Fizika-matematika fakulteti

1.2 Chegaraviy shartlar va chegaraviy masala

Faraz kilaylik, n- tartibli oddiy differensial tenglama
(3)
berilgan bulib, uning u=u(x) yechimini chekli yoki cheksiz [a, b] oraliqda topish talab qilinsin. Bu oralikda m ta nuqtalarni olamiz:

Bu nuqtalarda u(x) funktsiya va uning u'(x),...,u(" ')(x) xosilalarining qiymatlarini biror qoidaga ko’ra bog’lovchi n ta tenglama ham berilgan bo’lsin:
(4)
Quyidagi masalani qaraymiz: (3) tenglamaning [a, b] oraliqda n ta (4) shartlarni qanoatlantiradigan u(x) yechimi topilsin.
Agar m= 1 ( = a) bo’lsa, u holda Koshi masalasiga, ya'ni (3) tenglamaning (4) dastlabki shartlarni kdnoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga kelamiz.
Agar m= 2 ( = a, = b) bo’lsa, u holda (3), (4) masala ikki nuqtali yoki chegaraviy masala deyiladi.
Agar m > 2 bulsa, u holda (3), (4) masala m nuqtali yoki ko’p nuqtali masala deyiladi.
Ko’p nuktali masalaga misol sifatida bir necha tayanchlarda yotgan kurilish tusinining urta chizigini topish yoki ikki nuktada max,- kamlangan yuklatilgan egiluvchan ipningsolkilanish masalalarini kursatish mumkin. Zanjirli Ko’priklarni xisoblashda solkilanish masalasi shunga olib keladi.
Bitta differentsial tenglamaga juda ko’p chegaraviy shartlar qo’yish mumkin, u holda ular har xil chegaraviy masalalarga olib keladi.
1-m i so l. Ushbu

ikkinchi tartibli differentsial tenglama berilgan bo’lsin. Bu yerda (1.2) chegaraviy
shartlarning quyidagi to’rt xilini ko’rsatish mumkin:
(5)
Chegaraviy masala yechimining mavjud va yagonaligini tekshirish koshi masalasinikiga nisbatan ancha murakkabdir. Chegaraviy masalaning yechimi mavjud bo’lmasligi, yoki yagona yechimga ega bo’lishi, yoxud cheksiz kup yechimga ega bo’lishi mumkin.

1.3 Chiziqli chegaraviy masala

Endi umumiy chegaraviy masalaning muhim xususiy holi bo’lgan chiziqli chegaraviy masalani ko’ramiz, bu holda (3) differentsial tenglama va (4) chegaraviy shartlar chiziqlidir.
Chiziqli n-tartibli differentsial tenglama qulaylik uchun,odatda, quyidagicha yoziladi:
(6)
bu yerda

bo’lib, f ( x ) , (x) (i = 0,n) funksiyalar ko’pincha berilgan [a, b] oralikda uzluksiz funksiyalar deb qaraladi.
Soddalik uchun (4) chegaraviy shartda [a, b] oraliqning = a va = b chetki nuqtalari kirgan deb qaraymiz. Agar chegaraviy shartlar quyidagi ko’rinishga ega bo’lsa
(7)
ular chiziqli deyiladi, bu yerda

va berilgan sonlar bo’lib, barcha uchun

shart bajarilishi kerak.
Chiziqli chegaraviy shartlar sifatida (5) shartlarni olish mumkin, chunki ularni

ko’rinishda yoza olamiz. Xaqiqatan ham, bu yerda

va x.k. deb olsak, 1-misoldagi shartlar kelib chiqadi.
Ushbu

davriylik shartini ham chiziqli chegaraviy shartlar deb qarash mumkin.
Agar [a, b] oralikda f(x) = 0 bo’lsa, differentsial tenglama bir jinsli deyiladi, aks holda u bir jinsli emas deyiladi; agar barcha bo’lsa, chegaraviy shartlar bir jinsli deyiladi, aks holda ular bir jinsli emas deyiladi; agar differensial tenglama va chegaraviy shartlar bir jinsli bo’lsa, chegaraviy masala bir jinsli deyiladi.
Bir jinsli masala har doim u(x)=0 trivial yechimga ega. Ammo ko’p hollarda bu masalaning har doim ham mavjud bo’lavermaydigan notrivial yechimi katta ahamiyatga ega. Shuning uchun ham L(u) = O differentsial tenglamaga yoki  chegaraviy shartlarga λ parametr kiritiladi va bu parametrni o’zgartirib, shunga erishiladiki, λ ning ayrim qiymatlarida chegaraviy masala yechimga ega bo’ladi. Parametrning bu qiymatlari masalaning xos sonlari, ularga mos keladigan notrivial yechimlar masalaning xos funksiyalari deyiladi.