Geometriyadan misol va masalalar
Ta’rif. Tekislikda qo‘zg‘almaydigan ikki nuqtagacha masofalarning yig‘indisi o‘zgarmas bo‘lgan nuqtalarning geometrik o‘rni ellips
Yüklə 0,85 Mb.
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Misol.
- Giperbola. Fokus deb ataladigan ikki nuqtagacha bo‘lgan masofalarining ayirmasi o‘zgarmas songa teng bo‘lgan nuqtalarning geometrik o‘rniga giperbola
- Giperbola uchun
| Ta’rif. Tekislikda qo‘zg‘almaydigan ikki nuqtagacha masofalarning yig‘indisi o‘zgarmas bo‘lgan nuqtalarning geometrik o‘rni ellips deyiladi.
Bizga qo‘zg‘almas ikkita nuqta berilgan bo‘lsin. Mana shu qo‘zg‘almas ikki nuqtagafokus deyiladi. Tekislikda ikkita F1 va F2 nuqta berilgan bo‘lsin. F1 va F2 nuqtalardan to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz va to‘g‘ri chiziqqa yo‘nalish berib uni absissa o‘qi deymiz. F1 va F2 nuqtalarning o‘rtasidan ordinata o‘qini o‘tkazamiz. 118 7.1.2-chizma |F1F2| = 2c ga teng bo‘lsin, bundan kelib chiqadiki F1(c;0), F2(-c; 0) bo‘ladi. Ellepsning ta’rifini qanoatlantiruvchi M(x; y) nuqta bo‘lsin. |F1M| + |F2M| = 2a bo‘ladi. |F1M| = V(x - c)2 + (y - 0)2, |F2M| = V(x + c)2 + (y - 0)2 ^ 7(x - c)2 + y2 + 7"(x + c)2 + y2 = 2a 7(x - c)2 + y2 = 2a - V(x + c)2 + y2 X2 - 2xc + c2 + y2 = = 4a2 - 4a^(x + c)2 + y2 + x2 + 2xc + c2 + y2 -2xc = 4a2 - 4a7(x + c)2 + y2 + 2xc 4a2 - 4a^(x + c)2 + y2 + 4xc = 0 a2 - a^(x + c)2 + y2 + xc = 0 a2 + xc = a^ (x + c)2 + y2 a4 + 2a2xc + x2c2 = a2(x2 + 2xc + c2 + y2) a4 + 2a2xc + x2c2 = a2x2 + 2a2xc + a2c2 + a2y2 a4 + x2c2 = a2x2 + a2c2 + a2y2 a4 + x2c2-a2x2-a2c2-a2y2 =0 a4 + x2c2-a2x2-a2c2-a2y2 =0 (a2 - c2)x2 + a2y2 = a2 (a2 - c2) a2 + b2 = c2 ^ b2 = a2 - c2 ^ b2x2 + a2y2 = a2b2 ^ 119 22 x2 y2 — + — = 1 а2 b'2 ekanligi kelib chiqadi. Fokuslar orasidagi masofani katta o‘qqa nisbatiga ekssеntrisitеt deyiladi. (7.2) 2С С s = тТ? ^ s = ~¿ (7.3) 2а а Ellipsning kichik o‘qiga parallel va uning markazidan а/s masofadan o‘tuvchi parallel to‘g‘ri chiziqlar ellipsning direktrisalari deyiladi. 2 с а а2 x~± s = ±~с/а = ±~с Misol. X2 + 4y2 = 4 tenglama ellipsni ifodalashini ko‘rsating va uning barcha xaraktеristikalarini toping. Yechish: Dastlab berilgan tenglamani ikkala tomonini 4 soniga bo‘lamiz: X2 y2 4 1 = bu yerdan berilgan tenglama yarim o‘qlari а = 2 va b = 1 bo‘lgan ellipsni ifodalashini ko‘ramiz. Unda с2 = а2 — b2 = 3 bo‘lgani uchun qaralayotgan ellipsning fokuslari F1 (-V3; 0) vа F2 (V3; 0) nuqtalarda joylashganligini ko‘ramiz. Bu natijalardan foydalanib, ellipsning ekssеntrisitеti va dirеktrisalarini topamiz: s=c Л; x=±a=JI.1=JI. a 2 s 2 2 4
,73 .73 r = a + sx = 2 + — x, r = a + sx = 2 + — x
Giperbola. Fokus deb ataladigan ikki nuqtagacha bo‘lgan masofalarining ayirmasi o‘zgarmas songa teng bo‘lgan nuqtalarning geometrik o‘rniga giperbola deyiladi. Fokuslar - F1,F2, ular orasidagi masofa |F1F2| = 2c. Fokuslar yotgan to‘g‘ri chiziqqa yo‘nalish berib absissa o‘qi deylik. Absissa o‘qini 2 ta fokusdan o‘tkazaylik. Fokuslarning o‘rtasidan absissa o‘qiga perpendikulyar qilib ordinata o‘qini o‘tkazaylik. |F1M| - |F2M| = 2a |F1M| = 7(x-c)2 + y2, |F2M| = 7(^ + c)2 + y2 7(x — c)2 + y2 - 7"(x + c)2 + y2 = 2a 7(x - c)2 + y2 = ±2a + ^(x + c)2 + y2 X2 - 2xc + c2 + y2 = = X2 + 2xc + c2 + y2 ± 4a^(x + c)2 + y2 + 4a2 ±4a^x2 + 2xc + c2 + y2 = 4a2 + 4xc a2x2 + 2a2xc + a2c2 + a2y2 = a4 + 2a2xc + x2c2 x2(a2 - c2) - a2 (a2 - c2) + a2y2 = 0 x2(a2 - c2) - a2y2 = a2 (a2 - c2) ^ c > 0 ^ c2 - a2 = h2 AMF1F2 ^ F1M-F2M = 2a ^ |F1M-F2M| < |F1F2| ^ 121 2а < 2с ^ а < с х2Ь2 - а2у2 = а2Ь2 ^ X2 у2 а2 Ь2 (7.4) ekanligi kelib chiqadi. Bu yerda 2а —haqiqiy o‘q, 2b — mavhum o‘q, 2с — fokuslar orasidagi masofa. Giperbolaning ekssentrisiteti deb, giperbola fokuslari orasidagi masofaning haqiqiy o‘qqa nisbatiga aytiladi. 2с с s = — ^ с2 — а2 = b2 ^ с > а ^ s > 1 2а а Giperbolaning mavhum o‘qiga parallel va uning markazidan 2 с а а2 X = - = = — s с/а с masofada yotuvchi ikki to‘g‘ri chiziqqa direktrisalari deyiladi. 7.2.2-chizma 22 X2 у2 —- — а2 b2 2 с а2 1 ^ d: X = ±- = ± — X2 а2 b2 2 —1 ^ у = ± — ^ — < а ^ а < с. сс 122 b У = +-х (75) a asimptota deyiladi. a = b bo‘lsa, tengyonli geperbola deyiladi. Fokal radiuslar. Ellips uchun %2 a2 У2 — ^ = 1 У2 ^ ^—=1 %2 a2 У2 = b2 (1—ï) ^ a2 — c2 = b2 ^ |MF1| = r1 = J(x — c)2 + y2 b2x2 (x — c)2 + b2 — a2
0 < c < a cc r1 = a x, r2 = a + —X ^ r1 = r2 = 2a aa Ellips yoki giperbola uchun fokal radiusi degani, uning biror nuqtasidan fokuslarigacha bo‘lgan masofalar. Giperbola uchun ’2 'У Í+1=Í-у2 = ь2(1+^ a2 ^FJ = r1 = ^(x — c)2 + y2 X2 — 2xc + c2 + ^2 + 1) 123 , „ b2x2 x2 — 2xc + c2 + b2 + — a2 (a2 — b2) a2 c2 b2 2,2 X2 —^^KC + ^2 +^¡2 b2 + a2b2 = c —x — a a \MF2\ = r2 = ^(x + c)2 + y2 = —x + a ^ c2 — a2 = b2 ^ cc — x — a = —x — a, aa c r2 = —x + a a (7.6) c < a < 0 bo‘ladi. Misol. Quyidagi kanonik tenglamasi bilan berilgan giperbolaning barcha xarakteristikalarini toping: x2 y2 Î6 — ~9 Bu giperbolaning absissasi x = 8, ordinatasi y > 0 bo‘lgan M nuqtasining fokal radiuslarini aniqlang. Yechish: Berilgan tenglamani (7.4) kanonik tenglama bilan taqqoslab, giperbolaning haqiqiy va mavhum yarim o‘qlari a = 4, b = 3 ekanligini ko‘ramiz.Bu holda c2 = a2 + b2 = 16 + 9 = 25 ^ c = 5 bo‘lgani uchun giperbolaning fokuslari F1(—5; 0) va F2(5; 0) nuqtalarda joylashganligini aniqlaymiz. Berilgan giperbolaning asimptotalari ,b ,3 , „ y - ±-x - ±-x - ±0,75 x, eksscntrisitcti s = c/a = 5/4 = 1,25, direktrisalarining tenglamasi esa x = ±a/s = ±4/1,25 = ±3,2 bo‘ladi. Endi giperbolaning berilgan M(8; 0) nuqtasining fokal radiuslarini topamiz. Bu nuqta giperbolaning o‘ng shoxida joylashgan va shu sababli (7.6) formulani " + " ishora bilan qaraymiz: r1 = a + sx = 4 + 1,25 • 8 = 14, 124 Т2 — —д + sx — —4 + 1,25'8 — 6 Parabola. Berilgan nuqtadan va berilgan to‘g‘ri chiziqdan bir xil uzoqlikda joylashgan nuqtalarning geometrik o‘rnigaparabola deyiladi. Ta’rifdan foydalanib, parabolaning kanonik tenglamasini keltirib chiqaraylik. Bizga F nuqta va I to‘g‘ri chiziq berilgan ekan. F nuqtadan o‘tib I to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar qilib Ox o‘qini olaylik. I to‘g‘ri chiziqqa parallel va F nuqta bilan I to‘g‘ri chiziqni o‘rtasidan Oy o‘qini o‘tkazaylik. Kanonik tenglamasini topmoqchi bo‘lgan parabola ustidan ixtiyoriy M(x;y) nuqta olaylik. F nuqtadan I to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa P bo‘lsin. U holda F nuqtaning koordinatalari F(^; 0) va I to‘g‘ri chiziqning tenglamasi x — — ^ bo‘ladi. F nuqtadan M nuqtagacha bo‘lgan masofa |FM| — J(x — “) + y2 bo‘ladi. M nuqtadan I to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa esa d — x + ^ bo‘ladi. 7.3.1-chizma — \Fd\ (X— P)2+y2 P Э P P 9 x + - ^ x2 — 2x^ + — + y2 — 125 CJ.7) 2 7 . o P . P2 . 7 = x2 + 2% - + — ^ y2 — xp = xp ^ y2 = 2px tenglamamiz parabola tenglamasi hisoblanadi. Misol. Ox o‘qi parabolaning simmetriya o‘qi bo‘lib, uning uchi koordinatalar boshida yotadi. Parabola uchidan fokusigacha bo‘lgan masofa 4 birlikka teng. Parabola va uning direktrisasi tenglamasini toping. Yechish: Dastlab, masala shartiga asosan, parabolaning p parametrini topamiz: |OF| = 4 ^ p/2 = 4 ^ p = 8. Unda, (7.7) formulaga asosan, parabola tenglamasini topamiz: y2 = 2px ^ y2 = 2 • 8x = 16%. Bu yerdan direktrisa tenglamasi x = —p/2 ^ x = —4 ekanligini ko‘ramiz. Shuni ta’kidlab o‘tish kerakki, y = ax2 + bx + c (a ^ 0) kvadrat uchhadning grafigi uchi koordinatalari b 4ac — b2 xo = — 7-, yo = —T~ 2a 4a bo‘lgan M0(x0; y0) nuqtada, simmetriya o‘qi esa Oy o‘qiga parallel va x = —b/2a tenglamaga ega bo‘lgan vertikal to‘g‘ri chiziqdan tashkil topgan paraboladan iboratdir. Agar a > 0 bo‘lsa, parabola yuqoriga, a < 0 bo‘lsa, pastga yo‘nalgan bo‘ladi. Yüklə 0,85 Mb. Dostları ilə paylaş:
|