Ecuatii diferentiale

2.29.6.Functii ortogonale şi probleme de dezvoltare generală

2.2.1Ex1., pg. 505

O bară cilindrică subţire de lungime l are suprafaţa curbată perfect izolată termic. Capătul din stânga este menţinut la temperatura constantă u = 0, iar cel din dreapta radiază liber în aer la temperatura constantă u = 0. Distribuţia iniţială a temperaturii în bară este: u(x,0) = f(x). Să se determine temperatura în bară la orice moment de timp ulterior.

Rezolvare

Deoarece bara este foarte subţire iar suprafaţa laterală este perfect izolată, se presupune că în orice punct al unei secţiuni transversale temperatura este constantă şi că fluxul de căldură prin bară se transmite în întregime pe direcţia x. Astfel se constată că avem de rezolvat ecuaţia căldurii, scrisă pentru flux bidimensional fără surse interioare de căldură, adică:

= a² (2.49)

Pentru capătul din stânga avem condiţia la limită u(0,t) = 0. Pentru capătul din dreapta avem transfer de căldură prin radiaţie, pentru care trebuie formulată o expresie analitică a soluţiei înainte de a trece la rezolvarea propriu zisă a problemei. Conform legii lui Stefan cantitatea de căldură radiată este:

dQ = (T⁴ - T_a⁴)dS dT (2.50)

T - temperatura absolută a suprafeţei radiante; T_a - temperatura absolută a mediului înconjurător.

Această căldură ajunge la suprafaţa radiantă prin conducţie din interiorul barei:

(2.51)

 - conductivitatea termică; dS' - elementul de suprafaţă similar cu dS situat pe o distanţă infinitezimală de acesta către interiorul barei; T/u - gradientul de temperatură pe o direcţie perpendiculară pe dA'.

Egalând cele două expresii pentru dQ se obţine:

-dS'dt = (T⁴ - T_a⁴)dSdt  -= (T⁴ - T_a⁴) (2.52)

Dacă se dezvoltă (T⁴ - T₀⁴) în puteri ale lui (T⁴ - T₀⁴)/T₀ se obţine că:

(2.53)

Se presupune T - T₀ << T₀, astfel încât se pot neglija toţi termenii cu excepţia primului. Se obţine:

(2.54)

unde: h =

Pentru T₀ = ct.  h = ct. Pentru problema noastră, normala la suprafaţa radiantă (adică capătul din dreapta al barei) este chiar axa x. Astfel, dacă notăm cu  = T - T₀  T₀ se consideră valoare de referinţă, cea de-a doua condiţie la limită devine:

-= -= hu(l,t) (2.55)

Se presupune că soluţia este de tipul unui produs de forma:

u(x,t) = X(x)T(t)

Prin separarea variabilelor se obţine că:

X"/X = aT'/T =  = ct

a.  > 0  la t, T creşte dincolo de limite - imposibil;

b.  = 0  X" = 0  X = Ax + B iar T' = 0  T = C, deci u(x,t) = X(x)T(t) = (Ax + B)C = Ax + B

Pentru ca această soluţie să poată fi luată în considerare este necesar ca

u(0,t) = 0  B = 0 (2.56)

mai mult -u' = hu devine pentru x = l:

-A = hAl  A = 0 (deoarece hl = 0)

Astfel  = 0  soluţie banală se respinge.

c.  = -² < 0 ( > 0)

În acest caz avem:

c - inclus în A şi B

Condiţia la limită la capătul din stânga devine:

Condiţia la limită la capătul din dreapta devine (x = l)

(2.57)

• 
  B = 0. Deoarece şi A = 0  soluţia banală
  
• 
  
  

unde z = l şi  =

Pentru a determina soluţiile acestei ecuaţii se consideră graficele celor două funcţii: y₁ = tan z, şi y₂ = -z. Abscisele punctelor de intersecţie ale acestor curbe sunt valorile lui z pentru care y₁ = y₂ şi soluţiile ecuaţiei. Există un număr infinit de soluţii z_n care nu sunt echidistante. Pentru n: z_n  . Din fiecare z_n se obţine valoarea corespunzătoare a lui _n = şi soluţia asociată:

(2.58)

Soluţia generală este suma soluţiilor particulare, adică;

(2.59)

pentru care trebuie determinat coeficientul B_n astfel încât să fie satisfăcuta condiţia

(2.60)

Pentru a satisface condiţia iniţiala trebuie să dezvoltam o funcţie arbitrara intr-o serie infinita de funcţii cunoscute determinate de o ecuaţie diferenţială şi un set de condiţii la limită. Cu toate acestea, deşi funcţiile din termenii dezvoltării sunt sinusoidale şi valorile  ce apar în argumentele lor se găsesc la intervale incomensurabile astfel încât seria căutată nu este o serie Fourier.

Teorema (4) (pg.514): Fie E.D.

(2.61)

unde r(x) şi p(x) sunt continue pe intervalul a  x  b, iar q(x) este continuă cel puţin pe a1, ₂, ₃, …sunt valori distincte ale parametrului  pentru care există soluţii nebanale ale acestei ecuaţii având derivate de ordinul I continue şi satisfăcând condiţia la limită: a₁y(a) - a₂y'(a) = 0 şi b₁y(b) - b₂y'(b) = 0 unde a₁, a₂, b₁, b₂, sunt constante oarecare astfel încât a₁ şi a₂ nu sunt simultan 0, iar b₁ şi b₂ nu sunt simultan 0, şi dacă y₁, y₂, y₃, sunt soluţii nebanale corespunzătoare acestor valori , atunci funcţiile {y_n(x)} formează un sistem ortogonal faţă de funcţia pondere pe intervalul (a,b).

În cazul nostru este necesar dezvoltarea temperaturii iniţiale u(x,0) = f(x) într-o serie de forma ,unde funcţiile din setul {sin _nx}sunt soluţiile E.D. x" + ²x = 0 care satisface condiţiile iniţiale x(0) = 0 şi hx(l) + x'(l) = 0.

Această ecuaţie şi condiţiile la limită respectă condiţiile teoremei precedente. Dacă se foloseşte ² în loc de  se obţine:

r(x) = 1; q(x) = 0; p(x) = 1; a = 0; b = 1; a₁ = 1; a₂ = 0; b₁ = h; b₂ = -1;

Deci, conform teoremei 4, funcţiile {sin _nx} formează un set ortogonal faţă de funcţia pondere p(x) = 1 pe intervalul (0,l). Pentru a determina valorile lui B_n se înmulţeşte ecuaţia cu sin _nx şi se integrează termen cu termen de la 0 la l. Datorită ortogonalităţii funcţiei {sin _nx}, fiecare integrala din membrul drept dispare cu excepţia celor al căror integrant conţine sin² _nx.

Deci:

B_n =

sau, evaluând integrala de la numitor şi ţinând cont că z_n = _nl satisface condiţia sin z_n = - z_n cos z_n se obţine: B_n =

Cu expresia lui B_n determinată, soluţia formală a problemei de transfer de căldură este acum completă.

2.2.2Ex.4., pg. 522

O placă de metal formată din două bucăţi cu conductibilităţile termice ₁ şi ₂ are coordonatele colţurilor în planul xy: (-a₁, 0), (-a₁, b), (-a₂, 0), (-a₂, b). Marginile plăcii care sunt paralele cu axa y sunt menţinute la temperatură egală cu zero. Marginea de jos este perfect izolată termic iar marginea de sus este menţinută la temperatura T₀. Dacă se presupune că fluxul de căldură prin placă este strict bidimensional, să se găsească distribuţia staţionară a temperaturii în placă.

Reyolvare. Pentru condiţia bidimensională se foloseşte ecuaţia Laplace:.

Se consideră o soluţie de tipul unui produs de forma u(x,y) = X(x)Y(y) care, prin separarea variabilelor duce la: X"/X = -Y"/Y = . Cu toate acestea, datorită proprietăţilor termice diferite ale celor 2 bucăţi, ecuaţia în X trebuie rezolvată independent pe cele două intervale -a₁ < x < 0 şi 0 < x < a₂ iar cele două soluţii trebuie puse în concordanţă astfel încât atât variaţia temperaturii cât şi cea a fluxului termic trebuie să fie continue pentru X = 0.

a.

Condiţia la limită pentru marginea din stânga:

Similar, din condiţia se obţine:

Pentru ca temperatura să aibă o variaţie continuă în x = 0 trebuie ca:

În final, pentru a avea continuitate a fluxului termic în X = 0 trebuie ca:

Deoarece ,,, şi >0 iar şi >0 pentru orice argument mai mare ca zero rezulta din ultima ecuaţie că K = 0. Astfel presupunem soluţia banală

b.  = 0 similar se arată că şi în acest caz se obţine soluţia banală

c.

Punând condiţia la limită pentru marginea izolată, adică:

procedând exact ca în cazul a se obţine ca din condiţiile la limită:

şi din condiţia că temperatura să fie continuă în 0 rezultă:

Condiţia ca fluxul de căldura să fie continuu în x = 0 conduce la:

Dacă K = 0 se obţine soluţia banală. Trebuie deci ca:

Aceasta este ecuaţia caracteristica pentru problema noastră. Pentru rădăcinile sale (care sunt simple şi distincte) şi pentru nici o altă valoare a lui , Ecuaţia lui Laplace care satisface toate condiţiile problemei cu excepţia celei referitoare la marginea superioară, are soluţii nebanale. Mai precis, aceste soluţii sunt:

unde

Nici una dintre aceste soluţii nu poate îndeplini singură condiţia pentru marginea superioara. Din acest motiv, ca de obicei formăm seria infinită:

şi încercam să determinăm coeficienţii K_n astfel încât pentru y = b, seria să fie dezvoltarea funcţiei .

Pentru a face acest lucru este necesar ca funcţiile să fie ortogonale, dar datorită condiţiilor interne pentru. x = 0,acest lucru nu poate fi dedus din teorema (4). Cu toate acestea, făcând o presupunere rezonabilă şi anume că X_n' sunt ortogonale pe în raport cu funcţia pondere

Sugerată de condiţia de continuitate a fluxului termic în x = 0 se poate demonstra că într-adevăr aşa stau lucrurile. De fapt, dacă se pleacă de la ecuaţiile:

satisfăcute de oricare 2 funcţii X şi înmulţind prima ecuaţie cu p(x)X_n şi pe a doua cu p(x)X_m, scăzând rezultatele şi integrând obţinem:

(2.62)

Împărţind domeniul de integrare, înlocuind valorile corespunzătoare ale lui p(x) şi integrând se obţine:

Din condiţiile la limita ale problemei pentru toate valorile lui n. Mai mult, din condiţiile interne la x = 0 avem şi pentru toate valorile lui n. De aici, deoarece tot membrul drept al ultimei ecuaţii este egal cu zero funcţiile. X_n sunt ortogonale faţă de funcţiile pondere p(x) pe intervalul .Folosind aceasta proprietate coeficienţii K_n^m pot fi calculaţi cu uşurinţă:

sau

unde  sunt rădăcinile ecuaţiei caracteristice.

Efectuând integrările şi calculând, folosind ecuaţia caracteristică pentru a simplifica, rezultă în final: