Fizika-matematika fakulteti

Yüklə 0,71 Mb.

səhifə	4/8
tarix	11.02.2023
ölçüsü	0,71 Mb.
	#123297

1 2 3 4 5 6 7 8

курс иши информатика

2. Chiziqli integral tenglamalarning asosiy ko‘rinishlari

Integral tenglamalar nazariyasi shu qadar rivojlanib, tenglamalarning turlari shu qadar ko„payib ketdiki, ularga umumiy ta‟rif berishning iloji bo„lmay qoldi. Shunday bo„lsa ham, kitobxonda biror boshlang„ich taassurot qolsin uchun integral tenglamaning ilgarilari qabul qilingan ta‟rifini eslatib o„tamiz. Ma‟lumki, agar biror tenglamadagi noma‟lum funksiya differensiallash ishorasi ostida bo„lsa, bunday tenglama differensial tenglama deb yuritiladi. Integral tenglamaning ta‟rifi ham shunga o„xshaydi.
Agar tenglamadagi noma‟lum funksiya shu funksiyaning argumenti bo„yicha olinadigan integral ishorasi ostida bo„lsa, bunday tenglama integral tenglama deb ataladi.
Agar integral tenglamada noma‟lum funksiya darajasi birga teng bo„lsa, bunday tenglama chiziqli integral tenglama deyiladi.
Integral tenglamalarning turlari ko„p, ulardan ba‟zilari quyidagilardir.

Fredgolm integral tenglamalari. Ushbu integral Fredgolmning¹birinchi tur integral tenglamasi deyiladi:
b
^^K⁽^x^,^t⁾^u⁽^t⁾^d^t^^^f⁽^x⁾^,a
tenglama

(1.1)

bunda u(t) – noma‟lum funksiya, f(t) – ozod had va K(x,t) tenglamaning yadrosi – ma‟lum funksiyalar, integrallash chegaralari a va b berilgan haqiqiy o„zgarmas sonlardir.
Fredgolmning ikkinchi tur integral tenglamasi deb quyidagi tenglamani aytamiz:

¹Fredgolm Erik Ivar (1866-1927) – mashhur shved matematigi 4

b
^u⁽^x⁾^^^f⁽^x⁾^^^K⁽^x^,^t⁾^u⁽^t⁾^d^t^.^(1.²⁾a
Bu tenglamadagi noma‟lum funksiya u(x) integral ishorasidan tashqarida ham ishtirok etmoqda. (1.1) va (1.2) dagi λ tenglamaning parametri deb ataladi.
Bu tenglamalardagi f(x) funksiya I (a≤x≤b) kesmada, K(x,t) yadro esa P(a≤x≤b, a≤t≤b) yopiq sohada berilgan deb hisoblanadi. Agar I kesmada f(x)≡0 bo„lsa, (1.2) tenglama quyidagi ko„rinishga keladi:
b
^u⁽^x⁾^^^^K⁽^x^,^t⁾^u⁽^t⁾^dt^(1.3)a
_B_u_n_d_ay_t_en_g_l_a_m_a_b_i_r_ji_ns_li_i_n_t_egra_l_t_e_n_g_l_a_m_a_dey_il_ad_i_.u(x) 0 _un_i_ng
nol (trivial) yechimi bo„ladi. Agar (1.3) tenglama biror da ^u__⁽^x⁾^^⁰yechimga ega bo„lsa, u holda ga ^K⁽^x^,^t⁾yadroning yoki (1.2)

tenglamaning yechimga esa
_x_o_s_q_i_y^m_a_ti_(x_o_s_son_i₎_dey_il_ad_i_._Un_g_a^m_osu__(x) 0 ^K⁽^x^,^t⁾yadroning yoki (1.2) tenglamaning xos funksiyasi

deyiladi. (1.2) tenglama uchun quyidagi Fredgolm teoremasi deb nomlanuvchi teorema o„rinli.
Teorema: ^K⁽^x^,^t⁾yadro regulyar va f (x) uzluksiz funksiya bo„lsin. 1) Agar soni ^K⁽^x^,^t⁾yadroning xos qiymati bo„lmasa, u holda unga
mos (1.2) tenglama yagona u(x), x(a x b) uzluksiz yechimga ega bo„ladi.
2) Agar soni ^K⁽^x^,^t⁾yadroning xos qiymati bo„lmasa, u holda bir
jinslimas (1.2) tenglamalar yoki yechimga ega bo„lmaydi yoki cheksiz ko„p chiziqli bog„lanmagan yechimga ega bo„ladi.
Agar (1.2) tenglamada K(x,t) yadro
K(x,t) K(t,x), t,x[a,b]
shartni qanoatlantirsa, unga simmetrik yadroli ikkinchi tur Fredgolm integral tenglamasi deyiladi.
Simmetrik yadro uchun quyidagi xossalar o„rinli:
1) Har qanday simmetrik yadro kamida bitta xos qiymatga ega bo„ladi.
2) Simmetrik yadroning barcha xos qiymatlari haqiqiy sonlardir.
3) Simmetrik yadroning barcha va () sonlariga mos _(x) va _(x) xos funksiyalari ortogonaldir, ya‟ni
5

b


^^⁽^x⁾^^⁽^x⁾^dx^^⁰^.a

Misol. G soha
x (t), y (t) (0t T)
oddiy yopiq bo„lakli silliq kontur (chiziq)lar bilan chegaralangan bo„lsin. U holda Dirixle masalasi, ya‟ni
u __x^u__y^u0, x, yG

u f (t), x, yG

chegaraviy masalasining u(x, y)

_G -Gsohaning chegarasi, _

 
^f^-^b^e^rⁱ^l^g^aⁿ^f^un^k^sⁱ^y^a
yechimi quyidagicha ifodalanishi

mumkin:

bu yerda

(t) funksiya ushbu

^u⁽^x^,^y⁾^^^⁽^t⁾__t^d^t^,

^⁽^t^,^x^,^y⁾^^^a^r^c^t^g(t)x ^;

T
^^⁽^s⁾^^^K⁽^s^,^t⁾^⁽^t⁾^d^t^^^f⁽^s⁾0

(t)



(s)
integral tenglamaning yechimi; yadro esa quyidagicha bo„ladi: _K₍_s_,_t₎__t _a_r_c_t_g(t)(s)_.
Xususiy holda, soha chegarasi ellips bo„lganda
x acost, y bsin t (ba),
yadro quyidagicha bo„ladi:

ab
^K⁽^s^,^t⁾^^a²b²a²b²cos(s t)^.Nihoyat, ushbu
b
^⁽^x⁾^u⁽^x⁾^^^f⁽^x⁾^^^K⁽^x^,^t⁾^u⁽^t⁾^dt^(1.⁴⁾a
tenglama uchinchi tur integral tenglama deb ataladi. Agar I kesmada

a) (0) 0 bo„lsa, undan (1.1) tenglama;
b) (0) 1 bo„lsa, undan (1.2) tenglama kelib chiqadi. Yuqorida biz tanishgan integral tenglamalarning barchasida noma‟lum u(x) funksiya bir argumentlidir, ya‟ni birgina x erkli o„zgaruvchining funksiyasidir. Misol uchun quyidagi integral tenglamani olaylik:
1
^u⁽^x⁾^³^x^²^³^x^t^u⁽^t⁾^d^t^,0
bunda f(x)=3x-2, K(x,t)=xt, a=0, b=1, λ=3.
Demak, bu tenglama Fredgolmning ikkinchi tur tenglamalaridan ekan.

Nochiziqli integral tenglamalarga misollar:

b
^1.^u⁽^x⁾^^^K^[^x^,^t^,^u⁽^t⁾^]^d^t^^^f⁽^x⁾^-^Urⁱ^son^t^eng^l^a^m^as^i;a
b
^2.^u⁽^x⁾^^^K⁽^x^,^t⁾^F^[^t^,^u⁽^t⁾^]^d^t^^^f⁽^x⁾^-^G^a^m^m^ers^h^t^eyn^t^eng^l^a^m^asⁱ^.a
Integral tenglamada ishtirok etadigan noma‟lum funksiya ikki argumentli bo„lishi ham mumkin. U holda, masalan, ikkinchi tur tenglama quyidagicha yoziladi:
b d
^u⁽^x^,^y⁾^^^f⁽^x^,^y⁾^^^K⁽^x^,^y^,^t¹^,^t²⁾^u⁽^t¹^,^t²⁾^d^t¹^d^t²^,^(1.5)a c
bu yerda f(x,y) – ozod had, P(a≤x≤b, c≤y≤d) sohada, yadro K(x,y,t₁,t₂) esa P(a≤x≤b, c≤y≤d, a≤t₁≤b, c≤t₂≤d) sohada berilgan deb hisoblanadi; a, b, c, d va λ lar berilgan o„zgarmas haqiqiy sonlardir. Ana shunday tenglamalarga misol sifatida quyidagi tenglamani ko„rsatish mumkin:
1 1

1
^u⁽^x^,^y⁾^^²^x^y^³^⁵^x^y^t^t²^u⁽^t¹^,^t²⁾^d^t¹^d^t²^.0 0
Umuman, integral tenglamadagi noma‟lum funksiya u(x₁,x₂,…,x_n) ko„p argumentli bo„lishi ham mumkin, u holda Fredgolm tenglamasidagi integral n karrali bo„ladi.

Yüklə 0,71 Mb.

Dostları ilə paylaş:

1 2 3 4 5 6 7 8