KinematiKA

Harmonik rəqsi hərəkət

Harmonik rəqsi hərəkət elə hərəkətə deyilir ki, o hərəkətdə nöqtənin hesabaparma mərkəzinə qədər olan məsafəsi aşağıdakı qanunlarla dəyişsin.

və ya (2.23)

Burada və .

Bildiyimiz kimi, və funksiyalarının qiymətləri mənfi bir ilə müsbət bir arasında dəyişir. Odur ki,

olur.

Nöqtənin başlanğıc vəziyyətdən uzaqlaşdığı ən böyük məsafəsinə rəqsin amplitudası deyilir (şək. 2.7).

Bir rəqsə sərf olan zamanına rəqsin periodu deyilir.

Şək. 2.7
Hərəkət periodunun başlanğıc və sonunda nöqtə eyni vəziyyətdə olmalıdır. Bunun üçün sinus və kosinusun arqumentləri qədər dəyişməlidir. Bu zaman

Buradan rəqsin periodu:

və ya

olur. Buradan görünür ki, – saniyə ərzində nöqtənin tam rəqslərinin sayı olur. Nöqtənin sürəti

Nöqtənin toxunan təcili olur.

2.6. Bərk cismin irəliləmə hərəkəti
Bərk cismin irəliləmə hərəkəti elə hərəkətə deyilir ki, bu hərəkət zamanı cisim üzərində götürülmüş istənilən xətt öz-özünə paralel qalır. Belə hərəkətə misal velosipedin pedalının hərəkətini göstərmək olar.

Teorem. İrəliləmə hərəkəti zamanı cismin bütün nöqtələrinin cızdığı trayektoriyalar üst-üstə qoyulduqda eyni olur və hər bir anda onların sürət və təcillərinin modul və istiqamətləri də eyni olur.

İsbatı. Cisim hərəkət edərək I vəziyyətdən II vəziyyətə keçir (şək. 2.8.). Bu zaman cisim üzərində götürülmüş vektoru özünə paralel olaraq vəziyyətini alır.

Ixtiyari bir nöqtəsindən nöqtələrinin radius vektorlarını - i çəkək.

Şəkildən görünür ki,

(2.24)

(2.25)

Buradan görünür ki, nöqtəsinin cızdığı trayektoriyalarını almaq üçün nöqtəsinin cızdığı trayektoriyanı istiqamətində qədər sürüşdürmək lazımdır. Həmin sözləri və nöqtələrinin trayektoriyaları haqqında da demək olar. Beləliklə bu trayektoriyalar sürüşdürüldükdə üst-üstə düşürlər.

Şək. 2.8
(2.24) ifadəsini zamana görə diferensiallayaq.

Bilirik ki, olmalıdır. Onda,

və ya (2.26)

olar.

Indi (2.25) ifadəsini diferensiallayaq

və ya (2.27)

Beləliklə, sübut olundu ki, irəliləmə hərəkətində nöqtələrinin sürət və təcilləri cismin sürət və təcili olur.

2.7. Bərk cismin tərpənməz ox ətrafında fırlanması
oxu ətrafında fırlanan bir silindrə baxaq. Bu oxdan tərpənməz yarımmüstəvisi və silindrə bərkidilmiş, onunla birlikdə hərəkət edən, yarımmüstəvisi keçirək (şək.2.9). Bu müstəvilər arasındakı bucağı dönmə bucağı adlanır. oxunun müsbət istiqamətindən baxarkən saat əqrəbinin əksi istiqamətində ölçülən dönmə bucağını müsbət saat əqrəbi istiqamətindəki dönmə bucağını isə mənfi qəbul edək. Silindrin hərəkət qanunu:

(2.28)

olacaq. Bucaq sürəti

(2.29)

bucaq təcili isə

(2.30)

Şək. 2.9
olacaq.

İndi silindrin nöqtələrinin xətti sürət və təcillərini təyin edək.

Hər hansı nöqtənin xətti sürəti

(2.31)

olur.

Burada – nöqtənin qövs üzrə elementar yerdəyişməsi və nöqtənin ox ətrafında elementar dönmə bucağıdır; – nöqtənin– silindrin bucağ sürəti; – fırlanma oxundan nöqtəyə qədər olan məsafə.

Nöqtənin normal və toxunan təcilləri məlum düsturlarla belə təyin olunur

(2.32)

(2.33)

Burada – nöqtənin bucaq təcili.

Bildiyimiz kimi, normal təcil əyrilik mərkəzinə– fırlanma mərkəzinə doğru, toxunan təcil isə nöqtənin cızdığı çevrəyə toxunan istiqamətdə yönəlir.

Tam təcilin modulu isə belə tapılır:

Indi fırlanma hərəkətinin xüsusi hallarına baxaq:

1. Bərabərsürətli hərəkət.

Bu halda bucaq sürəti sabit olur.

Dönmə bucağı olur. Bu ifadəni inteqrallayaq

Buradan bərabərsürətli fırlanma hərəkətinin tənliyini alırıq:

Nöqtənin bucaq təcili isə olduqda:

olur.

Nöqtənin toxunan təcili isə olduqda:

olur.

Nöqtənin normal təcili:

olur.

2. Bərabər dəyişən hərəkət

Belə hərəkət zamanı bucaq təcili

olur. Buradan

olur. Bu ifadəni inteqrallayaq

Buradan bucaq sürətini tapmaq olar:

Bu ifadədə qiymətini yerinə qoysaq, onda:

və ya

Bu ifadəni zamana görə inteqrallayaq:

Buradan bərabər dəyişən hərəkətin tənliyini alırıq:

2.8. Cismin bucaq sürəti vektoru
Bucaq sürəti vektoru cismin fırlanma oxu üzərində yerləşərək elə yönəlir ki, onun sonundan cismə baxdıqda, fırlanma saat əqrəbinin əksi istiqamətində görsənsin (şək. 2.10). Bu vektorun tətbiq nöqtəsi olmur, o sürüşən vektordur.

Şək. 2.10

Fırlanan nöqtənin xətti sürəti bucaq sürət vektoru ilə baxılan nöqtənin fırlanma oxu üzərində götürülmüş ixtiyari nöqtəyə nəzərən radius-vektoru -in vektorlar hasilinə bərabərdir.

Sürətin modulu

Nöqtənin sürətinin vektoru müstəvisinə perpendikulyar olub elə yönəlir ki, onun sonundan həmin müstəviyə baxdıqda vektorundan vektoruna ən qısa keçid saat əqrəbi istiqamətinin əksi olsun.

2.9. Nöqtənin mürəkkəb hərəkəti
2.9.1. Nöqtənin mütləq nisbi və köçürmə hərəkətləri
Nöqtənin tərpənməz qəbul edilmiş sistemə nəzərən hərəkətinə mütləq hərəkət deyilir.

Nöqtənin tərpənən sistemə nəzərən hərəkətinə nisbi hərəkət deyilir.

Tərpənən sistemin onun üzərində bərkidilmiş bütün nöqtələrlə birlikdə tərpənməz sistemə nəzərən hərəkətinə köçürmə hərəkəti deyilir.

Bir misala baxaq.

Hərəkət edən avtomobilin təkəri üzərində bir nöqtəsi götürək (şək. 2.11).

Çarxın oxu ilə tərpənən sistemini bərkidək, yerlə isə tərpənməz sistemini bərkidək.

nöqtəsinin sistemindəki hərəkəti nisbi hərəkət, onun sürəti isə nisbi sürət olur. Bu sürətin istiqaməti çarxın çevrəsinə toxunan olur.

Hərəkətli sistemin onun üzərində bərkidilmiş nöqtəsi ilə birlikdə tərpənməz sisteminə nəzərən hərəkəti köçürmə hərəkət adlanır. Onun sürəti isə köçürmə sürət olur. Bu sürətin istiqaməti oxuna paralel olur.

nöqtəsinin tərpənməz sisteminə nəzərən hərəkəti isə mütləq hərəkət adlanır. Bu zaman mütləq sürətin vektoru nöqtənin cızdığı trayektoriyaya (şəkildə qırıq xətlərlə göstərilib) toxunan olur.

Nöqtənin təcilləri də uyğun olaraq nisbi mütləq və köçürmə təcilləri adlanır.

2.9.1. Nöqtənin sürətlərinin toplanması teoremi

Teorem. Nöqtənin mütləq sürəti onun köçürmə sürət ilə nisbi sürətin həndəsi cəminə bərabərdir.



Isbatı. Fərz edək ki, nöqtəsi tərpənən sistemində nisbi hərəkət, sistemində isə mütləq hərəkət edir (şək.2.12).

nöqtəsinin mərkəzinə nəzərən radius-vektorunu ilə işarə etsək, yazmaq olar:

Burada ; ; – nöqtəsinin sistemindəki koordinatlarıdır. Nöqtənin nisbi sürəti:

(2.35)

olur.

başlanğıcının tərpənməz sistemin başlanğıcına nəzərən radius-vektoru olduqda, onda nöqtəsinin nöqtəsinə nəzərən radius-vektoru, şəkildən göründüyü kimi, belə olar.

(2.36)

Şək.2.12
nöqtəsinin köçürmə sürətini tapmaq üçün bu ifadədən zamana görə törəmə alaq. Bu zaman dəyişən arqumentlər və olur.

(2.37)

nöqtəsinin mütləq sürətini tapdıqda isə (2.36)-da bütün parametrlər dəyişən olur. Onda nöqtəsinin mütləq sürəti belə olar:



(2.38)

Bu ifadəni (2.35) ilə müqayisə etdikdə görürük ki, ikinci mötərizə nöqtənin nisbi sürəti , (2.37) ilə müqayisə etdikdə görürük ki, birinci mötərizə nöqtənin köçürmə sürəti olur.

Bunları nəzərə aldıqda (4)-ü belə yazmaq olar:

(2.39)

Deməli, teorem isbat olundu.

2.9.2.Təcillərin toplanması teoremi
Teorem. Nöqtənin mütləq təcili onun köçürmə hərəkətdəki təcili , nisbi hərəkətdəki təcili və koriols təcili -nın həndəsi cəminə bərabərdir



Isbatı. Yuxarıda göstərdiyimiz kimi, nöqtəsi tərpənən sistemdə nisbi, tərpənməz sistemində isə mütləq hərəkət edir (şək.2.13) və onun sürətləri (2.35), (2.37), (2.38) düsturları ilə müəyyən olunur. Nöqtənin təcillərini uyğun sürətlərin zamana görə birinci törəmələri kimi təyin edək.

Şək. 2.13

Nisbi təcil (dəyişən argumentlər–, və ):

(2.40)

Köçürmə təcili (dəyişən arqumentlər–, , , ):

(2.41)

Mütləq təcil (dəyişənlər–, , , , , ):

(2.42)

(2.42) ifadəsini (2.41) və (2.40) ilə müqayisə etdikdə görürük ki, birinci mötərizənin içərisindəki ifadə nöqtənin köçürmə təcili , ikinci mötərizənin içərisindəki ifadə isə nisbi təcili -dir.

Indi üçüncü mötərizənin içərisindəki ifadənin nə olduğuu müəyyən edək. Bilirik ki, sərbəst cismin ixtiyari hərəkətinə iki hərəkətin həndəsi cəmi kimi baxmaq olar. Bu hərəkətlərdən biri onun ixtiyari nöqtəsinin (qütb) irəliləmə hərəkəti, digəri isə bu nöqtədən (qütbdən) keçən oxu ətrafında fırlanma hərəkətidir. Bu oxa ani fırlanma oxu deyilir, onun ətrafında olan fırlanma sürətinə ani bucaq sürəti deyilir.

Deyilənlərə uyğun olaraq, bizim baxdığımız halda, sisteminin nöqtəsi ilə birlikdə etdiyi köçürmə hərəkətinə iki hərəkətin həndəsi cəmi kimi baxaq. Bu hərəkətlərdən biri nöqtəsinin irəliləmə hərəkəti, digəri isə sistemin bu nöqtədən keçən ani fırlanma oxu ətrafında sürəti ilə fırlanma hərəkəti olsun.

vahid vektorunun sonunda bir nöqtəsi götürək. Onda vektoru bu nöqtənin radius-vektoru olur və həmin nöqtənin sürəti vektorunun zamana görə törəməsi olur

(2.43)

Bu sürəti (bildiyimiz kimi) ani fırlanmada bucaq sürəti və nöqtənin radius-vektoru -in vektorial hasili kimi təsvir etmək olar:

(2.44)

(2.43) və (2.44)-dən yazmaq olar:

Bu qayda ilə digər vahid vektorlar üçün yazmaq olar:

;

Bunları nəzərə aldıqda (2.42) tənliyinin üçüncü mötərizəsindəki ifadə belə yazıla bilər:

Bu ifadəni (2.35) ilə müqayisə etdikdə görürük ki, axırıncı mötərizə içərisindəki ifadə nöqtəsinin nisbi sürət vektoru -dir. Beləliklə, (2.42) tənliyinin üçüncü mötərizəsi olur. Onun iki misli isə koriolis təcil adlanır və ilə işarə olunur

(2.45)

Koriolis təcilinin modulu

olur. Beləliklə,

(2.46)

olur. Deməli teorem isbat olundu.

Əgər tərpənən sistemi tərpənməz sisteminə nəzərən irəliləmə hərəkəti edirsə, onda ani bucaq sürəti olur, bu səbəbdən nöqtəin koriolis təcili də olur. Bu halda nöqtənin mütləq təcili aşağıdakı düsturla təyin olunur:

(2.47)

Beləliklə, koriolis təcili yalnız köçürmə hərəkəti fırlanma hərəkəti olduqda meydana çıxır.

Əgər nisbi hərəkət müstəvisi ani fırlanma oxu -yə perpendikulyar olursa, onda olur və

(2.48)

olur.

K
Şək. 2.14
oriolis təcilin vektoru və -nin müstəvisinə perpendikulyar olub (şək. 2.14) elə yönəlir ki, onun sonundan müstəviyə baxdıqda -dən vektoruna ən qısa keçid saat əqrəbinin əksi istiqmətində olsun.