Geometriyadan misol va masalalar

_x ² _У ²

6. 
   ^~^ =¹ gipеrbоlаning fokusl^m аniqlаng.
   

131



X² V²

7. 
   — - — = -1 giperbolaning fokuslarini aniqlang.
   
8. 
   Quyidagi ma’lumotlarga ko‘ra:
   

1. 
   direktrisalari orasidagi masofa 3_² ga teng va ekssentrisiteti s = 5;
   
2. 
   asimptotalari orasidagi burchak 60⁰ ga teng va c = 2V3 giperbolaning kanonik tenglamasi tuzilsin.
   

9. 
   —+— = 1 ellips bilan fokusdosh va ekssentrisiteti s = 5 bo‘lgan
   

49 24 ^F 4

giperbolaning tenglamasi yozilsin.

x² y²

10. 
    y-—= 1 giperbola berilgan:
    

1. 
   fokuslarining koordinatalari;
   
2. 
   ekssentrisiteti;
   
3. 
   asimptotalarining va direktrisalarining tenglamalari;
   
4. 
   qo‘shma giperbolaning tenglamasi va uning ekssentrisiteti
   

hisoblansin.

11. 
    Giperbola haqida quyidagilar ma’lum bo‘lsa, uning yarim o‘qlari hisoblansin:
    

1. 
   fokuslari orasidagi masofa 8 ga va direktrisalari orasidagi masofa 6 ga teng;
   
2. 
   direktrisalari x = ±3V2 tenglamalar bilan berilgan va asimptotalari orasidagi burchak to‘g‘ri burchak;
   
3. 
   asimptotalari y = ±2 tenglamalar bilan berilgan va fokuslari markazdan 5 birlik masofada;
   
4. 
   asimptotalari y = ± 5 x tenglamalar bilan berilgan va giperbola N(6; 9) nuqtadan o‘tadi.
   

12. 
    Teng tomonli giperbola x² — y² = 8 berilgan. Unga fokusdosh bo‘lib, M(—5; 3) nuqtadan o‘tuvchi giperbolaning tenglamasi topilsin.
    
13. 
    Fokusi absissa o‘qida joylashgan va koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo‘lgan giperbola tenglamasini tuzing, agar quyidagilar ma’lum bo‘lsa:
    

1) uning o‘qlari 2a = 10 va 2b = 8;


132

2. 
   fokuslar orasidagi masofa 2 a = 10 va mavhum o‘qi 2 b = 8;
   
3. 
   fokuslar orasidagi masofa 2e = 6 va ekssentrisiteti e = 3;
   
4. 
   haqiqiy o‘qi 2a = 16 va ekssentrisiteti e = |;
   
5. 
   asimptota tenglamasi y = ± 4 x va fokuslar orasidagi masofa 2e = 20;
   
6. 
   direktrisalar orasidagi masofa 22 ga teng va fokuslar orasidagi masofa 2e = 26;
   
7. 
   direktrisalar orasidagi masofa 32 ga teng va mavhum o‘qi 2b = 6;
   
8. 
   direktrisalar orasidagi masofa 8 ga teng va ekssentrisiteti e = 3 ;
   
9. 
   asimptota tenglamasi y = ±³ x va direktrisalar orasidagi masofa
   

4

12 ⁴ ga teng.

14. 
    Fokusi ordinata o‘qida joylashgan va koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo‘lgan giperbola tenglamasini tuzing, agar quyidagilar ma’lum bo‘lsa:
    

1. 
   uning yarim o‘qlari a = 6, b = 18;
   
2. 
   fokuslar orasidagi masofa 2e = 10 va ekssentrisiteti e = |;
   
3. 
   asimptota tenglamasi y = ±yx va uchlari orasidagi masofa 48;
   
4. 
   direktrisalar orasidagi masofa 71 va ekssentrisiteti e = 7 ;
   
5. 
   asimptota tenglamasi y = ±4* va direktrisalar orasidagi masofa 6 2 ga teng .
   

15. 
    Quyida berilgan giperbolalarni a va b yarim o‘qlarini toping:
    

_v2 .,,2 _v2

1. 
   V"T=1; 2) ^-y² = 1; 3) x² - 4y² = 16;
   

4. 
   x² — y² = 1; 5) 4x² — 9y² = 25; 6) 25x² — 16y² = 1;
   

7) 9x² — 16y² = 1.

16. 
    Giperbola tenglamasi berilgan 16x² — 9y² = 144 bo‘lsa, quyidagilarni:
    

1) yarim o‘qlari a va b; 2) fokuslarini; 3) ekssentrisiteti;


133



2) у = -3Vx² + 1;

4) у = +|Vx² +25.

3. 
   asimptota tenglamasini toping; 5) direktrisa tenglamasini toping.
   

17. 
    Giperbola tenglamasi berilgan 16x² - 9у² = -144 bo‘lsa,
    quyidagilarni:
    

1) yarim o‘qlari a va b; 2) fokuslarini; 3) ekssentrisiteti;

4. 
   asimptota tenglamasini toping; 5) direktrisa tenglamasini toping.
   

22

18. 
    ——— = 1 giperbola asimtotasi va 9x + 2у - 24 = 0 to‘g‘ri
    chiziq bilan chegaralangan uchburchakning yuzini toping.
    
19. 
    Quyidagi tenglamalar qanday chiziqlarni ifodalashini aniqlang:
    

1) у = +|Vx² - 9;

3. 
   у = - ⁴Vx² + 9;
   

va bu chiziqlarni chizmasini chizing.

•^2 y¹

20. 
    77^-Z7 = ¹ giperbolaning M₁(10;-V5) nuqtasi berilgan. Fakal
    

80 20

radiusi M₁ nuqta bo‘lgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing.

22

21. 
    — —— =¹ giperbolani M₁ (-5; -) nuqta qanoatlantirishi ko‘rinib
    

16 9 4

turibdi, M₁ nuqtaning fakal radiusini toping. 2 2