Ecuatii diferentiale

3.10. Funcţii Bessel şi polinoame Legendre

3.1Aplicaţiile funcţiilor Bessel

3.1.1Ex 3, pg. 609

O nervură de metal de secţiune triunghiulară este ataşată de un perete pentru a îmbunătăţi transferul de căldură. Presupunând dimensiunile şi coordonatele din figura 10.10 să se găsească distribuţia temperaturii în nervură în regim staţionar dacă temperatura peretelui este m_w, iar nervura se răceşte liber în aer cu temperatura m₀.

Analiza se va face considerând pentru nervură o lungime egală cu unitatea şi considerând că nervura este atât de subţire încât variaţiile de temperatură paralele cu baza sunt neglijabile; cu alte cuvinte se presupune că temperatura este aceeaşi în toate punctele unei secţiuni transversale paralela cu peretele. Legile fizice mecanice pentru formularea problemei sunt:

Legea Fourier a conducţiei termice: Fluxul de căldură transmis de o suprafaţă este proporţional cu aria acestuia şi cu gradientul de temperatură pe direcţie normală la suprafaţă.

Legea răcirii lui Newton: Fluxul de căldură transmis de o suprafaţă este proporţional cu aria suprafeţei şi cu diferenţa de temperatură dintre corp şi mediul înconjurător.

Constantele de proporţionalitate ale acestor legi sunt cunoscute drept conductivitate termică respectiv coeficient de convecţie.

Să considerăm bilanţul termic pentru o porţiune elementară a nervurii cuprinsă între x şi x+Dx. elementul primeşte căldură prin faţa din dreapta (dinspre perete) şi cedează căldură prin conducţie prin faţa din stânga şi prin convecţie prin faţa superioară şi inferioară. Căldura primită prin faţa din dreapta în unitatea de timp este conform Legii Fourier:

(aria) x (conductivitatea termică) x (gradientul de temperatură):

(3.100)

Similar, căldura cedată prin faţa din stânga este:

Conform legii lui Newton fluxul pierderilor de căldură prin faţa superioară şi inferioară este:

(aria) x (coeficientul de convecţie) x (temperatura suprafeţei (a aerului))

În regim staţionar fluxul de căldură primit trebuie să fie egal cu fluxul cedat adică:

Dacă se notează U = u-u₀ şi ² = 2a/bcos = /(sin), se obţine:

Această ecuaţie poate fi rezolvată imediat cu ajutorul corolarului de la Teorema 1, Sec 10.4, pagina 586 care spune că:

Dacă (1 - r)²4b, ecuaţia diferenţială (x^ry')' + (ax^s + bx^r-2)y are o soluţie completă de forma:

Y = x^[c₁J_v(x^)+ c₁Y_v(x^)]

unde: ; ; ;

Dacă a<0 J_v şi Y_v se înlocuiesc cu I_v, respectiv K_v. Dacă v nu este întreg Y_v, respectiv K_v pot fi înlocuite dacă se doreşte cu I_-v, respectiv J_-v.

Pentru problema noastră: y = U, a = -², s = 0, b = 0, r = 1



; ; ;

Deoarece pentru x = 0 rezultă că c₂ = 0

Din condiţiile la limită :u = w pentru x = a şi rezultă

(3.101)

3.1.2Exemplul 4, pg. 610

Un corp solid este format dintr-un semicilindru de rază r şi înălţime h (figura 10.11). Baza inferioară, suprafaţa curbată şi suprafaţa plană verticală sunt menţinute la temperatura constanta u = 0. Pe baza superioara temperatura este o funcţie cunoscută u(r,q,h) = f(r,q). Să se găsească temperatura în orice punct al corpului în regim staţionar.

Datorită naturii graniţelor corpului ar fi foarte convenabil să folosim ecuaţia căldurii în coordonate carteziene, obţinute la secţiunea 9.2. În schimb o vom folosi exprimată în coordonate cilindrice prin intermediul schimbărilor de variabilă:

x = r cos q ; y = r sin q ; z = z.

(5) (3.102)

Primul pas este să presupunem o soluţie produs de forma u(r,q,z) = R(r) q(q)Z(z), pe care să o înlocuim în ecuaţia (5) pentru a încerca să separam variabilele. Se obţine :

, (3.103)

unde valoarea comuna m₁ trebuie să fie o constantă, deoarece variabilele ce apar în ambii membri ai ecuaţiei sunt independenţi.

a. Dacă m₁ = -n² < 0 (n > 0) Þ q"/q = n² Þ q = A cosh nq + B sinh nq.

Din condiţiile la limită :u(r,0,z) = R(r)q(0)Z(z) = 0 şi u(R,p,z) = R(r)q(p)Z(z) = 0.

Aceleaşi relaţii sunt valabile pentru orice valori ale lui r şi z aşa cum se specifică în condiţiile la limită doar dacă q(0) = q(p) = 0. (6)

q(0) = 0 Þ A = 0, q(p) = 0 Û B sinh np = 0 cum n = 0 Þ B = 0

Varianta m₁ < 0 şi trebuie respinsă.

b. Dacă m₁ = 0 Þ q" = 0 Û q = A + Bq

Din q(0) = q(p) = 0 Þ A = B = 0 Þ soluţia banală.

c. Dacă m₁ = n² > 0 (n > 0) :Þ q"/q = -n² Þ q = A cos nq + B sin nq ; q(0) = 0 Þ A = 0 q(p) = 0 B sin np = 0 deoarece B ¹ 0 s-ar obţine din nou soluţia banală sinnp = 0 Û n = 1, 2, 3,.., n. Pentru q se obţine familia de soluţii q_n(q) = sin nq.

cu m₁ = n² = n² Þ .

Din nou deoarece r şi z sunt variabile independente , valoarea m₂ trebuie să fie constantă.

1. 
   m₂ = -l² < 0 (l > 0).
   

Deoarece grupul de termeni care îl conţine pe Z este mai simplu decât cel care îl conţine pe R s-ar putea crede că este mai simplu să rezolvam ecuaţia sub forma Z"/Z = m₂. Cu toate acestea nu simplitatea termenilor înşişi, ci natura condiţiilor la limita determina modul în care se continua rezolvarea. În mod clar se poate pune condiţia R(b) = 0 odată ce s-a aflat R, în timp ce condiţia u = f(r,q) atunci când z = h nu poate fi impusă direct lui Z, ci trebuie satisfăcuta în final de către o dezvoltare în serie a tuturor soluţiilor produs.

care reprezintă exact ecuaţia Bessel modificată de ordin n.

Deci : R = CI_n(lr) + DK_n(lr) când r = 0; K_n(lr) = ¥; deci pentru a păstra o temperatură finită în axa cilindrului trebuie ca D = 0. de asemenea pentru a respecta condiţiile la limită impuse:

u(b,z,q) = R(b)Z(z)q(q) = 0 pentru orice z şi q trebuie ca R(b) = CI_n(lb) = 0 dar funcţia Bessel modificata În nu este niciodată 0 cu excepţia poate a originii; deci ultima condiţie este respectată doar dacă C = 0, dar cu C = D = 0 se obţine soluţia banală şi deci m₂ < 0 se respinge.

2. 
   m₂ < 0 rezulta:
   

Aceasta nu reprezintă o ecuaţie de tip Bessel ci o ecuaţie de tip Euler.

Prin schimbarea obişnuită de variabilă: r = e^v sau v = ln r rezultă:

Pentru a păstra o temperatura finită cu axa cilindrului (r = 0) trebuie ca D = 0.

Pentru ca R = 0 pentru r = b trebuie ca R(b) º Cbⁿ = 0 Þ = 0 şi din ambele condiţii rezultă că C = D = 0 Û soluţia banală

3. 
   m₂ = l² > 0 (l > 0)
   

Deoarece pentru r = 0: Y_n(lr) = ¥ trebuie ca D = 0. Pentru a menţine temperatura = 0 pe suprafaţa curbă a cilindrului trebuie ca R(b) º CJ_n(lb) = 0 Deoarece C = 0 Þ soluţia banală trebuie ca J_n(lb) = 0 adică l este limitat la setul de valori {r_nm/b}, unde nm reprezintă a "m"-a rădăcină a ecuaţiei J_n(x) = 0. Astfel, pentru fiecare valoare a lui n există o infinitate de soluţii pentru R adică:

R_nm(r) = J_n(l_nmr).

Acum, dacă cunoaştem că m₂ = l_nm², Z se obţine cu uşurinţă:

Z"/2 = = l_nm² ÞZ = E cosh( l_nm z) + F sinh( l_nm z).

Deoarece u(r,q,0) º R(r)q(q) Z(z) = 0 Þ Z(0) Þ E = 0.Soluţia 2 asociată cu R_nm este deci Z_nm(z) = sinh(l_nmz).

Pentru fiecare n avem deci o infinitate de soluţii produs, formate în acelaşi factor q(q) = sin nq, înmulţit cu produsul oricăror perechi de valori de valori R şi 2 corespondente:

u_nm = A_nmJ_n(l_nmr)sinh((l_nmz)sin(nq) ; cu alte cuvinte avem un şir dublu de soluţii produs:

u₁₁, u₁₂, u₁₃, .., u_1m,…

u_21, u₂₂ , u₂₃ , u_2m, ..

…………………

u_n1, u_n2, u_n3, .., u_nm,…

………………….

Deoarece nici una dintre soluţiile produs nu poate reprezenta singură distribuţia de temperatură dată f(r,q) pe baza superioară trebuie să construim o serie infinită de soluţii u_nm şi să încercăm să impunem respectarea condiţiei de temperatură pentru z = h.

Pentru a construi o serie de u valori obţinând:

(3.104)

Aceasta înseamnă să formăm suma elementelor de pe fiecare rând din matricea de mai sus. Apoi adunăm seriile pentru fiecare valoare a lui n:

(7) (3.105)

Pasul final constă în determinarea coeficienţilor A, astfel încât aceasta serie dublă să se reducă la f(r,q) pentru z = h Û

u(r,q,h) = f(r,q)(8) (3.106)

Pentru a efectua această dezvoltare, să ne imaginăm că r este menţinut constant iar q variază în domeniul problemei adică intre 0 şi p.

În aceste condiţii suma inferioară din (8) este o constantă ce depinde de n, de exemplu G_n(r).

Adică

Determinarea lui G nu este decât o dezvoltare în serie Fourier de sin:

(3.107)

Astfel G_n(r) este o funcţie cunoscută de r. Dar prin definiţie G_n(r) este suma interioară :

(9) (3.108)

De aici este clar că valorile coeficienţilor A trebuie să fie astfel încât produsele A_nmsinh(l_nmh) sunt coeficienţii unei dezvoltări în funcţie Bessel a unei funcţii G_n(r) cunoscute . Deci amintindu-ne ca valorile l au fost determinate din condiţia J_n(lb) = 0, din teorema de la Sect 10.6:

(3.109)

unde G_n(r) este dat de relaţia (9). Cu coeficienţii seriei (7) acum determinaţi, problema este rezolvată.