Ecuatii diferentiale

1.7Aplicaţii ale ecuaţiilor diferenţiale de ordinul I

1.7.1Exerciţiul 4, pg. 49

Se consideră o ţeavă de rază r₀ ce transportă un fluid la temperatura T₀, ţeava fiind acoperită cu o izolaţie de grosime a cărei temperatură exterioară este constantă T₁. Să se determine expresia pierderilor de căldură prin izolaţie în regim staţionar.

Căldura transmisă printr-o suprafaţă de rază r(r₀,r₁) ,(unde r₁ = r₀ +w) este:

Q = (2rl) [W] (1.11)

dT =  T = ln r + C

Pentru determinarea constantei C se pune condiţia la limită că pentru r = r₀; T = T₀ şi obţinem:

(1.12)

Prin înlocuire şi grupare se obţine;

(1.13)

Dacă se pune şi a doua condiţie la limită şi anume r = r₁ , T = T₁ atunci:

, [W/m] (1.14)

Pentru a determina distribuţia temperaturii în izolaţie se înlocuieşte Q în expresia lui T;

T = T₀ + (T - T₀) (1.15)

1.7.2Exerciţiul 5

Se consideră un fluid care circulă printr-o conductă cilindrică de diametru interior 2a şi lungime l. Presiunea hidrostatică la intrare şi ieşire din conductă sunt p₀ şi p₁. Dacă se presupune curgerea laminară, să se determine profilul vitezei de curgere în funcţie de raza r măsurată din axa conductei.

În cazul curgerii laminare forţa ce apare între două straturi alăturate este proporţională cu suprafaţa de contact s dintre ele şi cu gradientul de viteză v/n perpendicular pe direcţia de curgere.

 ;- coeficient de viscozitate

Deoarece profilul de curgere este circular simetric este convenabil să analizăm forţele ce acţionează asupra fluidului pe un cilindru de rază interioară r şi grosime r.

Se vor considera doar forţele exterioare ce acţionează asupra acestei suprafeţe, paralel cu axa x.

Deoarece suprafaţa cilindrului pe care acţionează aceste forţe are aria S = 2lr rezultă că forţele de viscozitate distribuite pe interiorul acestei suprafeţe sunt:

F = |(2rl)'(r)| (1.16)

Această forţă acţionează în direcţia x pozitivă deoarece viteza de curgere creşte spre centrul ţevii adică v'(r)<0.

Considerând aceste forţe drept pozitive sau negative după cum acţionează faţă de direcţia x , forţa de viscozitate interioară are valoarea: -(2rl)'(r).

Pe de altă parte forţa de viscozitate distribuită pe suprafaţa exterioară a cilindrului este o forţă negativă ce acţionează în sens negativ pe direcţia x, pe o suprafaţă de arie 2l(r+dr), în timp ce gradientul de viteză este v'(r+r). Această forţă este:

F' = (2l)(r+ r)'(r + r) (1.17)

Forţele hidrostatice acţionează la ambele capete ale cilindrului; secţiunea acestor capete este 2rr.

Este deci o presiune pozitivă p₀(2r)r ce acţionează la intrare şi o forţă negativă -p₁(2r)r ce acţionează pe suprafaţa de ieşire. În regim staţionar, suma forţelor de mişcare şi hidrostatică trebuie să fie zero :

(1.18)

Pentru a determina coeficienţii C₁ şi C₂ se pun condiţiile la limită:

r = 0 ; v- finită rezultă C₁ = 0 ; r = a , v = 0 rezultă:

(1.19)

Expresia finală a vitezei este :

2.9.Ecuatii cu derivate parţiale (EDP)

2.19.5 Separarea variabilelor

2.1.1Exemplul 1, pg. 498

O foaie de metal coincide cu planul xy cu pătratul de coordonate (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). Cele doua fete ale foii sunt perfect izolate iar foaia este atât de subţire încât transferul de căldura poate fi considerat bidimensional. Marginile paralele cu axa x sunt perfect izolate iar marginea din stânga este menţinută la o temperatură constantă = 0. Dacă pe marginea din dreapta se menţine o distribuţie a temperaturii astfel încât u(1,y) = f(y), să se găsească distribuţia de temperatură în întreaga foaie în regim staţionar.

Deoarece se cere să se găsească distribuţia de temperatură în regim staţionar adică după ce orice variaţie a acesteia în timp devine neglijabilă se poate considera că u/t = 0 şi că nu există surse interioare de căldură. Astfel ecuaţia căldurii se reduce la ecuaţia lui Laplace adică:

= 0 (2.20)

Pentru a separa variabilele din această ecuaţie şi a reduce problemă la rezolvarea a două ecuaţii diferenţiale ordinare se presupune o soluţie de forma u(x,y) = X(x)Y(y)

Prin diferenţiere (derivare), înlocuire şi împărţire cu produsul XY se obţine:

X"/X = -Y"/Y (2.21)

Se consideră că valoarea comună a celor două fracţii este o constantă  care poate fi <, = ,>0.

a) dacă <0 şi doar dacă  = -²,(>0):

X" = -²X şi Y" = ²Y (2.22)

X = Acos x + Bsin x şi Y = Ccosh y + Bsinh y (2.23)

iar u(x,y) = X(x)Y(y) = (Acos x + Bsin x)(Ccosh y + Dsinh y) (2.24)

Se ştie că pe marginea din stânga u(0,y) = 0

Dacă în ecuaţia precedenta considerăm x = 0 se obţine:

u(0,y) = A(Ccosh y + Dsinh y) = 0 , pentru orice y [0,1] (2.25)

Acest lucru se întâmplă dacă C = D = 0 dar atunci Y = 0 şi s-ar obţine doar o soluţie banală pentru u; în consecinţă trebuie ca A = 0. Astfel, dacă se include coeficientul B în constantele arbitrare C şi D se obţine:

u(x,y) = sin x (Ccosh y + Dsinh y) (2.26)

Să consideram acum coordonatele la limita pentru marginea superioară şi inferioară deoarece acestea sunt perfect izolate, înseamnă că gradientul de temperatură pe direcţia normală trebuie să fie zero în orice punct, deoarece astfel ar exista flux de căldură prin marginile respective. Derivând ultima forma a soluţiei în raport cu y rezultă:

= sin x(Csin y + Dcosh y) (2.27)

dacă pentru y = 0 şi y = 1 se egalează derivata cu zero şi se obţine:

sin x(D) = 0 şi sinx(Csinh  + Dcosh y) (2.28)

Aceste condiţii sunt respectate pentru orice 0 < x < 1 dacă D = 0 (pentru a satisface prima ecuaţie) şi dacă Csinh  = 0 pentru a satisface a doua ecuaţie.

Deoarece sinh  nu poate fi zero pentru orice valoare pozitivă a lui  rezultă C = 0 dar din nou dacă C şi D sunt ambii zero rezulta că Y = 0 şi se obţine soluţia banală pentru Y astfel varianta cu  < 0 nu conduce la soluţii viabile.

b) Dacă  = 0 rezultă X" = 0 rezultă că X = Ax + B şi Y" = 0 rezultând că = 0 rezultând că Y = Cy +D.

u(x,y) = X(x)Y(y) = (Ax + B)(Cx + D) (2.29)

Dacă se pune condiţia u(0,y) = 0 rezultă că B(Cy + D) = 0

Pentru a nu se obţine soluţia banală trebuie ca B = 0  u(x,y) = x(Cy + D) după ce coeficientul A a fost inclus în constantele C şi D.

Pentru a pune condiţia marginilor izolate se calculează raportul = Cx

Acest raport va fi zero pentru y = 0 şi y = 1 dacă şi numai dacă C = 0. Astfel soluţia se reduce la o soluţie de forma (necesară) a unui produs u(x,y) = Dx.

Pentru a se obţine ulterior o formă convenabila se înlocuieşte D = C₀/2 Þ u₀(x,y) = ½ C₀x.

c) Dacă m > 0 , m = ²(>0) se obţine

X" = ²X Þ X = Acosh lx + Bsinh lx (2.30)

Y" = -l²Y Þ Y = Ccos ly + Dsin ly (2.31)

u(x,y) = X(x)Y(y) = (Acosh lx + Bsinh lx)( Ccos ly + Dsin ly) (2.32)

Din condiţia u(0,y) = 0, valabilă pentru marginea din stânga se obţine:

A(Ccos y + Dsin y) = 0 (2.33)

De unde rezultă A = 0, obţinându-se după includerea lui B în coeficienţii C şi D:

u(x,y) = sinh lx( Ccosly + Dsinly) (2.34)

Pentru a pune condiţia de izolare a marginilor superioară şi inferioară se calculează şi pentru y = 0 şi y = 1 se egalează cu zero şi se obţine:

sinh lx(Dx) = 0 şi sin lx(- Csin l + Dcos l) = 0 (2.35)

pentru orice 0

deoarece C = D = 0 Y = 0 şi u = 0 ceea ce înseamnă ca C 0 şi deci sin  = 0 sau _n = n , n = 1,2,3,…

Acestea sunt singurele valori ale lui  pentru care se obţin pentru u(x,y) = X(x)Y(y) o soluţie nebanală. Cu alte cuvinte pentru fiecare _n şi pentru nici o altă valoare a lui  exista un produs de forma

u_n(x,y) = C_nsinh l_nx cosl_ny = C_nsinh nx cos ny (2.36)

care satisface ecuaţia lui Laplace şi cele trei condiţii la limită:

u(0,y) = 0, u/y|_{x = 0} = 0 şi u/y|_{x = 1} = 0 (2.37)

Ultima condiţie şi anume că pe marginea din dreapta distribuţia temperaturii să fie de forma u(1,y) = f(y) nu poate fi satisfăcută de nici un produs de soluţii individuale obţinut anterior. De fapt dacă se pune x = 1 se obţine: C_n sinh n cos ny = f(y), care nu poate fi o funcţie arbitrară de y. Astfel în final se formează o serie infinită a tuturor soluţiilor de tip produs inclusiv ½ C₀x.

(2.38)

Trebuie determinat coeficientul C astfel încât funcţia definită de această serie să se reducă la o anumită distribuţie de temperaturi f(y) pentru x = 1.Aşadar trebuie ca

(2.39)

Se observă că probabil se reduce la dezvoltarea funcţiei f(y) într-o serie de cos, cu coeficientul C_nsinh (n) pe intervalul (0,1). Se obţine:

(2.40)

Având coeficienţii C_n determinaţi soluţia formală a problemei este acum completă.

2.1.2Exemplul 2, pg. 500

O bară de lungime l are suprafaţa laterală perfect izolată şi este atât de subţire încât fluxul de căldură poate fi considerat unidimensional. Temperatura iniţială este de 100 ºC în întreaga bară. La momentul t = 0, temperatura capătului din stânga al barei este redusă brusc la 50 ºC şi menţinută la această temperatură în timp ce temperatura capătului din dreapta este menţinută la 100 ºC. Să se determine temperatura în orice punct al barei pentru orice moment de timp ulterior.

Rezolvare

Este necesar rezolvarea ecuaţiei unidimensionale a căldurii: , cu condiţia la limită u(0,t) = 50 şi u(l,t) = 100 şi condiţia iniţială u(x,0) = 100.

Dacă se presupune o soluţie de tipul unui produs u(x,t) = X(x)T(t), prin diferenţiere ,înlocuire şi împărţire la XT se obţine:

X"/X = a²T'/T =  care poate fi >, = ,<0.

1. 
   Dacă  = ² > 0 ( >0)
   

X" = ²X  X = Acosh x + Bsinh x şi T' = T/a². (2.41)

X = Acosh x + Bsinh x şi T = Cexp(²t/a²) (2.42)

Iar u(x,t) = X(x)T(t) = (Acosh(x)+Bsinh(x))(Cexp(²t/a²))

Această soluţie trebuie respinsă imediat deoarece datorită funcţiei exponenţiale la puterea pozitiva a lui t rezultă că temperatura creşte fără limită dacă t, lucru imposibil în condiţiile date de problemă.

2. 
   Dacă  = 0  X" = 0  X = Ax + B şi T' = 0 T = C  u(x,t) = X(x)T(t) = C(Ax+B) = Ax+B dacă C a fost inclus în A şi B
   

La capătul din stânga există condiţia u(0,t) = 50  B = 50.

La capătul din dreapta există condiţia u(l,t) = 100 Al+50 = 100  A = 50/l  u₀(x,t) = 50+50x/l care reprezintă o soluţie a ecuaţiei căldurii care satisface ambele condiţii la limită (deşi nu satisface condiţia iniţială).

3. 
   Dacă  = -² < 0 atunci:
   

X" = -²X  X = Acos x+Bsin x (2.43)

T' = -²T/a²  T = C exp(-²t/a²) rezultă că

u(x,t) = X(x)T(t) = (Acos x+Bsin x)exp(-²t/a²) (2.44)

unde din nou C a fost inclus în coeficienţii A şi B.

Dacă încercăm să impunem condiţiile la limită ale problemei pentru soluţia obţinută se pare că:

50 = A exp(-²t/a²) şi 100 = (A cos l+B sin l)exp(-²t/a²),

şi în mod clar nu există valori ale constantelor A şi B pentru care această ecuaţie să fie satisfăcută oricare ar fi t. De fapt este necesar ca produsul soluţiilor să fie 0 pentru x = 0 şi x = l.

Deoarece avem deja soluţia u(x,t) = 50+50x/l care ia valoarea 50 pentru x = 0 şi 100 pentru x = l şi deoarece în final trebuie să formăm o serie din acesta şi toate celelalte soluţii produs pentru a satisface condiţia iniţială de temperatură, este clar că dacă cea din urma este 0 la fiecare capăt al barei, atunci pentru x = 0 şi x = l întreaga serie se reduce la:

u(0,t) = 50+0+0+… = 50 şi u(l,t) = 100+0+0+… = 100.

Dacă se impun aceste noi condiţii, adică u(0,t) = 0 şi u(l,t) = 100 pe care trebuie să le satisfacă celelalte soluţii produs se obţine:

Aexp(-²t/a²) = 0 şi (Acos l+Bsin l)exp(-²t/a²) = 0

Din prim rezultă că A = 0 iar din a doua dacă se evită soluţia banală obţinută din B = 0 se obţine sin l = 0  _n = n/l, n = 1,2,3.

Familia de soluţii produs este:

, n = 1,2,3…. (2.45)

Astfel prin formarea unei serii infinite a acestor soluţii, împreună cu soluţia particulară precedentă se obţine:

(2.46)

Punând condiţia iniţială u(x,0) = 100 se obţine în care t = 0

(2.47)

Astfel coeficienţii B sunt pur şi simplu coeficienţii dezvoltării în serie de sinusuri a diferenţei

şi deci şi de aici prin integrare B_n = 100/n în final, prin înlocuire se obţine soluţia problemei:

(2.48)