aşağı salan düstur tapırıq. Buna görə də, məxrəc üçün təyin etsəniz, o zaman paylayıcının yaxşı bir şeyə çevrilməsi şansları böyükdür.

Əvəzetmə yolu ilə inteqrasiya (dəyişən dəyişikliyi). Cədvəl şəklində olmayan inteqralı hesablamaq tələb olunsun. Əvəzetmə metodunun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, inteqralda x dəyişəni x \u003d q (t) düsturuna uyğun olaraq t dəyişəni ilə əvəz olunur, buradan dx \u003d q "(t) dt.

teorem. Bəzi T çoxluğunda x=u(t) funksiyası təyin olunsun və diferensiallana bilsin və f(x) funksiyasının təyin olunduğu bu funksiyanın qiymətlər çoxluğu X olsun. Əgər X çoxluğunda f(x) funksiyasının əks törəməsi varsa, T çoxluğunda düstur doğrudur:

Formula (1) qeyri-müəyyən inteqralda dəyişən düsturun dəyişməsi adlanır.

Parçalar üzrə inteqrasiya. Hissələr üzrə inteqrasiya üsulu iki funksiyanın hasilinin diferensiallanması düsturundan irəli gəlir. u(x) və v(x) x-in iki diferensiallanan funksiyası olsun. Sonra:

d(uv)=udv+vdu. - (3)

Bərabərliyin hər iki hissəsini birləşdirərək (3) əldə edirik:

Amma o vaxtdan:

Münasibət (4) hissə-hissə inteqrasiya düsturu adlanır. Bu düsturdan istifadə edərək inteqralı tapın. Düsturun (4) sağ tərəfindəki inteqralın hesablanması orijinaldan daha asan olduqda ondan istifadə etmək məqsədəuyğundur.

(4) düsturunda ixtiyari C sabiti yoxdur, çünki bu düsturun sağ tərəfində ixtiyari sabit olan qeyri-müəyyən inteqral var.

Hissələr üzrə inteqrasiya üsulu ilə hesablanmış bəzi ümumi inteqral növlərini təqdim edək.

I. Formanın inteqralları, (P n (x) n dərəcə çoxhədlidir, k bəzi ədəddir). Bu inteqralları tapmaq üçün u=P n (x) qoymaq və (4) düsturu n dəfə tətbiq etmək kifayətdir.

II. Formanın inteqralları, (Pn(x) x-ə münasibətdə n dərəcə çoxhədlidir). Onları tez-tez tapıla bilər, u üçün P n (x)-də amil olan funksiyanı götürür.