Fizika-matematika fakulteti matematika kafedrasi algebra va sonlar nazaryasi fanidan

Yarim halqa orqali hosil qilingan halqa. Faraz qilaylik R(G) biror G sistemani o‘z ichiga olgan minimal halqa bo‘lsin. R(G) halqa har bir elementi ko‘rinishini aniqlash muhim masala bo‘lib hisoblanadi. Agar G ixtiyoriy sistema bo‘lsa R(G) halqa elementi ko‘rinishini aytish murakkabdir, mabodo G sistema yarim halqa bo‘lsa, u holda R(G) halqa elementi ko‘rinishini aytish mumkin.
Aniqrog‘i quyidagi teorema o‘rinlidir.
Teorema. G yarim halqa bo‘lib, R(G) uni o‘z ichiga olgan minimal halqa bo‘lsin. U holda har bir AR(G) uchun shunday A₁,A₂,...,A_k ,G halqadan olingan o‘zaro kesishmaydigan elementlar topiladiki

quyidagi yoyilma o‘rinlidir:

- algebralar. Matematikaning ko‘p masalalarida, xususan, abstrakt o‘lchovlar nazariyasida chekli sondagi to‘plamlarning birlashmasi yoki kesishmasidan tashqari sanoqli sondagi to‘plamlarning birlashmasi yoki kesishmasini xam qarashga to‘g‘ri keladi. SHuning uchun to‘plamlar halqasidan boshqa bo‘lgan quyidagi tushunchani xam kiritamiz.
Tarif. F to‘plamlar halqasi - halqa sigma halqa deb ataladi, agar F ga tegishli bo‘lgan har qanday A₁,A₂,...A_n,... sanoqli to‘plamlar bilan birga ularning yig‘indisi xam F ga tegishli bo‘lsa.
O‘lchovning tarifi. Malumki to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzi, kesmaning uzunligi va h.k. shunga o‘xshash kattaliklarni aniqlaganimizda ularning xammasi uchun umumiy bo‘lgan hossalarni kuzatamiz, ya’ni bu kattaliklar manfiy emas, xamda ularni o‘lchash uchun figuralarni mayda bo‘laklarga bo‘lib o‘lchab so‘ng ularning yig‘indisini olishimiz mumkin. SHuning uchun bu xossalarni umumlashtirib quyida abstrakt o‘lchov tushunchasini aniqlaymiz. Dastlab quyidagi tushuncha bizga kerak bo‘ladi.
Tarif. G to‘plamlar sistemasini R haqiqiy sonlar to‘plamiga bir qiymatli akslantiruvchi : GR akslantirish G da aniqlangan to‘plam funksiyasi deb ataladi.
Agar G sistemada  to‘plam funksiyasi aniqlangan bo‘lsa, u holda bu sistemani G_ orqali belgilaymiz.
Tarif. G_ da aniqlangan m() to‘plam funksiyasi o‘lchov deyiladi, agar :
1) m() ning aniqlanish sohasi G_m yarim halqa bo‘lsa;
2)  AG_m uchun m(A)0 bo‘lsa, ya’ni
3) m(A) -additiv bo‘lsa, ya’ni G_m dan olingan o‘zaro kesishmaydigan
A₁,A₂,...A_n to‘plamlar uchun


bo‘lib

tenglik o‘rinli bo‘lsa.
Izox =   ekanligidan xamda m ning additiv ekanligidan m()=2m() yoki m()=0 ekanligi kelib chiqadi.
Misol: G sistema sifatida tekislikdagi ko‘rinishi {(x;y): a  x< b; c  y < d} bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemasini olamiz.
G ning yarim halqa tashkil etishini ko‘rish qiyin emas. G ga tegishli bo‘lgan ixtiyoriy A={(x;y) : a  x < b ; c  y < d} to‘plam uchun m to‘plam funksiyasi qiymatini m(A)=(b-a)(d-c) tenglik orqali aniqlaymiz. Bunday aniqlangan to‘plam funksiyasi o‘lchovning 2) va 3) shartlarini qanoatlantirishini ko‘rish qiyin emas.
 - additivlik . Analizning ko‘pgina masalalarida to‘plamlarning chekli birlashmasidan, tashqari sanoqli sondagi to‘plamlarning birlashmasini xam qarashga to‘g‘ri kelib qoladi. SHu sababli biz quyidagi tarifni beramiz.
Tarif: G_m yarim halqada aniqlangan m o‘lchov  - additiv o‘lchov deyiladi, agar G_m yarim halqaga tegishli bo‘lgan ixtiyoriy o‘zaro kesishmaydigan, sanoqli sondagi A₁,A₂,...,A_n,... (A_iG, A_i A_j= , ij, i,j=1,2,...) to‘plamlar uchun

bo‘lganda

tenglik o‘rinli bo‘lsa.
G halqada berilgan m o‘lchov uchun m(B)< bo‘lsa, m ni chekli deyiladi.
Aytaylik G algebra, E undan birlik element, m unda aniqlangan chekli o‘lchov bo‘lsin.
Tarif. yig‘indilar sistemasining aniq quyi chegarasi A to‘plamning tashqi o‘lchovi deyiladi va u

orqali belgilanadi.
Ushbu _*(A)=m(E)- *(EAgar _*(A)= *(A) bo‘lsa, A to‘plamni o‘lchovli to‘plam deyiladi, uning o‘lchovning A) bilan belgilaymiz.