Geometriyadan misol va masalalar

Mustaqil yechish uchun topshiriqlar.

1. 
   Quyidagi gipеrbоlаlаrning tеnglаmаlаri sodda shaklga kcltirilsin:
   

1. 
   9x² - 25y² - 18% - 100y - 316 = 0;
   
2. 
   5x² - 6y² + 10% - 12y -31 = 0;
   
3. 
   x² - 4y² + 6x + 5 = 0.
   

Markazlarining koordinatalari va o‘qlari topilsin.

2. 
   Quyidagi tenglamalar bilan qanday egri chiziqlar berilganligi tekshirilsin:
   

1. 
   x² - 2xy + 2/ - 4x - 6y + 3 = 0;
   
2. 
   x² - 2xy - 2/ - 4x - 6y + 3 = 0;
   
3. 
   x² - 2xy + y² - 4x - 6y + 3 = 0;
   
4. 
   x² - 2xy + 2y² - 4x - 6y + 29 = 0;
   
5. 
   x² - 2xy - 2y² - 4% - 6y -13 = 0.
   

3. 
   Quyidagi egri chiziqlarning turlari aniqlansin:
   

1. 
   x² + 6xy + y² + 6x + 2y - 1 = 0;
   
2. 
   3x² - 2xy + 3y² + 4x + 4y - 4 = 0;
   
3. 
   x² - 4xy + 3y² + 2x - 2y = 0;
   
4. 
   y² + 5xy - 14x² = 0;
   
5. 
   x² - xy - y² - x - y = 0.
   

4. 
   Berilgan tenglamalarning chap tomonlarini ko‘paytuvchilarga ajratishdan foydalanib, tenglamalarning geometrik ma’nosi ko‘rsatilsin:
   

1. 
   xy - bx - ay + ab = 0;
   
2. 
   x² - 2xy + 5x = 0;
   
3. 
   x² - 4xy + 4y² = 0;
   
4. 
   9x² + 30xy + 25y² = 0;
   
5. 
   4x² - 12xy + 9y² -25 = 0.
   

5. 
   y² - xy - 5x + 7y + 10 = 0 tenglamaning ikki (qo‘sh) to‘g‘ri chiziqni ifodalashi tekshirilsin va bu to‘g‘ri chiziqlardan har birining tenglamasi topilsin.
   

187

6. 
   Quyidagi tenglama bilan berilgan ikkita to‘g‘ri chiziqdan har birining tenglamasi topilsin:
   

1. 
   21x2 + xy — 10y² = 0;
   
2. 
   x² + 2xy + y² + 2x + 2y — 4 = 0;
   
3. 
   y² — 4xy — 5y² + 5x — y = 0;
   
4. 
   4x² — 4xy + y² + 12x — 6y + 9 = 0.
   

7. 
   Egri chiziqlar tekshirilsin:
   

1. 
   2x² + 3xy — 5y² = 0;
   
2. 
   x² + 4xy + 4y² = 0;
   
3. 
   10x² — 7xy + y² = 0;
   
4. 
   5x² — 4xy + y² = 0.
   

8. 
   Invariantlardan foydalanib, quyidagi egri chiziq tenglamalari sodda shaklga keltirilsin:
   

1. 
   x² + 2xy — y² + 8x + 4y — 8 = 0;
   
2. 
   7x² — 24xy — 38x + 24y + 175 = 0;
   
3. 
   5x² + 8xy + 5y² — 18x — 18y + 9 = 0;
   
4. 
   5x² + 12xy — 22x — 12y — 19 = 0;
   
5. 
   6xy + 8y² — 12x — 26y + 11 = 0.
   

Bu egri chiziqlarning hammasi to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasiga nisbatan berilgan.

9. 
   Invariantlardan foydalanib, quyidagi parabolalarning tenglamalari soddalashtirilsin:
   

1. 
   x² — 2xy + y² — 10x — 6y + 25 = 0;
   
2. 
   4x² — 4xy + y² — 2x — 14y + 7 = 0;
   
3. 
   x² — 2xy + y² — x — 2y + 3 = 0;
   
4. 
   4x² — 4xy + y² — x — 2 = 0.
   

^ = | bo‘lgan hol uchun.

10. 
    Quyidagi egri chiziqlarning tenglamalari soddalashtirilsin:
    

1. 
   x² — 3xy + y² + 1 = 0, m = 60⁰;
   
2. 
   2x² + 2y2 — 2x — 6y + 1 = 0, m = 60⁰;
   
3. 
   4x² — 4xy + y² — 4x — 4y + 7 = 0, m = 120⁰.
   

188

11. 
    Invariantlardan foydalanib, 8y² + 6xy — 12% — 26y + 11 = = 0 giperbolaning asimptotalariga nisbatan tenglamasi yozilsin. m = 90⁰.
    
12. 
    To‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasiga nisbatan quyidagi tenglamalar bilan berilgan giperbolalarning asimptotalariga nisbatan yozilgan tenglamasi topilsin:
    

1. 
   2x² + 3xy — 2y² — 8x — 11y = 0;
   
2. 
   4x² + 2xy — y² + 6x + 2y + 3 = 0;
   
3. 
   y² — 2xy — 4x — 2y — 2 = 0.
   

13. 
    Biror to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasiga nisbatan egri chiziq 5x² + 2xy — 22x — 12y — 19 = 0 tenglama bilan ifodalanadi. Bu egri chiziqning o‘z uchiga nisbatan tenglamasi topilsin.
    
14. 
    Quyidagi tenglamalarning har biri ellipsni ifodalasa, uning markazi bo‘lgan С nuqtaning koordinatasi, yarim o‘qi, ekssentrisiteti va direktrisasi tenglamalarini tuzing:
    

1. 
   5x² + 9y² — 30% + 18y + 9 = 0;
   
2. 
   16x² + 25y² + 32% — 100y — 284 = 0;
   
3. 
   4x² + 3y² — 8x + 12y — 32 = 0.
   

15. 
    Quyidagi tenglamalar giperbola hosil qilishini tekshirib va
    

uning markazi bo‘lgan C nuqtaning koordinatasini, yarim o‘qlarini, ekssentrisitetini, asimptota va direktrisa tenglamalarini tuzing:

1. 
   16x² — 9y² — 64% — 54y — 161 = 0;
   
2. 
   9x² — 16y² + 90% + 32y — 367 = 0;
   
3. 
   16x² — 9y² — 64% — 18y + 199 = 0.
   

16. 
    Quyidagi chiziqlardan qaysilari: 1) yagona markazga; 2) ko‘p markazlarga; 3) markazga ega emasligini aniqlang.
    

1. 
   3x² — 4xy — 2y² + 3x — 12y — 7 = 0;
   
2. 
   4x² + 5xy + 3y² — x + 9y — 12 = 0;
   
3. 
   4x² — 4xy + y² — 6x + 8y + 13 = 0;
   
4. 
   4x² — 4xy + y² — 12% + 6y — 11 = 0;
   
5. 
   x² — 2xy + 4y² + 5% — 7y + 12 = 0;
   
6. 
   x² — 2xy + y² — 6x + 6y — 3 = 0;
   

189

7. 
   x² — 20ху + 25у² — 14% + 2y — 15 = 0;
   
8. 
   4x² — 6ху — 9у² + 3x — 7у + 12 = 0.
   

17. 
    Quyidagi berilgan chiziqlar markazga ega bo‘lsa, ularning markaziy nuqtalarini toping:
    

1. 
   3x² + 5ху + у² — 8% — 11у — 7 = 0;
   
2. 
   5x² + 4ху + 2у² + 20% + 20у — 18 = 0;
   
3. 
   9х² — 4ху — 7у² — 12 = 0;
   
4. 
   2х² — 6ху + 5у² + 22х — 36у + 11 = 0.
   

18. 
    Quyidagi har bir chiziqning ko‘p markazli bo‘lishini tekshirib, ularning har biri uchun geometrik markazini aniqlaydigan tenglamasini tuzing:
    

1. 
   x² — 6ху + 9у² — 12% + 36у + 20 = 0;
   
2. 
   4x² + 4ху + у² — 8х — 4у — 21 = 0;
   
3. 
   25х² — 10ху + у² + 40% — 8у + 7 = 0.
   

19. 
    Quyidagi tenglamalar markaziy chiziqni ifodalashini tekshirib, ularning har birini koordinata boshiga ko‘chiruvchi tenglamasini tuzing:
    

1. 
   3x² — 6ху + 2у² — 4x + 2у + 1 = 0;
   
2. 
   6x² + 4ху + у² + 4x — 2у + 2 = 0;
   
3. 
   4x² + 6ху + у² — 10% — 10 = 0;
   
4. 
   4х² + 2ху + 6у² + 6х — 10у + 9 = 0.
   

20. 
    т va п ning qanday qiymatlarida
    

m%² + 12ху + 9у² + 4х + ну — 13 = 0

tenglama quyidagilarni aniqlaydi:

1. 
   markaziy chiziqni;
   
2. 
   markazsiz chiziqni;
   
3. 
   ko‘p markazli chiziqlarni.
   

21. 
    Parallel ko‘chirish yo‘li bilan quyidagi tenglamalarning har birining turini aniqlab, sodda holga keltiring. Qanday geometrik shaklni ifodalashini toping. Eski va yangi koordinatalar sistemasida grafigini chizing.
    

1. 
   4x² + 9у² — 40% + 36у + 100 = 0;
   

190

2. 
   9x² — 16y² — 54% — 64y — 127 = 0;
   
3. 
   9x² + 4y² + 18% — 8y + 49 = 0;
   

22. 
    Quyidagi berilgan tenglamalarning har birini eng oddiy shaklga keltirib, ularning turini, qanday geometrik shaklni tasvirlashini, grafiklarning eski va yangi koordinata o‘qlariga nisbatan joylashishini aniqlang:
    

1. 
   32x² + 52xy — 7y² + 180 = 0;
   
2. 
   5x² — 6xy + 5y² — 32 = 0;
   
3. 
   17x² — 12xy + 8y² = 0;
   
4. 
   5x² + 24xy — 5y² = 0;
   
5. 
   5x² — 6xy + 5y² + 8 = 0.
   

23. 
    Quyidagi berilgan tenglamalarning har birini eng oddiy shaklga keltirib, ularning turini, qanday geometrik shaklni tasvirlashini, grafiklarning eski va yangi koordinata o‘qlariga nisbatan joylashishini aniqlang:
    

1. 
   14x² + 24xy + 21y² — 4x + 18y — 139 = 0;
   
2. 
   11x² — 20xy — 4y² — 20% — 8y + 1 = 0;
   
3. 
   7x² + 60xy + 32y² — 14% — 60y + 7 = 0;
   
4. 
   50x² — 8xy + 35y² + 100% — 8y + 67 = 0;
   

24. 
    Quyidagi tenglamalarni koordinatalar sistemasini almashtirmasdan, har biri ellipsni ifodalashini va uning yarim o‘qlardagi qiymatlarini toping:
    

1. 
   41x² + 24xy + 9y² + 24% + 18y — 36 = 0;
   
2. 
   8x² + 4xy + 5y² + 16% + 4y — 28 + 9 = 0;
   
3. 
   13x² + 18xy + 37y² — 26% — 18y + 3 = 0;
   
4. 
   13x² + 10xy + 13y² + 46% + 62y + 13 = 0.
   

25. 
    Koordinatalar sistemasini almashtirmasdan quyidagi tenglamalar bitta nuqtani ifodalashini isbotlang.
    

1. 
   5x² — 6xy + 2y² — 2x + 2 = 0;
   
2. 
   x² + 2xy + 2y² + 6y + 9 = 0;
   
3. 
   5x² + 4xy + y² — 6x — 2y + 2 = 0;
   
4. 
   x² — 6xy + 10y² + 10% — 32y + 26 = 0.
   

191

26. 
    Koordinatalar sistemasini almashtirmasdan, har biri giperbolani ifodalasa, uning yarim o‘qlarining qiymatini toping:
    

1. 
   4x² + 24xy + 11y² + 64% + 42y + 51 = 0;
   
2. 
   12x² + 26xy + 12y² — 52% — 48y + 73 = 0;
   
3. 
   3x² + 4xy — 12% + 16 = 0;
   
4. 
   x² — 6xy — 7y² + 10% — 30y + 23 = 0.
   

27. 
    Koordinatalar sistemasini almashtirmasdan, quyidagi tenglamalarning har biri kesishgan to‘g‘ri chiziqlar juftligini (degenerat giperbola) belgilashini aniqlang va ularning tenglamalarini toping:
    

1. 
   3x² + 4xy + y² — 2x — 1 = 0;
   
2. 
   3x² — 6xy + 8y² — 4y — 4 = 0;
   
3. 
   x² — 4xy + 3y² = 0;
   
4. 
   x² + 4xy + 3y² — 6x — 12y + 9 = 0.
   

28. 
    Quyidagi tenglamalarning har biri parabolik ekanligini aniqlang; ularning har birini eng oddiy shaklga keltiring; ular qanday geometrik tasvirlarni belgilashlarini aniqlang:
    

1. 
   9x² + 24xy + 16y² — 18% + 226y + 209 = 0;
   
2. 
   x² — 2xy + y² — 12% + 12y — 14 = 0;
   
3. 
   4x² + 12xy + 9y² — 4x — 6y + 1 = 0.
   

29. 
    Koordinatalar sistemasini almashtirmasdan, quyidagi tenglamalarning har biri parabolani aniqlaganligini aniqlang va ushbu parabola parametrini toping:
    

1. 
   9x² + 24xy + 16y² — 120% + 90y = 0;
   
2. 
   9x² — 24xy + 16y² — 54% — 178y + 181 = 0;
   
3. 
   x² — 2xy + y² + 6x — 14y + 29 = 0;
   
4. 
   9x² — 6xy + y² — 50% + 50y — 275 = 0.
   

30. 
    Koordinatalar sistemasini almashtirmasdan, quyidagi tenglamalarning har biri bir juft parallel to‘g‘ri chiziqni belgilashini aniqlang va ularning tenglamalarini toping:
    

1. 
   4x² + 4xy + y² — 12% — 6y + 5 = 0;
   
2. 
   4x² — 12xy + 9y² + 20% — 30y — 11 = 0;
   
3. 
   25x² — 10xy + y² + 10% — 2y — 15 = 0.
   

192

11.