Geometriyadan misol va masalalar

Affin almashtirishlar.


Endi n o‘lchamli affin fazodagi almashtirishlar bilan tanishamiz.


A_n vektor fazoda ikki В = (0,e1,e₂


e_n) va В' = (о',е',е'₂,


ё£)


reper berilgan bo‘lsin. Bu reperlar yordamida A_n ning nuqtalari orasida


shunday f moslik o‘rnatamizki, ixtiyoriy M e A_n nuqta В reperda qanday koordinatalarga ega bo‘lsa, uning obrazi M' = f(M) nuqta В' reperda xuddi shunday koordinatalarga ega bo‘lsin, ravshanki, bu moslik o‘zaro bir qiymatli bo‘lib, A_n ni o‘zini - o‘ziga o‘tkazadi. Demak, f biror almashtirishdir.

Ta’rif. Yuqoridagicha aniqlangan f almashtirish A_n ni affin almashtirish deb ataladi.


Bu ta’rifdan ko‘rinadiki, affin almashtirish bir juft affin reperlarning berilishi bilan to‘la aniqlanadi.

Endi affin almashtirishning ba’zi xossalari bilan tanishamiz.

1⁰. f affin almashtirishda C e A_n vektor shu fazoning biror f(C) = a' yoki b vektorga teng vektoriga almashadi, ci = MN desak, M, N nuqtalarning obrazlari f(M)=M', f(N)=N' bo‘lib, bu nuqtalar ham A_n ga tegishli bo‘lgani uchun ularga mos kelgan a' vektor f (ci) bo‘ladi. Xususiy holda nol vektor yana nol vektorga almashadi.

2⁰. f affin almashtirishda ci vektorning koordinatalari В da qanday bo‘lsa, unga mos kelgan c' vektorning ham koordinatalari В' da xuddi shu sonlardan iborat bo‘ladi. Bu xossa f ning ta’rifi va 1⁰ dan bevosita kelib chiqadi.

3⁰. f affin almashtirishda ikki vektorning yig‘indisiga mos kelgan vektor qo‘shiluvchi vektorlarga mos kelgan vektorlar yig‘indisidan iborat, ya’ni ci + b = c ^ f(c) = f(ci) + f(b).

Bu xossaning isboti koordinatalari bilan berilgan vektorlarni qo‘shish qoidasi va f ning ta’rifidan kelib chiqadi.

4⁰. kci vektorga mos kelgan vektor kf(ci) = kc^f vektordir.

Bu ikki 3⁰,4⁰ — xossadan f almashtirishda


232



A1C1 + A2C2+.... +A_kC_k vektorga A₁a^f₁ + A₂a₂+... +A_ka'_k

vektorning mos kelishi kelib chiqadi, ya’ni f almashtirish natijasida vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi saqlanadi. Demak, chiziqli erkli vektorga yana chiziqli erkli vektorlar mos keladi. Bu xossalarni va ikki affin fazoning izomorfligi ta’rifini e’tiborga olsak, affin almashtirishning quyidagi ikkinchi ta’rifi kelib chiqadi.