Lettre mocad n°

4premier modele : Fissuration distribuée : modification de la loi locale de fissuration

4.1Introduction

Nous avons vu au chapitre précédent que le modèle de fissuration distribuée avec une fissure fixe conduit généralement au phénomène de blocage des contraintes et au comportement rigidifiant de la structure, dû à la non dissipation des contrainte de cisaillement résiduelles.

Dans cette partie, nous allons présenter une amélioration des modèles de fissuration distribuée existants en réécrivant la loi locale de fissuration. Dans ce modèle on va prendre en compte explicitement le couplage en traction- cisaillement dans la loi de comportement locale.

4.2Nouvelle loi locale de fissuration

Il s’agit d’établir la nouvelle loi de comportement de la fissuration, c’est à dire la matrice de comportement local D^f.

Nous nous plaçons dans le repère local de la fissuration, le travail à effectuer consiste à trouver la relation entre la contrainte de fissuration et la déformation correspondante.

Pour la contrainte normale à la fissuration, on garde la même relation classique :

- : ‎4.2.

Figure ‎4.2   :principe du modèle

Où :

: ‎4.2.

pour la loi adoucissante linéaire.

A l’initiation de la fissure selon le critère de Rankine (contrainte majeure de traction), dans le repère local de fissure, nous avons alors :

-: ‎4.2.

puis nous avons une loi de comportement du type :

-: ‎4.2.

Où A est une fonction à identifier.

Au cours de l’ouverture de la fissure, le module de cisaillement diminue. A est donc une fonction de la déformation normale de la fissure :

-: ‎4.2.
Dans cette relation, B étant une constante proportionnelle au module de cisaillement du béton sain G.

Quand la fissure est complètement ouverte, c’est à dire que e^f_n est égal la déformation ultime e_ult,, la fissure ne transmet plus de cisaillement, la contrainte tangente doit être nulle. Nous pouvons alors écrire :

-: ‎4.2.

ou encore :

-: ‎4.2.

la différentiation de cette relation nous donne :

-: ‎4.2.
A partir de (II.1) et (II.7), nous avons la loi de comportement locale pour la fissuration :

-: ‎4.2.

4.3Discussion

La nouvelle loi de comportement local de fissuration, sous forme incrémentale, prend en compte explicitement le couplage traction – cisaillement. L’incrément de contrainte de cisaillement est une fonction non seulement de l’incrément de déformation de traction, de cisaillement mais aussi de l’état des déformations et de contraintes. Par contre, l’incrément de contrainte normale n’est pas influencé par l’incrément de déformation de cisaillement.

Cette loi, développée avec une démarche mathématique correcte en respectant les lois de différentiation, donne des contraintes locales nulles une fois que la fissure est complètement ouverte. Autrement dit, elle supprime le problème de rigidification dû à l’augmentation indéfinie des contraintes de cisaillement.

Cependant, lors de la simulation numérique, la matrice de rigidité D^f n’est plus symétrique. Néanmoins, la résolution peut se faire avec des méthodes adaptées aux matrices non symétriques [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. ].

4.4Traitement de plusieurs fissures

4.4.1 Loi de comportement du béton fissuré

Pour des raisons de simplicité, le modèle sera présenté en 2D, une extension en 3D se fait d’une manière naturelle, sachant que les modes de rupture II et III jouent des rôles symétriques.

Avec l’hypothèse de petite perturbation, la déformation totale est décomposée en deux composantes : la déformation de la fissuration et celle du béton sain entre fissures  :

-: ‎4.4.

La déformation de la fissure i s’exprime sous la forme :

-: ‎4.4.

Cette déformation est reliée avec celle dans les coordonnées globales par la matrice de passage N_i

--: ‎4.4.

Nous avons ensuite la relation cinématique :

-: ‎4.4.

Parallèlement, pour la contrainte de fissure i dans son repère propre, on a le vecteur :

-: ‎4.4.

Et la relation avec les contraintes globales est donné par :

: ‎4.4.

Pour la partie non fissurée, on a la loi de comportement élastique :

: ‎4.4.

Avec :

: ‎4.4.

Tandis que l’équation constitutive de la fissure i est donnée par :

-: ‎4.4.

-: ‎4.4.

A partir de (II.1) et (II.6), nous pouvons écrire :

: -: STYLEREF 2 \s ‎4.4.

en remplaçant la partie de déformation de fissure par son expression on obtient :

: STYLEREF 2 \s ‎4.4.

puis :

: STYLEREF 2 \s ‎4.4.

Ou encore :

: STYLEREF 2 \s ‎4.4.

Ce qui aboutit à la loi de comportement du béton fissuré :

- : STYLEREF 2 \s ‎4.4.

Donc :

: STYLEREF 2 \s ‎4.4.

Cas particulier d’une fissure complètement ouverte

Considérons le cas singulier d’une seule fissure complètement ouverte. La matrice locale D^f s’annule, on ne peut plus appliquer la loi globale. Le matériau perd sa rigidité dans la direction normale à la fissure.

En se basant sur la compatibilité cinématique, dans le repère local de la fissure, la loi de comportement devient :

-: STYLEREF 2 \s ‎4.4.

La transformation de la loi de comportement dans le repère global est alors faite au moyen de la matrice de passage T(3*3) qui est en fonction de la direction de la fissure :

: STYLEREF 2 \s ‎4.4.

-: STYLEREF 2 \s ‎4.4.

Cas particulier de 2 fissures complètement ouvertes

Maintenant, on considère le cas où il y a deux fissures complètement ouvertes, à partir de la relation statique, on a :

-: STYLEREF 2 \s ‎4.4.

d’où :

-: STYLEREF 2 \s ‎4.4.

Le matériau perd totalement sa rigidité :

-: STYLEREF 2 \s ‎4.4.

Cas particulier de n fissures existantes avec une seule fissure complètement ouverte

On considère le matériau avec la rigidité initiale D_*^b et contenant (n-1) fissures. La loi de comportement s’écrit :

-: STYLEREF 2 \s ‎4.4.

Alors, on peut écrire comme la loi de comportement du béton fissuré sous la forme générale :

- : STYLEREF 2 \s ‎4.4.

Où  nbfo : est nombre de fissures complètement ouvertes ;

Et :

: STYLEREF 2 \s ‎4.4.