Fizika-matematika fakulteti matematika kafedrasi algebra va sonlar nazaryasi fanidan

Misollar. 5. A={x,y} - ikki elementli to‘plam, G={y₁,y₂} - A ni o‘ziga biektiv akslantirishlar to‘plami bo‘lib, j₁(x)=x, j₁(u)=u j₂(x)=u, j₂(u)=x ko‘rinishda berilgan va ° akslantirishlarning ko‘paytmasi (kompozitsiyasi) dan iborat bo‘lsin, u holda G algebra Abel gruppasi bo‘ladi.
Haqiqatan xam, gruppaning 1⁰ aksiomasining bajarilishini bevosita tekshirib ko‘rish mumkin.
Masalan. [(j₂ j₁) j₂](x)=(j₂ j₁) j₂(x)=(j₂ j₁)(y)=j₂(j₁(y))=
=j₂(y) =xÞ(j₂ j₁) j₂=j₁;
[j₂ (j₁ j₂)](x)=j₂ (j₁(x)))=j₂(j₁(y)) = j₂(y)=
=xÞ j₂ (j₁ j₂)= j₁
bulardan (j₂ j₁) j₂=j₂ (j₁ j₂) kelib chiqadi. Qolgan mumkin bo‘lgan hollarni xam shu kabi tekshirib ko‘rish mumkin. 1⁰. G da j₁ neytral element vazifasini bajaradi. 2⁰ j₁ va j₂ larning har biri o‘z - o‘ziga teskari bo‘ladi.
(j₂ j₂)(x)= j₂(j₂)(x)=j₂(u)=xÞj₂ j₂=j₁ j₁,
(j₂ j₂)(u)= j₂(j₂)(u)=j₂(u)=u j₁(u) Þ
j₂ j₂=(j₁ j₁)(x)=j₁(j₁(x))=j₁(x),
(j₁ j₁)(u)=j₁(j₁(u))=j₁(y) Þ j₁ j₁=j₁
Demak, j₁^-1=j₁, j₂^-1=j₂
4⁰. j₁ j₂=j₂ j₁ ekanligini bevosita tekshirib ko‘rish oson. Demak, G Abel gruppasi ekan.
Gruppaning quyidagi xossalarining mulptiplikativ gruppa uchun keltiramiz. Bu xossalar ixtiyoriy gruppalar uchun xam o‘ringa ega bo‘ladi. Bu holda * amal kupaytirish, e=1 a¹=a^-1 dan iborat bo‘ladi.
Teorema. Agar G gruppa bo‘lsa, "aÎ G uchun a^-1a=1 tenglik uringa ega bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik x Î G a^-1Î G ga teskari element bo‘lsa, ya’ni a^-1x=1. U holda a=a×1=a(a^-1×x)=1×x, a=1×x , a^-1a=a^-1×(1×x)=(a^-1×1)x=a^-1×x=1, ya’ni a^-1x=1.
Teorema isbotlandi.
Teorema. G gruppa bo‘lsa, "aÎ G 1×a=a bo‘ladi.
Isbot. "aÎ G a^-1×a=1 3⁰ aksiomadan esa aa^-1=1 kelib chiqadi. SHuning uchun 1×a=(a×a^-1)a=a×(a^-1×a)= a×1=a. Demak, 1×a=a.
Teorema. Agar ax=1 va au=1 bo‘lsa, x=u bo‘ladi.
Isbot. au=1 u=a^-1 shuning uchun 1-teoremadan ua=1 tenglik o‘rinli
u=u1=u(ax)=(ua)x=1x=x.
Demak, x=u.
Natija. G gruppa bo‘lsa "aÎ G (a^-1)^-1=a bo‘ladi. Haqiqatan xam,
a^-1a=aa^-1=a, (a^-1)^-1=a.
Natija. G ixtiyoriy gruppada "a,bÎ G ax=b va ya=b tenglamalar yagona x=a^-1b, y=ba^-1 echimlarga ega.
Natija. G gruppa bo‘lsa, 1(e) undagi yagona birlik (neytral) element bo‘ladi.
Natija. "a,bÎ G uchun (ab^-1)=b^-1a^-1 tenglik o‘ringa ega. Haqiqatan xam, (ab)(b^-1a^-1)=a(bb^-1)a^-1=(a1)a^-1=aa^-1=1.
Tarif. G gruppaning N¹Æ qism to‘plami uning qism gruppasi (gruppa ostisi) deyiladi. Agar H G da aniqlangan amalga nisbatan o‘zi gruppa bo‘lsa.
Teorema. N¹Æ to‘plami G gruppaning qism to‘plami bo‘lsin. H G ning qism gruppasi bo‘lishi uchun a) "a,bÎ HÞa*bÎ H; b) aÎ NÞ a'Î H shartlar o‘ringa ega o‘ringa ega bo‘lishi zarur va etarlidir.


4-§. Algebrik amallarga nisbatan halqa va maydonning
umumiy tariflari
Aytaylik, E- bo‘sh bo‘lmagan to‘plam. +, × undagi qo‘shish va ko‘paytirish amallari bo‘lsin.
Agar E to‘plamda aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallari quyidagi aksiomalarni qanoatlantirsa E ni halqa deyiladi, ya’ni:

Agar E halqada 7. aksioma o‘ringa ega bo‘lsa E kommutativ halqa deyiladi.
Agar E kommutativ halqada 8. bo‘lsa E birlik elementga ega bo‘lgan holda jism deyiladi.
Agar E kommutativ halqadi
8.
9.
aksiomalar o‘rniga ega bo‘lsa, E ni maydon deyiladi.
1-4 aksoimalardan E kommutativ additive gruppa ekanligi kelib chiqadi, uni E halqaning additiv gruppasi deyiladi.
Tarif. Agar bo‘lsa, u holda E halqaning a va b elementlarini nolning bo‘luvchilari deyiladi.
Tarif. Nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmagan halqani butunlik soxasi deyiladi.
Misollar . Z - butun sonlar to‘plami odatdagidek qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan kommutativ, birlik elementga ega bo‘lgan halqa bo‘ladi:
2. halqa bo‘ladi.
Tarif. E halqa va E É K ¹ Æ uning qism to‘plami bo‘lib, K xam E dagi amallarga nisbatan halqa bo‘lsa K halqa E halqaning qism halqasi bo‘ladi.