Ecuatii diferentiale

Aplicaţiile funcţiilor Bessel

1.1.Ecuaţii diferenţiale ordinare de ordinul I

Ecuaţiile diferenţiale sunt acele ecuaţii care conţin derivatele sau diferenţialele a 1-n variabile.

1.11.2 Clasificarea ecuaţiilor diferenţiale

Definiţia 1: O ecuaţie diferenţială ordinară reprezintă ecuaţia diferenţială în care toate derivatele sunt derivate ordinare (simple) a una sau mai multe variabile dependente în raport cu o singură variabilă independentă.

Definiţia 2: O ecuaţie cu derivate parţiale reprezintă o ecuaţie ce conţine cel puţin o derivată parţială a unei variabile dependente.

Definiţia 3: Ordinul unei ecuaţii diferenţiale este egal cu ordinul celei mai mari derivate parţiale ce apare în ecuaţie.

Definiţia 4: O ecuaţie diferenţială este liniară în raport cu una sau mai multe variabile dependente dacă şi numai dacă fiecare termen al ecuaţiei ce conţine una din variabile sau oricare din derivate este de ordinul 1 în acea variabilă şi derivatele sale.

1.21.3 Soluţiile ecuaţiilor diferenţiale

Soluţia unei ecuaţii algebrice sau transcendente de o singura variabilă este un număr ce satisface ecuaţia respectivă. Soluţiile ecuaţiei diferenţiale sunt funcţii (şi nu numere) ce satisfac ecuaţia.

Definiţia 1: Soluţia unei ecuaţii diferenţiale pe un domeniu R este un set de funcţii care, atunci când sunt substituite variabilelor dependente din ecuaţia diferenţială reduc ecuaţia la o identitate în variabila independentă.

Fiecare soluţie independentă a unei ecuaţii diferenţiale reprezintă o soluţie particulară.

O soluţie generală a unei ecuaţii diferenţiale este formată dintr-un set nevid de soluţii specificat printr-o expresie ce conţine cel puţin un parametru şi care devine reprezentarea unei soluţii particulare atunci când parametrii sunt înlocuiţi cu numere. O soluţie este singulară faţă de o soluţie generală dacă nu aparţine acelui set de soluţii. Setul tuturor soluţiilor reprezintă o soluţie completă.

Pentru ecuaţia de ordinul I soluţia particulară se obţine atunci când o soluţie y = y(x) satisface şi unele condiţii suplimentare, de regulă de forma y(x₀) = K₀, cu x₀, K₀ daţi.

Aceasta problemă reprezintă o problemă cu valori iniţiale deoarece în multe cazuri variabila independentă este timpul iar condiţiile suplimentare sunt specificate pentru un moment dat condiţii suplimentare care sunt condiţii iniţiale.

În general soluţia completă a unei ecuaţii diferenţiale de ordin n conţine n constante arbitrare.

1.31.7 Ecuaţii diferenţiale de ordinul I exacte

Ecuaţiile pot fi scrise în forma:

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1.1)

Sau sub forma cu derivate

y' = f(x,y) (1.2)

o formă diferenţială este o diferenţială exactă dacă şi numai dacă, în fiecare punct al unui domeniu ea reprezintă diferenţială totală a unei funcţii f:

df = dx + dy (1.3)

Definiţia 1: O ecuaţie M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 este o ecuaţie diferenţială exactă dacă şi numai dacă există o funcţie f astfel încât M = f/x şi N = f/y pe întreg domeniul.

Teorema 1: Dacă M = f/x şi N = f/y sunt continue pe un domeniu R, atunci ecuaţia diferenţială M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 este exactă dacă şi numai dacă: = pe domeniul R.

Corolar : Dacă ecuaţia M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 este exactă pe domeniul R atunci pentru un punct oarecare (x₀, y₀)R sau:

(1.4)

este o soluţie generală a ecuaţiei diferenţiale.

Fiecare ecuaţie de ordinul I care are o familie de soluţii poate fi făcută exactă prin înmulţirea cu un factor convenabil ales numit factor integrant.

1.41.9 Ecuaţii de ordinul I separabile

În unele cazuri ecuaţiile diferenţiale de ordinul I pot fi reduse prin operaţii algebrice la forma f(x)dx + g(y)dy = 0.

Caracteristica acestor ecuaţii este aceea că variabilele x şi y sunt separate una de alta astfel încât x apare într-un singur termen diferit de zero iar y în celălalt.

Definiţia 1

O ecuaţie diferenţială separabilă reprezintă o ecuaţie diferenţială de ordinul I care este algebric reductibilă la o formă diferenţială standard în care fiecare din termenii nenuli conţine exact o variabilă. Această ecuaţie se rezolvă direct prin integrare.

Pentru a descoperi dacă o ecuaţie este separabilă se procedează astfel:

1. Se grupează coeficienţii celor doua diferenţiale şi se încearcă punerea sub forma:

f(x)G(y)dx = F(x)g(y)dy (3) (1.5)

2. Se rezolvă în raport cu o derivată şi se compară rezultatul cu:

dy/dx = M(x)N(y)(4) (1.6)

(1.7)

(1.8)

1.51.10 Ecuaţii diferenţiale de ordinul I omogene

Dacă toţi termenii din funcţia M(x,y) şi N(x,y) din ecuaţie în forma standard diferenţială:

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1.9)

A unei ecuaţii diferenţiale de ordinul I generală sunt de acelaşi grad total în variabilele x şi y atunci oricare din substituţiile y = ux sau x = vy va reduce ecuaţia la una separabilă. Dacă M(x,y) şi N(x,y) au proprietatea că pentru toate valorile pozitive ale lui , atunci în locul lui x scriem x şi în locul lui y vom scrie y, rezultând expresia ⁿM(x,y) şi ⁿN(x,y) atunci ecuaţia poate fi redusă la o ecuaţie separabilă prin înlocuirea y = ux sau x = vy.

Funcţiile care au proprietatea că substituie lui x valoarea x şi lui y valoarea y ,  >0 produc forma originală multiplă cu ⁿ se numesc funcţii omogene de ordin n.

1.61.11 Ecuaţii diferenţiale de ordinul I liniare

Definiţia aproximativă: Reprezintă ecuaţii ce nu conţin produse , puteri sau alte combinaţii neliniare de y sau y'. Forma generală este:

(1.10)

Rezolvarea acestui tip de ecuaţii se face parcurgând următorii paşi:

• 
  se calculează factorul integrant e
  
• 
  se multiplică membrul drept al ecuaţiei cu acest factor şi se scrie membrul stâng ca o derivată a lui y înmulţit cu factorul integrant
  
• 
  se integrează şi se rezolvă ecuaţia integrală pentru y.