Geometriyadan misol va masalalar

Konus kesimlari. Qutb koordinatalardagi tenglamalar.

Doiraviy konusni uning uchidan o‘tmaydigan tekislik bilan kesish natijasida hosil qilingan egri chiziq konus kesimi deyiladi (8.1.7- chizma). Konus kesimlari qator ajoyib xossalarga ega. Ularning biri quyidagidan iborat.

Aylanadan boshqa har qanday konus kesimi shunday nuqtalarning geometrik o‘rnidan iboratki, ularning berilgan F nuqta va berilgan Ô to‘g‘ri chiziqqacha masofalarning nisbati o‘zgarmasdir.

F nuqta konus kesimining fokusi, Ô to‘g‘ri chiziq esa direktrisasi deyiladi. Bu xossani isbot qilaylik. Aytaylik, a tekislikning konus bilan kesishgan egri chizig‘i y bo‘lsin(8.1.8 - chizma).

Konus ichiga о tekislikka urinadigan sfera chizaylik; sferaning tekislikka urinish nuqtasini F orqali belgilaylik. ш bilan sferaning konusga urinish aylanasini belgilaylik. y egri chiziqda ixtiyoriy P nuqta olamiz. Bu P nuqta orqali konusning yasovchisini o‘tkazib, uning ш tekislik bilan kesishgan nuqtasini В orqali belgilaymiz. Nihoyat, P nuqtadan а, ш tekisliklarning kesishgan to‘g‘ri chizig‘i Ô ga perpendikulyar tushiramiz.





8.1.7-chizma


8.1.8-chizma


Ana shu y chiziqning F nuqta bilan Ô to‘g‘ri chiziqqa nisbatan yuqorida aytilgan xossaga egaligini isbot qilish talab qilinadi. Haqiqatdan ham, FP = BP, chunki bu kesmalar sferaga bitta nuqtadan o‘tkazilgan urinmalardir. So‘ngra h(P) bilan P nuqtadan ш tekislikkacha masofani belgilasak, u holda:


141



h(P) h(P)

AP = , BP = .

sin a sinp

bunda a bilan m, 8 tekisliklar orasidagi burchak belgilangan.

Bulardan ushbu tengliklarni hosil qilamiz:

AP AP sinft

FP ⁼ BP ⁼ Sin^

AP

ya ni ■ nisbat P nuqtaga bog liq emas degan xulosaga kelamiz. FP

Aytganimiz isbot qilindi.

Konus kesimidagi nuqtaning fokus va direktrisagacha masofalarining nisbati A ning qiymatiga qarab egri chiziq ellips (A < 1), parabola (A =1), giperbola (A > 1) deb ataladi. A son konus kesimining ekssentrisiteti deyiladi.

F - konus kesimining fokusi, 8 - uning direktrisasi bo‘lsin (8.1.9- chizma). Ellips bilan parabola (A < 1) holi uchun egri chiziqning hamma nuqtalari direktrisadan bir tarafda joylashadi, chunonchi: F fokus qayerdan joy olsa, bu nuqtalar ham o‘sha yerdan joy oladi.





8.1.10-chizma