Ii hissə YÜKSƏk təRTİBLİ Dİferensial təNLİKLƏR

II Hissə
YÜKSƏK TƏRTİBLİ


DİFERENSİAL TƏNLİKLƏR




§1. Əsas anlayışlar

Tərtibi birdən böyük olan diferensial tənliklərə yüksək tərtibli dife­rensial tənliklər deyilir.

-tərtibli diferensial tənlik ümumi şəkildə
(1)
kimi yazılır. Əgər bu tənliyi -ə nəzərən həll etmək olarsa, onda
(2)
olar. (2) diferensial tənliyinə yüksək tərtib törəməyə nəzərən həll olun­muş -tərtibli diferensial tənlik deyilir.
Xüsusi hal kimi, ikitərtibli diferensial tənliklər ümumi şəkildə
(3)
kimi, onu ikinci tərtib törəməyə nəzərən həll etmək mümkün ol­duq­­da isə
(4)
şəklində yazılır.
Tərif 1. (4) tənliyini eyniliyə çevirən istənilən funk­si­ya­sına onun həlli deyilir.
Tərif 2. və sa­bitlərindən asılı olan funksiya­sı aşağıdakı şərtləri ödədikdə ona ­ (4) tənliyinin ümumi həlli deyilir.
1. və -nin qeyd olunmuş hər bir qiymətlərində funksiya­sı (4) diferensial tənliyinin həllidir;
2.
(5)
başlanğıc şərtlərinin necə olmasından asılı olmadan sabitlərin yega­­nə elə və qiymətləri var ki, funksiya­sı həm (4) tənliyini, həm də (5) başlanğıc şərtlərini ödəyir.
Tərif 3. (4) tənliyinin ümumi həllindən sabit­lərin məlum və qiymətlərində alınan hər bir həllinə onun xüsusi həlli deyilir.
(4) diferensial tənliyinin

şəkillərində yazılmış həlləri, uyğun olaraq, onun ümumi və xüsusi inteqralları adlanır.
İkitərtibli DT-nin istənilən həllinin qrafikinə onun inteqral əyrisi deyilir. (4) DT-nin ümumi həllinin qrafiki inteqral əyriləri ailəsini; xü­susi həllin qrafiki isə bu ailədən, nöqtəsindən keçən və toxu­nanının bucaq əmsalı olan bir inteqral əyrisini təyin edir.
(4) tənliyinin verilmiş (5) başlanğıc şərtlərini ödəyən həllinin tapılması məsələsi, (4) tənliyi üçün qoyulmuş Koşi məsələsi adlanır.
Teorem (Koşi məsələsinin həllinin varlığı və yeganəliyi). Əgər (2) tənliyindəki funksiyası və onun xüsusi törə­mələri və dəyişənlərinin müəyyən qiymətləri oblastında kəsilməzdirlərsə, onda hər bir nöqtəsi üçün (2) tənli­yinin (3) başlanğıc şərtlərini ödəyən yeganə həlli var.
Oxşar anlayışlar və təriflər yüksək tərtibli diferensial tənliklər üçün də doğrudur.
(4) tənliyi üçün başlanğıc şərtlər aşağıdakı kimi yazılır:

dənə ixtiyari sabiti olan

funksiyası (4) tənliyinin ümumi həlli,ümumi həlldən sabitlərin mü­əyyən qiymətlərində alınan həll isə onun xüsusi həlli adlanır.