Guliston davlat universiteti matematika kafedrasi variatsion hisob va optimallashtirish usullari

Misol 3. M =C[-1,1] –[-1,1] kesmadagi uzluksiz y(x) funksiyalar sinfidan xamda - barcha -1 larda va haqiqiy y larda aniqlangan uzluksiz funksiya berilgan bo’lsin. U holda
(3)
berilgan sinfda aniqlangan funksional bo’ladi. Masalan, agar  bo’lsa u holda y(x)=x funksiya uchun

bo’ladi; y(x)=1+x funksiya uchun

qiymatlarga ega bo’lamiz.
Misol 4. M=C₁[a,b]-[a,b] kesmada y’(x) uzluksiz hosilaga ega bo’lgan y(x) funksiyalar sinfi. U holda
(4)
shu funksiyalar sinfida aniqlangan funksional bo’ladi. (4) funksional geometric jihatdan ohirlari A(a,y(a)) va B(b,y(b)) nuqtalarda bo’lgan y= y(x) egri chiziq yoyning uzunligini ifodalaydi.
y(x) argumentli J[y(x)] funksionalning orttirmasi yoki variatsiyasi δy deb tanlangan M sinfga tegishli ikki y(x) va y₀(x) funksiyalarning ayirmasiga aytiladi
δy= y(x)- y₀(x). (5)
k martta differensiallanuvchi funksiyalar sinfi uchun
δy)^(k)= δy^(k)(x) (6)
ga egamiz.
[a,b] kesmada berilgan y= y(x) va y= y₁(x) egri chiziqlar yaqinligi nolinchi tartibli ma’nosida yaqin deyiladi , agar | y(x)- y₁(x)| [a,b] kesmada kichik miqdor bo’lsa. Bu egri chiziqlarning [a,b] kesmadagi ordinatasi bo’yicha yaqinligi uning geometrik ma’nosini anglatadi.
[a,b] kesmada berilgan y= y(x) va y= y₁(x) egri chiziqlar yaqinligi birinchi tartibli ma’nosida yaqin deyiladi , agar | y(x)- y₁(x)| va |y’(x)- y’₁(x)| miqdorlar [a,b] kesmada kichik miqdorlar bo’lsa. Geometrik ma’nosi bu egri chiziqlarning [a,b] kesmadagi ham ordinatasi bo’yicha, ham mos nuqtalarda urinmalarining yo’nalishlari bo’yicha yaqinligini anglatadi.
[a,b] kesmada berilgan y= y(x) va y= y₁(x) egri chiziqlar yaqinligi k- tartibli yaqinlik ma’nosida yaqin deyiladi, agar
| y(x)- y₁(x)|, |y’(x)- y’₁(x)|, … ,|y^(k)(x)- y₁^(k)(x)|
miqdorlar [a,b] kesmada kichik miqdorlar bo’lsa.
Agar chiziqlar yaqinligi k-tartibli yaqinlik ma’nosida bo’lsa, u holda ular ixtiyoriy kichik tartibli yaqinlikda yana ham yaqinroq bo’ladi.
Misol 5. y(x) = , bu erda n yetarlicha katta son, va y₁(x)=0 egri chiziqlar [0,π] kesmada no’linchi tartibli yaqinlik ma’nosida yaqin, chunki
|y(x)- y₁(x)|= ,
bo’ladi, ya’ni butun [0, π] oraliqda bu ayirma modul bo’yicha yetarlicha katta n sonidan kichik. |y’(x)- y’₁(x)|=n|cosn²x| , bo’lganligi sababli birinchi tartibli yaqinlik yo’q, masalan, x= nuqtada |y’(x)- y’₁(x)|=n ga ega bo’lamiz. Demak |y’(x)- y’₁(x)| ayirmaning modulini n ning etarlicha katta qiymatiga qarab yetarlicha kattartirishimiz mumkin.
Misol 6. [0,π] kesmada y(x) = , bu erda n yetarlicha katta son, va y₁(x)=0 egri chiziqlar [0,π] kesmada 1- tartibli yaqinlik ma’nosida yaqin,
|y(x)- y₁(x)|= va |y’(x)- y’₁(x)|=| |
ya’ni birinchi tartibli ma’nosida yaqin hisoblanadi.

y=f(x) va y=f₁(x), (a ), egri chiziqlar orasidagi masofa deb qiymati a kesmada | f₁(x) - f(x) | modulning maksimumiga teng bo’lgan manfiy bo’lmagan p soniga aytiladi:

(7)
bu erda f(x), f₁(x) lar - [a,b] kesmada aniqlangan uzluksiz funksiyalar.

1-rasm