Geometriyadan misol va masalalar
Yüklə 0,85 Mb.
|
| K4
h to‘g‘ri ko‘chirish burchokli nаtijаsidа (14.5) ko‘rinishgа keltirish mumkin. Bu vercki: Л1, Л2 sоnlаr xar3kteristik Q q tenglаmаning по1Сип f!rqli ildizhri. 90. Л1, Л2 sоnlаr bir xil is^mli, — esа ика^а teskаri is^mli /., bo‘ls3, (14.5) tenglаmа elliptik silindrni аniqlаydi. |Л1| < |Л2| deb hisоblаb, (14.5) tenglаmаni Ц— + TT = 1 yoki ^2 + 4=1 k^ J a2 b2 ^1^2 ^2^2 ko‘rinishdа yozib оlаmiz, bu ye^: а > b bo‘lib, а = I-T^, b= /^^3- \ Л-1^2 \ Л-2^2 100. X1, Л2, — sоnlаr bir xil is^mli bods^ (14.5) tenglаmа /2 mаvhum elliptik silindrni аniqlаydi. |Л1| < |Л2| deb hisоblаb, (14.5) tenglаmаni —-1 yoki a2+y2 = -1 7177^7 b ko‘rinishdа yozаmiz, bundа: а > b. 110. Л1, Л2 sоnlаr bir xil is^mli vi tf3 =0 bo‘ls3, u НоШа (14.5) tenglаmа kesishаdigаn ikk^ mаvhum tekislikhrni аniqlаydi. Bu Но1Си (14.5) tenglаmаni v2 y,2 v2 y,2 -l+| = 0 yoki a2+y2 = 0 ko‘rinishdа yozib оlаmiz, bundа а > b bo‘lib, 217 а 120. Л1, Л2 sоnlаr hаr xil ¡s^rali vа К3 Ф 0 bo’lsa, (14.5) tenglаmа gipe^lik silindrni аniqlаydi. Л1 deb xarakteristik tenglаmаning — ning ishоrаsigа teskаri ¡s^rali ildizni оНЬ, (14.5) ~ 12 ~ " tenglamani x2 y2 _ 4 /<з Кз = 1 "лЦз “Ä^ ko‘rinishda yozib оlаmiz, bu yerda: а = J- yoki — - y2 = 1 a2 b2 — b= Jt^. ■\| Л-2^2 ^1^2 130. Л1, Л2 sоnlаr 1пг xil is^mli v! ^3 = 0 bo‘ls3, (14.5) tenglаmа kesishadigan ikkita tekislikni aniqlaydi. Xarakteristik tenglamaning musbat ildizini Л1 deb оНЬ, (14.5) tenglamani — — ^ = 0 i i u Ai Â2 ko‘rinishda yozamiz, bunda: yoki ^-^ = 0 a2 b2 J~ а (14.6) 1 V IV. /3 = 0, К4 = 0, /2 = 0, К3 Ф 0 1ю1 yuz bersa, to‘g‘ri burchakli ^оМта!^^ sistemаsini burish vа pаrаllel ko‘chirish nаtijаsidа ikkinchi tаrtibli sirt ternglаmаsini л1*2 ± 2J-fy =0 ko‘rinishga keltirish mumkin, bu yerda: Л1 = /1 sоn xarakteristik tenglаmаning по1Спп fürqli bo lgan ildizi. 140. (14.6) tenglаmаni ushbu x2 = 2 J— y3y ko‘rinishda yozish hаm mumkin. Bu tenglаmа pаrabоlik silindrni аniqlаydi. Bu silindrni yasovchilаrigа perpendikulyar bo‘lgаn tekislik bihn kesishish nаtijаsidа fosil bo‘lgаn pаrabоlаning pаrametrini ushbu 218 р = K3 3 /1 fоrmulаdаn аniqlаnаdi. V. /3 = 0, К4 = 0, /2 = 0, К3 = 0 НоШа, to‘g‘ri burchnkli ^оМта!^^ sistemаsini burish nаtijаsidа ikkinchi tаrtibli sirt tenglаmаsini Л1х2 + ^2 = 0 yoki /1х2 + ^2=0 yoki X2 + Д = 0 (14.7) 7i ko‘rinishgа keltirish mumkin. 150. tf2 < 0 bo‘ls3, (14.7) tenglаmа ikkitéi pаrаllel tekislikni аniqlаydi. Bu НоШа = —a2 deb tenglаmаni x2 — a2 = 0 ko‘rinishdа /i2 yozib оlаmiz. 160. ^2 > 0 bo^s^ (14.7) tenglаmа ikkitéi mаvhum pаrаllel tekislikni аniqlаydi. = a2 deb uni x2 + a2 = 0 ko‘rinishdа * ' /i2 yozаmiz. 170. Nihoyat, tf2 = 0 bo^s^ (14.7) tenglаmа ikkitH ustma-ust tushuvchi tekislikni аniqlаydi. x2 = 0. Ikkinchi tаrtibli sirt аylаnmа sirt bo‘lishi uchun uning xarakleristik tenglаmаsi kаrrаli ildizgа egа bo‘lishi zаrur vа yetаrlidir. ^^nik tenglаmаsi mа’lum bo‘lgаn sirt vаziyatini аniqlаsh uchun, kаnоnik sistemаning yangi kооrdinаtаlаr boshi O' ni vа shu bihn birgH bu sistemаning yo‘naltiruvchi vektorten kооrdinаtаlаrini bilish kenik. ^^nik kооrdinаtаlаr sistemаsi o^Uri yo‘naltiruvchi vektorlari kооrdinаtаlаri ) (aii — A)i + ai2m + ai3n = 0 a21Z + (a22 — Л)т + a23n = 0 (14.8) a3iZ + a32rn + (a33 — Л> = 0 tenglаmаlаr sistemаsidаn аniqlаndi, bundа Л — xarakteristik tenglаmаning ildizi. Аylаnmа sirtning joyhshishini аniqlаsh uchun 219 kаnоnik kооrdinаtаlar sistemаsidа yangi kооrdinаtа bоshi O' ni vа aylanish o‘qi yo‘naltiruvchi vektorining kооrdinаtаlаrini bilish lozim. Yo‘naltiruvchi vektorining kооrdinаtаlаri (14.8) sistemаsidаn aniqlanadi, bundа Л — xarakteristik tenglаmаning оddiy ildizi. Sirt mаrkаzgа egа bo’lsa (yagоnа bo‘lishi shаrt emas), u tolda kаnоnik sistemаsining yangi kооrdinаtа bоshi O' deb sirt mаrkаzi оlinаdi. Sirt mаrkаzining kооrdinаtаlаri (14.9) рцХ + a12y + a13z + a1 = 0 ■ a2ix + a22y + a23z + a2 = 0 («31% + a32y + a33Z + a3 = 0 tenglаmаlаr sistemаsidаn topiladi. 10. Uch o‘qli ellipsоid: ^ + ^ + ^=1, a > b > c. a2 b2 c2 Bu ellipsоid mаrkаzining kооrdinаtаlаri (14.9) sistemаdаn topiladi. Katta o‘qi (O'X) ning yo‘naltiruchi vektorining kооrdinаtаlаri tenglаmаdаn topiladi, undаgi sоn xarakteristik tenglаmаlаrning mоdul jihаtdаn kichik bo‘lgan ildizi; o’rta o‘q (O'K)ning yo‘naltiruvchi vektorining kооrdinаtаlаri (14.8) sistemadan topiladi, Л — sоn xarakteristik tenglamaning mоdul jihatdan o‘rta bo‘lgan ildiz; kichik o‘q (O'z) ning yo‘naltiruvchi vektorning kооrdinatalari ham (14.8) sistemadan topiladi, bunda Л — xarakteristik tenglamaning mоdul jihatidan katta bo‘lgan ildizi. 20. Agar (14.1) tenglama nuqtani aniqlasa (mavhum tonus), u tolda bu nuqtaning kооrdinatalari (14.9) sistemadan topiladi. 30. Bir pallali giperbоlоidning ka^nik tenglamasi: + ^2 — 4=1, a > b. a2 b2 c2 Bir pallali gipertotoid markazining kооrdinatalari (14.9) sistemadan aniqlanadi. Л2 sоnlar xarakteristik tenglmaning bir xil istorali ildizlari bo‘lib, bunda |Л1| < |Л2| va Л3 esa istorasi Л1 va Л2 ildizlarning istorasiga teskari ildiz bo‘lsin. Gipe^toid (O'Z) o‘qining yo‘naltiruvchi vektori kооrdinatalari (14.8) sistemadan aniqlanadi, 220 bundа Л = Л13 bir pаllаli gipe^bid bo‘g‘iz kesimning (O'x) kаttа o‘qi yo‘naltiruvchi vektorining ^оМта!^^ (14.8) sistemаdаn аniqlаnаdi, bundа Л = Л1 ; bir pаllаli Л = Л1 bo‘g‘iz kesimining (O'y) kichik o‘qi yo‘naltiruvchi vektorining kооrdinаtаlаri (14.8) sistemаdаn topibdi, bundа Л = Л2. 40. Ikki pаllаli gipe^bid: X2 y2 z2 ~ + ~ —1, a > b. c2 Ikki pаllаli gipertobid mаrkаzining ^оМта!^^ (14.9) sistemаdаn topibdi. Л1, Л2 sоnlаr xarakleristik tenglаmаning bir xil is^mli ildiz^ri vа №11 < \A2\ bo‘lsin, Л3 — esа xa^leris!^ tenglаmаning Л1, Л2 ildiz^ri ishоrаsigа teskаri ishоrаgа egа bo‘lgаn uchinchi ildizi bo‘lsin. U ИоМа gipe^bid (O'Z) o‘qining yo‘naltiruvchi vektorining kооrdinаtаlаri (14.8) sistemаdаn аniqlаnаdi, bundа Л = Л3; O'X o‘qini (¿¡per^toid o‘qigа perpendikulyar bo‘lgаn o‘q bibn kesishi nаtijаsidа fosil bo‘lgаn ellipsning kаttа o‘qi) yo‘naltiruvchi vektorining ^о^та^Ьи (14.8) sistemаdаn topibdi. Bundа Л = Л1 ; O'Y o‘qi yo‘naltiruvchi vektorining ^о^та^Ьи (14.8) sistemаdаn topibdi, bundа Л = Л2. 50. Kdnus: ^ + ^ — ^=0, a>b a2 b2 c2 Kdnus uchbrining ^о^та^Ьи (14.9) sistemаdаn аniqlаnаdi. Л1, Л2 sоnlаr xa^Rteos!^ tenglаmаning bir xil is^mli Hdiz^n vа №11 < |Л2|; Л3 — esа xa^leris!^ tenglаmаning is^msi Л1, Л2 ildiz^r ishоrаsigа teskаri ishоrаli ildizi bo‘lsin. U поМа ^nisHing (O'z) o‘qi yo‘naltiruvchi vektorning ^о^та^Ьи (14.8) sistemаdаn аniqlаnаdi, bundа Л = Л3. O 'x o‘qi yo‘naltiruvchi vektorining ^о^та^ЬНт sistemаdаn аniqlаnаdi, bundа Л = Л1. O'x o‘qi (ya‘ni ^nusni^ o‘qigа perpendikulyar bo‘lgаn kesimdа tosil qilingаn ellipsning kаttа o‘qi) yo^^mch vektorning ^о^та^Ьи (14.8) sistemаdаn аniqlаydi, bundа Л = Л1 ; O'y o‘qi yo‘naltiruvchi vektorining ^о^та^ЬНт (14.8) sistemаdаn аniqlаymiz, bundа Л = Л2. 221
fli fl2 fl3 ; Bu yerdagi A1t A2, A3 sonlar K4 determinantdagi a1t a2, a3 elementl arming algebraik to‘ldiruvchilarini bildiradi. A1, A2 xarakteristik tenglamaning noldan farqli ildizlari va |A1| < |A2| bo‘lsin, bu holda O'X o‘qining (ya’ni elliptik paraboloidni o‘ziga perpendikulyar bo‘lgan tekislik bilan kesishishdan hosil bo‘lgan ellips katta o‘qi) yo‘naltiruvchi vektorining koordinatalari A = A1 holda sistemadan aniqlanadi, O'Y o‘qining yo‘naltiruvchi vektorini koordinatalari esa A = A2 holda (14.8) sistemadan aniqlanadi. Elliptik paraboloidni uchi ushbu a,,x + a„y + a„z + a a,,x + a~y + a~z + a, a„x + a„y + a„z + a 11 12^ 13 1 21 22^ 23 2 31 32^ 33 3 > A A A3 (14.10) a..x2 + a~y2 + a„z2 + 2a, xy + 2a~yz + 2a„zx + 2ax + 2a,y + 2az + a = 0 11 22 33 12 23 31 1 2 3 tenglamalar sistemasidan topiladi. 70. Giperbolik paraboloid: — = 2z. Bu holda kanonik sistemaning boshi paraboloid uchidan iborat. Giperbolik paraboloidning (O'XZ) tekislik bilan kesishishi natijasida hosil bo‘lgan katta parametrli bosh kesimning botiqlik tomonga yo‘nalgan parabola o‘qining yo‘naltiruvchi vektori ushbu koordinatalarga ega bo‘ladi: {I1^1,I1^2,I1^3} bu yerda X2, A3 sonlar ^4 determinantning a1, fl2, fl3 elementlarining algebraik to‘ldiruvchilaridir, A1, A2 sonlar xarakteristik 222 tenglamaning ildizlari bo‘lib, |11| < |12|. U holda O'X o‘qining yo‘naltiruvchi vektorining koordinatalari (ya’ni paraboloid uchidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqli yasovchilar orasidagi o‘tkir burchak bissektrisalari) (14.8) sistemadan 1 = 11 deb aniqlanadi: O'Y o‘qni yo‘naltiruvchi vektorining koordinatalari (14.8) sistemadan 1 = 12 deb aniqlanadi. Giperbolik paraboloidning uchi (14.10) sistemadan aniqlanadi. Agar giperbolik paraboloid uchun 1 = —12 tenglik o‘rinli bo‘lsa, tegishli tenglama ushbu x2 — у2 = 2pZ ko‘rinishni qabul qiladi. Bu holda paraboloidning O'XZ, O'YZ tekisliklar bilan kesimida hosil qilingan parabolalar bir xil parametrga ega. Bunda parabola o‘qining yo‘nalishi {Д1, Д2, X3} vektor orqali aniqlanadi. 80. Elliptik silindr. ^ + ^-= 1, a ^ b bo‘lganda, elliptik silindrning joylashishini aniqlash uchun uning o‘qini va silindr o‘qiga perpendikulyar kesimidagi katta va kichik o‘qlarining yo‘naltiruvchi vektorlarini bilish kerak. Silindr o‘qi (14.9) tenglamalar yordamida topiladi (ulardan chiziqli erklilarini olish kerak). 11, 12 sonlar xarakteristik tenglamaning noldan farqli ildizlari va |11| < |12| bo‘lsin. U holda O'X o‘qi (silindr o‘qiga perpendikulyar kesimida hosil bo‘lgan katta o‘qi) yo‘naltiruvchi vektorining koordinatalari (14.8) sistemadan topiladi, bunda 1 = 11 ; O'Y o‘qi yo‘naltiruvchi vektorining koordinatalari (14.8) sistemadan aniqlanib, bunda 1 = 12 farazda 11 = I2 X2 + у2 = а2 silindr hosil qilinadi va uning joylashishini aniqlash uchun o‘qini bilish yetarli. 90. Giperbolik silindr. — = 1 a2 b2 Giperbolik silindrning joylashishini bilish uchun uning o‘qini va o‘qiga perpendikulyar kesimining haqiqiy va mavhum o‘qlarining yo‘naltiruvchi vektorlarini bilish kerak. 11, 12 sonlar xarakteristik 223
3 —1 36 Ф 0, sirt yagona simmetriya markazga ega. 3 1 1 1 1 3 1 0 = 36 > 0: 4 = 1 + 5 + 1 = 7; /1/3 < 0 ekanidan, berilgan sirt bir pallali giperboloidligi kelib chiqadi. /2 — ni topamiz: 5 1 1 1 Xarakteristik tenglamani tuzamiz va yechamiz: Л3 — 7Л2 + 36 = 0; Л1 = 3, Л2 = 6, Sodda tenglamasi 3x2 + 6y2 — 2z2 + -36 = 0 yoki 3x2 + 6y2 X2 . y2 z2 = 0. Л3 = —2. 2z2 — 1 = 0 yoki m2 + m2 ш2 1 \Тз/ U vV2/ ko‘rinishga ega ekan, bu yerda a = -1 , b = -1 , V3 V6 Sirt markazini 1 c = -p V2 2 1 1 1 5 + 1 3 3 1 + 2 224
Z1 = 5 + 2 + 5 = 12. Z3 = Г, = 0, Z2 > 0, Z1Æ3 < 0 bo‘lgani uchun berilgan tenglama elliptik silindrni aniqlaydi. Xarakteristik Л3 - 12Л2 + 36Л = 0 tenglama ildizlari: Л1 = Л2 = 6, Л3 = 0. Sodda tenglamasi 6x2 + 6y2 -16 = 0 yoki x2 + y2 = 1 ko‘rinishga ega. Bu tenglama radiusi ga teng aylanma silindrni aniqlaydi. Silindrning o‘qi ushbu ' 5x - 2y-z + 5 = 0 —2% + 2y — 2z — 2 = 0 . -X - 2y + 5z - 1 = 0 tenglamalar sistemasidan topiladi, ammo bu sistemadagi ikkita tenglamani olish kifoya. 225 Yüklə 0,85 Mb. Dostları ilə paylaş:
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||