Lettre mocad n°

3.6Modèles avec saut de déplacement intégré dans l’élément

Ces modèles ont été établis à partir de l’idée suivante : pour éviter le blocage des contraintes observé dans les modèles de type fissuration distribuée, une solution consiste à améliorer la représentation cinématique de déplacement lors de la rupture fortement localisée. Différents auteurs ont utilisé cette technique, citons à titre d’exemple Jirasek & Zimmermann [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. , STYLEREF 2 \s ‎4.4. ], avec le modèle « elements with embedded cracks »), Ohlsson et olofsson [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. ] avec le modèle « Inner softning Bands » etc...

Nous allons décrire, à titre d’exemple, le modèle de Jirasek & Zimmermann [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. , STYLEREF 2 \s ‎4.4. ] « elements with embedded cracks »

Les équations constitutives sont élaborées par la loi de traction- saut de déplacement se basant sur l’endommagement pour éliminer les blocages des contraintes. Ils introduisent ainsi des éléments finis avec un saut de déplacement afin de simuler la fissuration.

notons :

• 
  vecteur de séparation (vecteur saut de déplacement)
  
• 
  paramètre de complaisance qui varie de 1 à l’infini.
  
• 
  le tenseur de rigidité (correspondant à =1)
  

L’énergie libre est choisie comme suit :

-: ‎3.6.
Soit , la traction transmise par la fissure discontinue, c’est la variable associée à , la vitesse de dissipation par une surface unitaire s’écrit alors :

-: ‎3.6.
Selon la thermodynamique, nous avons les équations d’état :

: ‎3.6.

Où est la force thermodynamique associée à .

On en déduit :

-: ‎3.6.

Figure ‎3.6   : principe du modèle

Le tenseur est défini positif, par conséquent on a :
: ‎3.6.
Considérons le tenseur de rigidité dans le repère local de la fissure, le premier axe étant confondu avec la normale de la fissure :

: ‎3.6.

La loi de traction – saut de déplacement s’écrit alors :

-: ‎3.6.

Pour le calcul de la fonction de charge, on utilise la norme Euclidienne en introduisant le saut de déplacement équivalent :

-: ‎3.6.

Par exemple, pour une loi exponentielle :

-: ‎3.6.

Où

• 
  f_t est la résistance à la traction.
  
• 
  e_f=G_f/f_t avec G_f est l’énergie de fissuration en mode I.
  

Alors la fonction de charge est :

-: ‎3.6.

Avec les conditions :

: ‎3.6.
Le modèle considère qu’il y a un saut de déplacement au sein de chaque élément fissuré. Afin d’établir une formulation de la loi de comportement, un élément triangulaire à trois nœuds avec une discontinuité a été utilisé.

Figure ‎3.6   : principe de la méthode

Désignons le vecteur de déplacement nodal :

Nous avons l’équation cinématique :

-: ‎3.6.
Où B est la matrice de déformation- déplacement classique.

Et :

(Figure ‎3.6 - (d))

L’équation statique est obtenue en considérant la continuité du champ des contraintes (Figure ‎3.6 - (e)) :

- : ‎3.6.

Avec

La loi de comportement du béton s’écrit classiquement :

- : ‎3.6.

La loi de comportement de la fissure est donnée par la relation suivante :

- : ‎3.6.

puis grâce à 3.6.12 et 3.6.14 on obtient :

- : ‎3.6.

puis grâce à 3.6.13 on a :

-: ‎3.6.

puis en remplaçant le membre gauche avec son expression dans 3.6.15 on obtient :

-: ‎3.6.

Finalement, la forme de la loi de comportement s’écrit :

-: ‎3.6.

Où :

: ‎3.6.