KinematiKA

KİNEMATİKA
2.1. Kinematikanın əsas anlayışları.
Kinematikada maddi cisimlərin hərəkəti onlara təsir edən qüvvələrdən asılı olmayaraq öyrənilir.

Hər bir mexaniki hərəkəti yalnız digər cisimlərə nəzərən müşahidə etmək olur. Bu cisimlərlə əlaqəli olan koordinat sistemlərinə hesabaparma sistemləri deyilir.

Beləliklə, kinematikada cisimlərin hesabaparma sistemlərinə nəzərən nisbi hərəkəti öyrənilir.

Eyni bir cismin hərəkəti müxtəlif hesabaparma sistemlərinə nəzərən tam müxtəlif ola bilər.

“Hərəkət” və “sükunət” anlayışları nisbi anlayışdır və yalnız o zaman məna kəsb edir ki, onların hesabaparma sistemi göstərilsin.

Təbiətdə mütləq tərpənməz cisim yoxdur. Texnikada mütləq hərəkətsiz– tərpənməz cisim kimi şərti olaraq Yer kürəsi və tərpənməz koordinat sistemi kimi Yerə nəzərən tərpənməz olan koordinat sistemi götürülür. Cismin bu sistemə nəzərən hərəkəti mütləq hərəkət kimi qəbul olunur.

Hərəkət o zaman verilmiş hesab olunur ki, cismin vəziyyətini hər bir anda seçilmiş hesabaparma sisteminə nəzərən təyin etmək mümkün olsun.

Cismin nöqtələri müxtəlif hərəkətlər edə bilərlər. Əgər cismin müxtəlif nöqtələrinin hərəkətlərini təyin edə biliriksə, onda cismin özünün hərəkətini təyin edə bilərik. Bu səbəbdən cismin hərəkəti nöqtənin hərəkətindən başlayaraq öyrənilir.

2.2. Nöqtənin hərəkətinin verilmə üsulları.
Ümumi halda nöqtənin hərəkəti üç üsulla– təbii, koordinat və vektor üsulları ilə verilə bilər. Bu üsullarla tanış olaq.
2.2.1. Nöqtənin hərəkətinin təbii üsulla verilməsi

Fərz edək ki, nöqtəsi hər hansı bir trayektoriyası üzrə hərəkət edir (şək.2.1). Bu trayektoriya üzərində hər hansı bir nöqtəsini hesabaparma başlanğıcı qəbul edək.

Hərəkət edən nöqtənin başlanğıc vəziyyətə nəzərən əyri üzrə məsafəsinə nöqtəsinin qövsi koordinatı deyilir və ilə işarə olunur.

B

Şək.2.1
eləliklə, qövsi koordinat olur. Bu koordinat nöqtəsindən bir tərəfə müsbət, digər tərəfə isə mənfi qəbul olunur. Zaman keçdikcə, nöqtənin vəziyyəti dəyişir. Bu dəyişmə funksiyası ilə təyin edilə bilər. Bu funksiyaya nöqtənin trayektoriya üzrə hərəkət tənliyi deyilir.

Beləliklə, nöqtənin hərəkəti təbii üsulla verildikdə aşağıdakılar məlum olmalıdır:

1. 
   Qəbul edilmiş hesabaparma sistemində nöqtənin hərəkət trayektoriyası;
   
2. 
   Hesabaparmanın başlanğıc nöqtəsi və müsbət istiqaməti;
   
3. 
   Nöqtənin trayektoriya üzrə hərəkət tənliyi .
   

2.2.2. Nöqtənin hərəkətinin koordinat üsulu ilə verilməsi

Nöqtənin vəziyyəti hər hansı düzbucaqlı koordinat sistemində onun üç koordinatı və ilə müəyyən edilir (şək. 2.2). Nöqtə hərəkət etdikdə, zaman keçdikcə onun koordinatları dəyişir. Başqa sözlə, bu koordinatlar zamanın funksiyaları olurlar.

; ; (2.1)

Şək.2.2
Bu tənliklər nöqtənin Dekart koordinatları ilə hərəkət tənlikləri adlanır.

Aydındır ki, nöqtə müstəvi üzərində hərəkət etdikdə onun hərəkət tənliklərinin sayı iki, xətt boyunca hərəkət etdikdə isə bir olur.

2.2.3. Nöqtənin hərəkətinin vektor üsulu ilə verilməsi

Hərəkət edən nöqtənin koordinat sisteminə nəzərən vəziyyətini koordinat başlanğıcından çıxan vektoru ilə müəyyən etmək olar. Nöqtə hərəkət etdikdə, zaman keçdikcə nöqtənin radius–vektoru da dəyişir, başqa sözlə, radius–vektor zamanın funksiyası olur.

(2.2)

Bu tənlik nöqtənin hərəkətinin vektor tənliyi adlanır.

Radius-vektoru koordinat oxları boyunca toplananlarına ayırsaq, onda hərəkət edən nöqtəsinin radius-vektoru üçün aşağıdakı ifadəni alarıq:

(2.2)

Burada – hərəkət edən nöqtəsinin koordinatları; – koordinat oxlarının ortalarıdır.

2.3. Hərəkət vektor üsulu ilə verildikdə nöqtənin sürət və

təcillərinin təyini
a) Sürətlərin təyini.

Tutaq ki, nöqtəsi trayektoriyası üzrə əyrixətli dəyişən sürətlə hərəkət edir (şək 2.3). Nöqtə anında vəziyyətini tutur və onun radius-vektoru olur. Nöqtə anında isə vəziyyətini tutur və onun radius-vektoru olur. Nöqtənin yerdəyişmə vektoru:

olur.

Şək.2.3
Fərz edək ki, nöqtə vəziyyətindən vəziyyətinə keçərkən bərabərsürətli hərəkət edir. Onda nöqtənin zamanında orta sürəti belə olar:

Onda nöqtənin ani sürəti sıfıra yaxınlaşdıqda orta sürətin limiti olar:

(2.3)

Beləliklə, nöqtənin sürəti onun radius-vektorunun zamana görə birinci törəməsinə bərabərdir. Bu sürətin vektoru baxılan nöqtədə hərəkət trayektoriyasına toxunan olur.

b) təcillərin təyini.

Fərz edək ki, anında nöqtənin sürəti anında isə -dir (şək 2.4).

Şək. 2.4

zamanı ərzində nöqtənin sürətinin artımını tapaq. Bunun üçün sürət vektorunu nöqtəsinə köçürüb paralelloqramını quraq. Paralelloqramdan sürətin artımı

olur. Onda zamanı ərzində nöqtənin orta təcili

Nöqtənin ani təcilini təyin etmək üçün sıfra yaxınlaşdıqda, orta təcilin limitini tapaq

(2.4)

Beləliklə, nöqtənin təcili sürət vektorunun zamana görə birinci törəməsinə və ya onun radius-vektorunun zamana görə ikinci törəməsinə bərabərdir.

Düzxətli hərəkət istisna olmaqla, bütün hallarda təcilin modulu sıfırdan fərqli olur.


2.4. Hərəkət koordinat üsulu ilə verildikdə nöqtənin sürət və

təcillərinin təyini

1. 
   Sürətlərin təyini.
   

nöqtəsinin hərəkət tənlikləri ; ; verilmişdir. Bu nöqtənin radius-vektorunu ilə işarə edib (şək. 2.5) onu koordinat oxları üzərinə proyeksiyaları ilə yazaq

Şək.2.5
Məlumdur ki, nöqtənin sürəti radius-vektorun zamana görə birinci törəməsinə bərabərdir. Onda

(2.5)

Digər tərəfdən bilirik ki, ixtiyari vektoru onun proyeksiyaları ilə də ifadə etmək olar:

(2.6)

5) və 6)-nın müqayisəsindən sürətin proyeksiyaları üçün aşağıdakı ifadələri alırıq:

; ; (2.7)

Deməli, nöqtənin sürətinin vektorunun koordinat oxları üzərinə perpendikulyarı nöqtənin uyğun koordinatlarının zamana görə birinci törəmələrinə bərabərdir.

Nöqtənin sürətinin məlum proyeksiyalarına görə onun sürətinin modulu belə tapılır:

(2.8)

Nöqtənin sürət vektorunun istiqamətini müəyyən edən yönəldici kosinuslar isə belə təyin edilir:

; ; (2.9)

b) Təcillərin təyini.

Məlumdur ki, nöqtənin təcili onun sürətinin vektorunun zamana görə birinci törəməsinə bərabərdir.

Sürətin proyeksiyalarla ifadəsini burada yerinə qoysaq, onda

(2.10)

Təcil vektorunu da sürət vektoru kimi proyeksiyaları ilə ifadə etmək olar:

(2.11)

(2.10) və (2.11)-in müqayisəsindən təcilin proyeksiyaları üçün aşağıdakı ifadələri alırıq:

; ; (2.12)

Deməli, nöqtənin vektorunun koordinat oxları üzərinə proyeksiyaları nöqtənin uyğun koordinatlarının zamana görə ikinci törəməsinə və ya sürət vektorunun həmin oxlar üzərinə proyeksiyalarının zamana görə birinci törəməsinə bərabərdir.

Təcilin vektorunun modulu:

(2.13)

Təcilin vektorunun yönəldici kosinusları:

; ; (2.14)

olur.

2.5. Nöqtənin hərəkəti təbii üsulla verildikdə onun sürət və

təcillərinin təyini
a) Sürətlərin təyini.

Nöqtənin hərəkət trayektoriyası , trayektoruya üzrə hərəkət tənliyi verilmişdir. Hərəkət edən nöqtə anında vəziyyətində, isə vəziyyətində olur. Nöqtənin qövsü kooridinatı zamanı ərzində qədər dəyişmiş olur.

Onda bu vaxt ərzində nöqtənin orta sürəti

olur. Nöqtənin ani sürəti isə

(2.15)

olur.

Nöqtənin sürət vektorunu təyin edək.

Tutaq ki, anında nöqtənin radius-vektoru vəziyyətində , anında isə vəziyyətində olur (şək 2.6). Bu radius-vektorlar qövsi koordinat və zamanın mürəkkəb funksiyalarıdır. Onda anında nöqtənin sürəti

olur.

olduğu üçün bu vektor istiqamətində yönəlir. sıfıra yaxınlaşdıqda, bu vektor nöqtəsində hərəkət trayektoriyasına toxunan olur və qövsi koordinat -in artımı istiqamətində yönəlir. Bu vektorun modulu

Şək. 2.6

Deməli, vahid vektordur– trayektoriyanın toxunanının ortudur. Bu vahid vektoru ilə işarə edək. Bunu nəzərə aldıqda nöqtənin sürər vektoru üçün yazmaq olar:

(2.16)

Burada – nöqtənin sürət vektorunun trayektoriyanın toxunanı üzərinə proyeksiyasıdır (nöqtənin sürətinin moduludur).

b) Təcillərin təyini

Bildiyimiz kimi, nöqtənin təcil vektoru sürət vektorunun zamana görə birinci törəməsinə bərabərdir

Sürət vektorunun qiymətini (2.16) yerinə qoyaq

(2.17)

Burada (ali riyaziyyatdan məlum olduğu kimi) trayektoriyanın baxılan nöqtədə əyrilik vektorudur.

Burada – trayektoriyanın nöqtəsində normalının ortudur. – trayektoriyanın nöqtəsində əyrilik radiusudur.

Qiymətləri (2.17)-də yerinə qoysaq, alarıq

Burada – nöqtənin normal təcilidir. Bu təcil həmişə müsbət olub baxılan nöqtədə trayektoriyanın əyrilik mərkəzinə doğru yönəlir; – nöqtənin tangensial (toxunan) təcilidir. Bu təcil aydındır ki, trayektoriyanın baxılan nöqtədəki toxunanı üzrə yönəlir. Bu təcillərin modulları:

(2.18)

(2.19)

Tam təcilin modulu

Tam təcilin vektorunun yönəldici kosinusları

; (2.20)

Indi nöqtənin hərəkətinin xüsusi hallarına baxaq.

Müntəzəm-bərabərsürətli hərəkət

Bu hərəkət zamanı

və

olur.

Nöqtənin başlanğıc nöqtəsindən olan məsafəsi– qövsi koordinatını təyin etmək üçün bu ifadəni inteqrallayaq:

Buradan

Burada anında nöqtənin qövsi koordinatı; anında nöqtənin qövsi koordinatı. Belə hərəkət zamanı olduğu üçün onun toxunan təcili:

olur.

Normal təcil isə əyrixətli hərəkət zamanı

olur.

Deməli, tam təcil olur.

Düzxətli hərəkət zamanı isə trayektoriyanın əyrilik radiusu olur. Odur ki, normal təcil

toxunan təcil də olur.

Deməli, düzxətli bərabərsürətli hərəkət zamanı nöqtənin tam təcili olur.

Bərabərdəyişən hərəkət

Bərabəryeyinləşən hərəkət zamanı nöqtənin toxunan təcili:

olur. Buradan

Bu ifadəni inteqrallayaq

Buradan

(2.21)

(2.21)-in hər iki tərəfini -yə vuraq

Bilirik ki, . Onda

Bu ifadəni inteqrallayaq

Buradan nöqtənin qövsi koordinatı:

(2.22)

Nöqtənin zamanında getdiyi yol

(2.22`)

(2.21), (2.22), (2.22`) düsturları həm düzxətli və həm də əyrixətli hərəkət üçün doğrudur.

Nöqtənin təcilləri yuxarıdakı məlum düsturlarla təyin olunur. Bu zaman əgər nöqtə düzxətli hərəkət edirsə, onun normal təcili sıfra bərabər olur, tam təcili onun toxunan təcilinə bərabər olur .