Ii hissə YÜKSƏk təRTİBLİ Dİferensial təNLİKLƏR

§1. İkitərtibli xətti bircins olmayan diferensial
tənliyin ümumi həllinin quruluşu

İkitərtibli

(1)
xətti bircins olmayan diferensial tənliyinə baxaq. Burada - intervalında ve­rilmiş, kəsilməz funksiyalardır. Bu halda xətti bircinsli diferensial tənlik,
(2)
şəklində olur.
Teorem 1 (ümumi həllin quruluşu). (1) tənliyi­nin ümumi həlli onun hər hansı xüsusi həlli ilə uyğun bircinsli (2) tənliyinin ümumi həllinin cəminə bərabərdir:
. (3)
(1) tənliyinin xüsusi həllini tapmaq üçün Laqranj üsulundan (ixti­­­yari sabitlərin variasiyası üsulu) istifadə olunur.
Bu üsulun mahiyyəti belədir: (1) tənliyinə uyğun olan (2) bircinsli tənliyi­nin ümumi həl­lində və ixtiyari sabitləri -dən asılı və funksiyaları ilə əvəz edilir və xüsusi həll
(4)
şəklində axtarılır, burada məchul funksiya­lardır və onlar
(5)
tənliklər sistemindən tapılır. (5) sisteminin determinantı (2) tənliyinin fun­damental həllər sistemi təşkil edən və xüsusi həllərinin Vronski determinantı olduğundan, . Deməli, (5) siste­minin yeganə həlli vardır:
, .

Beləliklə, (4) düsturuna əsasən (1) tənliyinin xüsusi həllini və nəhayət, verilən tənliyin ümumi həlli isə (3) düsturuna görə tapılır.

Misal 1. tənliyinin ümumi həllini tapmalı.
Həlli. Verimiş tənliyə üyğun bircinsli tənliyinin ümu­mi həllini tapaq: , , , . Verilən tənliyin xüsusi həllini
.
şəklində tapaq. və funksiyalarını
.
sistemindən tapa bilərik. Sistemi həll edək:
,
, ;
, ;
, .
və funksiyalarının bu ifadələrinə görə verilən tənliyin xüsusi həlli
,
ümumi həlli isə

olur.
Teorem 2 (həllərin yığılması haqqında). Əgər (1) tənliyinin sağ tərəfi iki funksiyanın cəmindən ibarət olarsa: , və , uyğun olaraq, və tənliklərinin xüsusi həlləridirsə, onda funksiyası verilən tənliyin həllidir.