Geometriyadan misol va masalalar

Reja:

1. 
   Qutb koordinatalar. Konus kesimlari.
   
2. 
   Qutb koordinatalardagi tenglamalar.
   

137

3. 
   Konus kesimlarining dekart koordinatalardagi kanonik ko‘rinishli tenglamalari.
   

Tayanch iboralar: qutb, ellips, gipеrbоlа, pаrаbоlа, diаmеtr, vаtаr, fokus, pаrаmеtr, direktrisa, аsimptоtа, ekssеntrisitеt.

1. 
   Qutb koordinatalar.
   

Qutb koordinatalar sistemasining asosiy elementlari va undan chiquvchi nur, ya’ni qutb O va qutb o‘qi Ox dir (8.1.1- chizma).

M nuqtaning tekislikdagi o‘rni bu nuqtaning qutbdan bo‘lgan masofasi - radius - vektori p va radius - vektorning qutb o‘qi bilan tashkil etgan qutb burchgi ^ bilan aniqlanadi.





8.1.1-chizma


8.1.2-chizma


Ikki koordinata (p, ^) birgina nuqtani aniqlaydi. 8.1.2 - chizmada A nuqta p = 2, ^ = ^ koordinatalari bo‘yicha yasalgan.

Agar biz tekislikdagi nuqtalar va qo‘sh koordinatalar (p, ^) orasidagi o‘zaro qiymatli moslikni o‘rnatmoqchi bo‘lsak, u holda p ga faqat musbat qiymatlar, ф ga esa 0 bilan 2n orasidagi qiymatlar berish kifoya ( nurni soat strelkasiga qarshi aylantirganda musbat burchaklar hosil bo‘ladi). Agar bu cheklashlarga rioya qilinmasa, u holda birgina nuqtaning o‘zi (p; ф + 2яп) yoki (-p; ^(2n + 1)я) koordinatalar bilan aniqlanadi, n - ixtiyoriy butun son. Qutb koordinatalar sistemasida berilgan ikkita nuqta ^(p₁,^₁) va #(p₂,^₂) orasidagi masofa

ЛВ = Vp2 + p2 ^{- 2}pip2 • cos(<02 ^-

i) (8.¹)

formula bilan hisoblanadi.


138








O (Pi

3. 
   chizma
   

Dekart koordinatalari bilan ish ko‘rganimiz singari, egri chiziqning qutb koordinatalaridagi tenglamasi haqida gapirish mumkin, chunonchi, agar egri chiziqdagi har bir nuqtaning qutb koordinatalari ushbu

F⁽p; p) = 0 tenglamani qanoatlantirsa, bu tenglama egri chiziqning qutb koordinatalardagi tenglamasi deb ataladi. Aksincha, p, ^ sonlarning bu tenglamani qanoatlantiradigan istalgan jufti egri chiziq nuqtalaridan birining qutb koordinatalari bo‘ladi.

Misol tariqasida qutbdan o‘tgan va markazi qutb o‘qidagi R
radiusli aylananing qutb koordinatalaridagi tenglamasini tuzaylik.
To‘g‘ri burchakli OAA₀ uchburchakdan OA = OA₀cosp ni hosil
qilamiz (8.1.5- chizma). Bu yerdan aylana tenglamasini hosil qilamiz:
p = 2Rcosy.

3.