Geometriyadan misol va masalalar

13.1.2. 1) x — y = 0, z = 0; 2) x + y = 0, z = 0. 13.1.3. 1) (6; —2; 3),


r = 7; 2) (—4; 0; 0), r = 4; 3) (1; —2; 3), r = 6; 4) (0; 0; 3), r = 4. 13.1.4. 13.1.5. /(x — a)m(y — h) + n(z — c) = 0. 13.1.6. 2x + y + +2z — 13 = 0. 13.1.7. x(x—x₀) + y(y — y₀) + z(z — z₀) = 0

(sfera). 13.1.8. x² + y² + z² + Æ,x = 0 (sfera). 13.1.9. (x — a)(x —


—%o) + (y — h)(y — yo) + (z — c)(z — Zo) = 0. 13.1.10. x² + y² +


+z²— 10z — 9 = 0. 13.1.11. x² + y² + z² + 22x + 16y — 6z = 0.

13.1.12. x² + y² + z² + 27x + 21y ———z + 10 = 0. 13.1.13. 1)


kesib o‘tadi; 2)(— 7;—⁴;7)

’ 3 3 37


nuqtada urinadi; 3) kesib o‘tmaydi.

14. 
    6x + 2y + 3z — 55 = 0. 13.1.16. (x₀ — a)(x — x₀) +
    

+ ⁽Уо — h⁾⁽y — Уо) + ⁽Z0 — c⁾⁽z — Z0) = 0. 13.1.17. xxo + yy0 +


+ZZ0 — Ʋ — 0.


13.1.18.


tf²(X²+ß² + C²) —£² = 0.


(■*;—


~; — ^-) urinish nuqtasi. 13.1.19.


x² + y² + z² — 2x +


+4y —4 = 0 va x² + y² + z² — —x + —y — —z — ¹⁸⁸ = 0.

65 65 65 65

20. 
    x² + y² + (z + 1)² = 12 va x² + y² + (z + 4)² = 27.
    

21. 
    ( ³¹ ;—;—). 13.1.22.(/² + m² + n²)Ʋ =
    

\12 12 127 ^{v 7}

a - x₀

^b^- y 0	2 +	^b^- Уо	^c^-^z 0	2 +	^c^-^z 0	a -x
l	m		m	n		n	l

2 2 2 2 x y ^- y 1 y ^- yi x x z z z / 2 x1 z1 n1 13.1.23 x2 y -y2 l2 m2 + + + m1 m1 n1 l1 y ^- У2	z-z	2	z-z	x-x
		+
m2	n2		^П2	^l 2

x


2


+


279

13.1.24. 1) 3; 2) 2; 3) 1; 4) 3; 5) 3; 6) 2; 7) 3; 8) 2; 9) 1. 13.1.25. a - xx

^b^- yi

c — zy

2

2

^21

n2

y ^- yi

z-z

z-z

x-x

x-x

y ^- yi

x - Xj

y ^- yi

z - zx

= R^2

+

I

+

I

I

[

m

n

n

m

m

n

J

2 13.1.26 ^b^- yi	c — Z|	2 +	c — Z|	a -Xj	2 +	a - Xj	^b^-yi
m	n		n	l		I	m

> R² (l² + m² + n²) .

27. 
    ^(x - a) + B(y - b) + C(z - c) + R^A² + B² + C² = 0.
    
28. 
    10x + 15y + 6z - 90 = 0. 13.1.30. a².4² + b²B² + c²C² =
    

= D². 13.1.31. a²,!² + b²B² + c²C² > D². 13.1.32. U² + y² +

+z²)² = a²x² + b²y² + c²z². 13.1.34. ('-^J'^A' ^:''^B‘ CD}.

I A A A J


2 2 2 i

13.1.36. Berilgan ellipsoidning — + +^ = — ellipsoid bilan

a b c d


kesishish chizig‘i. 13.1.37. %² + y² = a² ± 2az - ikkita aylanma paraboloid. 13.1.38. — + — + — = 1. 13.1.39. — + — + — = 1.

^r 25 9 16 9 16 36

13.1.40. — + — + — = 1.

12 9 7,2

14.1.1. 1) Ikkita tekislik: 2% + y = 0; y + 2z - 2 = 0; 2) ikkita

tekislik: x - 2y + 3z + 2 = 0; x - 2y + 3z - 3 = 03) ikkita

tekislik:* + 2y + 3z + 4 = 0; 3x - 2y + z - 6 = 014.1.2. 1) ikkita

tekislik: x + y + z + 1 = 0; 5% + 4y + 3z + 2 = 0;2) ikkita tekislik: 2x - 7y + z + 1 = 0; 2x - 7y + z + 3 = 0;) ustma - ust tushgan qo‘sh tekislik: (4% + 3y + 10z + 7)² = 0. 14.1.3. 1) Ellipsoid; 2) bir pallali giperboloid; 3) ikki pallali giperboloid. 14.1.4. 1)konus; 2) elliptik paraboloid; 3) giperbolik paraboloid. 14.1.5. 1) elliptik silindr; 2) giperbolik silindr; 3) parabolik silindr. 14.1.6. 1) giperbolik

paraboloid; 2) bir pallali giperboloid. 14.1.7. 1) Uchi (-; 1;¹) da 22

bo‘lgan Z = 2X² - 4E²giperbolik paraboloid ; 3)uchi (-1; -1; -1) nuqtada bo‘lgan konus X² + 2E² - 3Z² = 0.14.1.8. 1) bir juft

tekislik: x + y ± z = 0 2) Parabolik silindr: Z = 5Z² 3) Z = 2X²

y- y2 7-

parabolik silindr. 14.1.9. 1) z² - 2x² = 12) (3; -1; 1) —+ —+ —=¹ ellipsoid; 3) x² - y² + z² = 0konus. 14.1.10. 1) ikkita tekislik: x -


280

y ± (z — 1)^2 = 0; 2) markazi (5; 2; 3) nuqtada bo‘lgan bir pallali X^2 Y^2 Z^2 giperboloid - + — - — =^1; 3) giperbolik paraboloid: x^2 — y^2 = —2z. 14.1.11. 1) parabolik silindr: x^2 — 10y = 0. 2) x^2 + z^2 = 1 doiraviy silindr; 3) (x-1)^2+fy+-^ + z^2 =^16 sfera. 14.1.12. 1) (x-1)^2 +fy+-^ =^16 I 3 J 9 r 3 J 9 doiraviy silindr; 2) X^2 + K^2—Z^2 = 0 doiraviy konus. 3) (2% — 1) ± (y — 2) == 0 ikkita tekislik. 14.1.13. Markazi ^f-^, -^-;^-^ nuqtadagi bir ^ 3 3 3 J pallali giperboloid

-^-T + -^Y-r --^-T = 1 yangi sistema birlik f 1 ^ f 1 ^ f 1 ^ L/3 J L/6 J L/2 J

vektorlarining koordinatalari: q' = ^f-U; —U;-U[, e2' = ^f-^<^<^r, IV3 V3 V3 J IV6 V6 V6 J q' = J-^;0;-M. 14.1.14. —— + — = i elliptik silindr, simmetriya o‘qi * ^f-' ij ^1 V J tenglamalari x = t, y = 2 + 2t, z = —1 — t, O'X o‘qining vektori q'=I--^;-^;-^l, OT o‘qining vektori e2'=!-^;0;-^l. 14.1.15. V3 V3 V3

412 V2 J

Parabolik silindr: 6x^2 2V3y = 0. 14.1.16. Ikkita parallel tekislik: 2x — 3y + z = —1 ± ±V6. 14.1.17. Markazi (1; 2;—1) nuqtada bo‘lgan ellipsoid:

X^2 Y^2 Z^2 f 12 21 , f 2 121 2 1 2 ’ ^e1 ~ 13’3’3 J ’ ~ [ 3^;3^; 3 J ’ 3

14.1.18. Markazi f 0,1, - -I nuqtada bo‘lgan ikki pallali








• k i -4 X² Y² Z² f 1 1 j . f 11 J

giperboloid: -J- + ~ = ^-1, q = J—;- —;0k ey = J—; —;0k

5 15 25

e₃' = {0;0;1}. 14.1.19. Uchi (1; 1; —1) nuqta bo‘lgan x² + y² — 2z² = 0


aylanma konus, (2; 1; —2) konus o‘qiga parallel vektor. 14.1.20.

+ -Y- = 2Z elliptik paraboloid. Paraboloid tomoniga yo‘nalgan -4- 4-


281



o‘qining birlik vektori j-1,^=,0}, (1; 1;-2), (1; 1; 1) paraboloid


o‘qlariga perpendikulyar kesimlarning bosh o‘qlariga parallel

vektorlar, paraboloid uchi (-—,- 19,1'1. 14.1.21. —+— = 1 elliptik

’ ^ 40 40 2 ) 2 1

silindr, (0; 1; 0) silindr o‘qidagi nuqta: {1; 0; 1}, silindr o‘qidagi
parallel vektor: {1; 1; -1}

va {-1; 2; 1} silindr o‘qiga perpendikulyar kesimlarining bosh

_t , • .. . , . , .J 1

o qlariga parallel vektorlar. 14.1.22. Markazi o' —


2 2 1

-,-1 nuqtada


. ⁷ -9- = 1 bir pallali giperboloid, o‘qlarning birlik
6 2

< = U+ > |, *₂. = ; 1 2 1 }, e_s. = /_L_;o, ' j.

I V3 V3 V3 J b/6 y/6 V6 J X/2 V2 J

+ y² = 1 doiraviy silindr, o‘qining tenglamalari: 5x —

—2y — z + 5 = 0; x — y + z + 1 = 0. 14.1.24. x² — y² — 1

giperbolik silindr, markazlar o‘qining tenglamalari: x + 2y — 5z +
+ 1 = 0; x — y + z + 1 = 0. Bosh kesim haqiqiy o‘qining yo‘nalishi,

e ' = j-1 ; 0;J₂ j, mavhum o ‘qining yo‘nalishi: e₂ ' = ^ — ;

X 7 = 2Z giperbolik paraboloid. O'XZ

7TÏ4 TH
kesishidan hosil bo‘lgan parabola o‘qining
{1; 2; —3}vektor aniqlaydi. O'Xo‘qining

{4; 1; 2}vektor bilan, O'Z o‘qining musbat yo‘nalishi {—1; 2; 1}vektor

bilan aniqlanadi. O'


bo‘lgan +—

3


vektorlari


14.1.23. x²


1 1 . 1

3' V3\/3 J


. 14.1.25.


tekisligi bilan sirt


musbat yo‘nalishini

musbat yo‘nalishi


^f-6^,-H3,^l nuqtada. 14.1.26. Uchi

^ 392 196 392) ⁿ


C 183 499 509> . . . ....

^4, -^4 ^2 ) nuqtada bo lgan giperbolik paraboloid:


7X¹ -27¹ ^j = 0. O'X o‘qining yo‘nalishi {2; 4; 1}, O'X o‘qining


yo‘nalishini {1;—1; 2}vektor aniqlaydi. {—3; 1; 2}vektor paraboloid


282



o‘qi bo‘ylab kichik parametrli bosh kesim o‘qi tomonga yo‘nalgan (O'XZtekislik). 14.1.27. 1) Simmetriya o‘qlari aniqlanadi, hosil bo‘lgan silindrlar avvalgilarga gomotetik bo‘ladi; 2) simmetriya o‘qi o‘ziga parallel siljiydi, hosil bo‘lgan silindr avvalgiga o‘xshash bo‘ladi. 14.1.28.1) Parametri, botiqlik yo‘nalishi va yasovchilar yo‘nalishi o‘zgarmagan holda silindrning ko‘chishi ro‘y beradi; 2) yasovchilar yo‘nalishi o‘zgaradi, parameter o‘zgaradi. 14.1.29. 2 = ±1; ^ = ±V2 parametrlar I₃ = 0, K₄ = 0,I1² = 4I₂ shartlardan aniqlanadi. 14.1.30. ab + be + ca = 0.


283



1^;()¥1)А1.А\П ,СА\ АВАВХУОТЬАИ ИО‘¥ХАТХ

1. 
   Шгтапоу Л.Уа. Лпа1Шк деоте1пуа. О‘/Ьек1в1оп 1ау1ази1'1ап тййу jamiyati пазйпуой ТозйкепГ 2008 у.
   
2. 
   Вахуа1оу 8.У., Мобепоу Р.8., Рагхотепко Л.8. Лпа1Шк деоте1пуабап таза1а1аг 1о‘р1атк Т.Пшуегзйек 586 Ь, 2005 у.
   
3. 
   Алексанров А.Д. Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М., Наука, 1990 г.
   
4. 
   Погорелов А.В. Аналитик геометрия. Т., Укитувчи, 1983 й.
   
5. 
   Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1.М., Наука, 1983 г.
   
6. 
   Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналическая геометрия . М. Наука, 1981 г.
   
7. 
   Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. М. Наука, 1976 г.
   
8. 
   Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М., Наука.1968 г.
   
9. 
   Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М., Гостехиздат, 1962 г.
   
10. 
    ^ори-Ниёзий Т.Н., Аналитик геометрия асосий курси. Фан. 1971 й
    
11. 
    Д.В.Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии. Москва., Наука, 1980 г
    

284