Fizika-matematika fakulteti

Volter integral tenglamalari. Ushbu
x
^^{K(x,t)u(t)dt f (x) (1.6)} a
7
integral tenglama Volterning² birinchi tur integral tenglamasi deb ataladi; bu yerda f(x) funksiya I(a≤x≤b) intervalda va K(x,t) yadro ∆(a≤x≤b, a≤t≤x) sohada aniqlangan deb hisoblanadi.
Volterning ikkinchi tur integral tenglamasi quyidagicha yoziladi:
x
^{u(x) f (x)}^{K(x,t)u(t)dt. (1.7)} a
Agar I intervalda f(x)≡0 bo„lsa, (1.7) dan ushbu
x
^{u(x) }^{K(x,t)u(t)dt (1.8)} a
bir jinsli tenglama kelib chiqadi. Yuqoridagilardan ko„rinadiki, Volter tenglamalarida integralning chegaralaridan biri o„zgaruvchi bo„lib, Fredgolm tenglamalarida ikkala chegarasi ham o„zgarmas sonlar bo„ladi.
Agar, ushbu


_{K(x,t) }K(x,t), a t x

belgilashni kiritsak, (1.4) va (1.5) tenglamalar yadrosi K^(x,t) bo„lgan Fredgolmning birinchi va ikkinchi tur integral tenglamalarini tashkil etadi. Shunday qilib, Volter tenglamalari Fredgolm integral tenglamalarining xususiy holi bo„lar ekan. Shunday bo„lsada, ko„p hollarda Volter tenglamalarini alohida o„rganish maqsadga muvofiqdir.

Masalan, quyidagi tenglamalar Volter tenglamalaridir:


x
1. ^{u(x) 1}^{(t x)u(t)dt.} 0
x
2. ^{u(x) 6x29}^{(6x6t 5)u(t)dt.} 0
x
^{3. u(}x^{) }^{(t x)u(t)dt.} 0


x
4. ^{u(x) 2cos xx2}^{(t x)u(t)dt.} 0
5. Volter tenglamasiga misol sifatida umumlashgan Abel tenglama-sini keltirish mumkin:
² Volter Vito (1860-1940) – mashhur italyan matematigi
8
0 ₍^u(t)dt f (x) (0 1), _(1.9) Bunda f (x) - berilgan uzluksiz differensiallashuvchi funksiya. (1.6) tenglamaning yechimi ushbu
sin^f (0) ^x f ^(t)dt ^_x^{1}_{0 (xt)}^1_
formula bilan aniqlanadi.
Eslatib o„tish joizki, agarda K(x,t) 0 va f (x) lar uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar bo„lsa, u holda (1.6) ko„rinishdagi birinchi tur Volter tenglamasi (1.7) ko„rinishdagi ikkinchi tur Volter tenglamasiga keltiriladi. Haqiqatdan, (1.6) ni x bo„yicha differensiallasak, ushbu
x

x
^{K(x,x)u(x)}^{K(x,t)u(t)dt f (x)} a
tenglikni hosil qilamiz. Bu yerdan esa
x
^u(x)^{K1(x,t)u(t)dt f1(x) (a x b),} a
bunda

K₁(x,t)  _K(x, ^x₎ , f₁(x) _K(x,x).

Volter tenglamalaridagi noma‟lum funksiyalar jumladan, ikki argumentli bo„lishi ham mumkin. U ikkinchi tur tenglamasi quyidagicha yoziladi:
ko„p argumentli, holda Volterning

^{x y}

1 1 1
^{u(x, y) f (x, y)}^{K(x, y,t ,t2)u(t ,t2)dt ,dt2, (1.10)} a c
bundagi f(x,y) ozod had ∆(a≤x≤b, c≤y≤d) sohada va K(x,y,t₁,t₂) yadro P(a≤x≤b, c≤y≤d, a≤t₁≤x, c≤t₂≤y) sohada aniqlangan deb hisoblanadi. Masalan, quyidagilar shunday tenglamalardir:
_x y
^{1. u(x, y) xy}^{u(t1,t2)dt1dt2.} 0 0
^{x y}

1 1 1
^{2. u(x, y) 1}^{xtu(t ,t2)dt dt2.} 0 0
9

^{x y}

1 1 1
^{3. u(x,y) xy}^{(t t2 xy)u(t ,t2)dt dt2.} 0 0

Mashqlar


x
Quyida berilgan funksiyalar ularga mos integral tenglamalarning yechimi ekanligini tekshiring:

1. u(x) e^2x,

2. u(x) xe^x2 ^/3,

3. u(x) e^xx2 1^,  

4. u(x) cosx,

^{u(x) e}x ^^ext^u(t)dt. 0
x
^{u(x) x }^xtu(t)dt. 0


x
^{u(x) e}x ^^e(xt) ^{sin( x t)u(t)dt.} 0
x
^{u(x) 1}^{(x t)u(t)dt.} 0

1.2. Differensial tenglamalar va Volter tenglamalari orasidagi bog‘liqlik

Quyidagi n-tartibli chiziqli differensial tenglama

y⁽ⁿ⁾ a₁(x)y^(n1) a₂(x)y^(n2) ...a_n1(x)y'a_n(x)y f (x)
va ushbu boshlang„ich shartlar
y(x)_xa A ,y'(x)_xa A , yⁿ(x) _xa A ,..., y^(n1)(x) _xa A _1 berilgan bo„lsin. Tenglamaning ushbu shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish talab qilinsin (Koshi masalasi). Mana shu chegara shartlaridan foydalanib, berilgan differensial tenglamani unga mos bo„lgan integral tenglamaga aylantirish mumkin. Qisqaroq va soddaroq bayon
qilish maqsadida n=2 deb olaylik, ya‟ni
_y^p(x)y^q(x)y (x) _(1.11)
tenglama va
y(a) A, y'(a) B (1.12)
chegara shartlari berilgan bo„lsin. Bu masalaga mos integral tenglamani topish maqsadida
y^(x) u(x)
deb belgilab olamiz. Bundan

10

x
^{y'(x) }^u(x)dxc1 a
kelib chiqadi. Qulaylik uchun buni
x

1
^{y'(x) }^{u(t)dt c} a
ko„rinishida yozib olaylik. (1.12) ga asosan

^{B y'(a) }^{u(t)dt c1 c1,} a
demak,
x
^{y'(x) }^{u(t)dt B.} a
Bu tenglikning ikki tomonidan integral olamiz:
x x x x
^{y(x) }_^{u(t)dt B}_^{dx c2 }^dx^{u(t)dt B(x a)c2 .} a a a a
_Bunda x=a deb faraz qilsak, (1.11) ga muvofiq Ay(a) c₂
ekanligi kelib chiqadi. U holda
x x
^{y }^dx^{u(t)dt B(xa)A.} a a
Mana shu takroriy integraldan oddiy integralga o„tish maqsadida Koshining ushbu
x x x x
a ^dxa ^dx...a ^{u(t)dt }_{(n 1)!}a ^{(x t)}n1^u(t)dt (1.13) formulasidan foydalanamiz. Demak,
x
^{y }^{(x t)u(t)dt B(x a) A.} a
_{Endi y}_,y_{,y lar uchun aniqlangan ifodalarni (1.11) tenglamaga}
qo„yib, uni quyidagi Volter tenglamasiga keltiramiz:
x
^{u(x) f (x)}^{K(x,t)u(t)dt, (1.14)} a
bunda


11
f (x) Bp(x)B(x a)q(x)Aq(x)(x);
K(x,t) p(x)(x t)q(x). _(1.15) Demak, boshlang„ich shartlar bilan berilgan (1.11) differensial
tenglama o„rniga (1.14) integral tenglmani yechish kifoya. Ma‟lumki, differensial tenglamalarni, ayniqsa, o„zgaruvchan koeffitsiyentli differensial tenglamalarni yechish ko„pincha juda mushkul ish bo„ladi. Ularni almashtiruvchi integral tenglamalarning qulayligi shundaki, ular chegara shartlarini o„z ichiga olishi bilan birga, ba‟zan, osongina yechiladi. Integral tenglamalarni yechish metodlari uncha ko„p emas. Umumiy holda

n

1
K(x,t) a (x)a₂(x)^(xt) ...a_n(x)^(xt)_)!1 .