Guliston davlat universiteti matematika kafedrasi variatsion hisob va optimallashtirish usullari

2⁰. Funksionalning uzluksizligi. y(x) funksiyalarning M sinfida aniqlangan J[y(x) ] funksional y=y₀(x) da n-tartibli yaqinlik ma’nosida uzluksiz deyiladi, agarda ixtiyoriy ε>0 son uchun, shunday >0 soni topilsaki,
| y(x)- y₀(x)|< , | y’(x)- y’₀(x)|< ,… , | y^(k)(x)- y₀^(k)(x)|< ,
shartni qanoatlantiruvchi barcha joiz y=y(x) funksiyalar uchun |J[y(x) ]- J[y₀(x) ]|< ε tengsizlik bajarilsa. Boshqacha so’z bilan aytganda, |J[y(x) ]- J[y₀(x) ]|< ε bo’ladi, agarda y(x) joiz funksiya bilan y=y₀(x) orasidagi masofa uchun p_n[y(x), y₀(x)]< tengsizlik bajarilsa.
n-tartibli yaqinlik ma’nosida uzluksiz bo’lmagan funksionalni n-tartibli yaqinlik ma’nosida uzilishga ega bo’lgan funksional deb ataladi.
y^(k)(x)= y₀^(k)(x)+ , (k=0,1,2, … ,n),
-qandaydir parametr, -M sinfdan olingan ixtiyoriy funksiya, deb olib,

ekanligini bilamiz, va funksionalni y(x)= y₀(x) dagi uzluksizlik ta’rifini quyidagicha yozishimiz mumkin

Misol 9. C₁[0,1] fazoda aniqlangan funksionalni y₀(x)=x funksiyada birinchi tartibli yaqinlik ma’nosida uzluksiz ekanligini ko’rsating.
Yechish. ixtiyoriy ε>0 sonini olamiz. U holda shunday soni mavjudki, faqat | y(x)- x|< va | y’(x)- 1|< bajarilganga, |J[y(x) ]- J[y₀(x) ]|< ε munosabat o’rinli ekanligini ko’rsatamiz.

egamiz. Endi deb tanlaymiz. U holda barcha larda | y(x)- x|< , | y’(x)- 1|< , bo’lib, |J[y(x) ]- J[x ]|< ε ga ega bo’lamiz.
Shunday qilib, barcha , ε>0 uchun, son mavjud. Bu esa ta’rifga ko’ra berilgan funksionalning y₀=x aunksiyada birinchi tartibli yaqinlik ma’nosida uzluksiz ekanligini anglatadi. Bu funksionalni barcha egri chiqlarda birinchi tartibli yaqinlik ma’nosida uzluksiz ekanligini ko’rish qiyin emas.